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Ca´lculo II Elaine Machtyngier 17 de marc¸o de 2016 Elaine Machtyngier Ca´lculo II Derivadas Parciais de Segunda Ordem Quando derivamos uma func¸a˜o f(x, y) duas vezes, produzimos suas derivadas de segunda ordem. Essas derivadas sa˜o em geral denotadas por: (fx)x = fxx = f11 = ∂ ∂x ( ∂f ∂x ) = ∂2f ∂x2 = ∂2z ∂x2 (fx)y = fxy = f12 = ∂ ∂y ( ∂f ∂x ) = ∂2f ∂x∂y = ∂2z ∂x∂y (fy )x = fyx = f21 = ∂ ∂x ( ∂f ∂y ) = ∂2f ∂y∂x = ∂2z ∂y∂x (fy )y = fyy = f22 = ∂ ∂y ( ∂f ∂y ) = ∂2f ∂y2 = ∂2z ∂y2 Elaine Machtyngier Ca´lculo II Derivadas Parciais de Segunda Ordem Quando derivamos uma func¸a˜o f(x, y) duas vezes, produzimos suas derivadas de segunda ordem. Essas derivadas sa˜o em geral denotadas por: (fx)x = fxx = f11 = ∂ ∂x ( ∂f ∂x ) = ∂2f ∂x2 = ∂2z ∂x2 (fx)y = fxy = f12 = ∂ ∂y ( ∂f ∂x ) = ∂2f ∂x∂y = ∂2z ∂x∂y (fy )x = fyx = f21 = ∂ ∂x ( ∂f ∂y ) = ∂2f ∂y∂x = ∂2z ∂y∂x (fy )y = fyy = f22 = ∂ ∂y ( ∂f ∂y ) = ∂2f ∂y2 = ∂2z ∂y2 Elaine Machtyngier Ca´lculo II Derivadas Parciais de Segunda Ordem Quando derivamos uma func¸a˜o f(x, y) duas vezes, produzimos suas derivadas de segunda ordem. Essas derivadas sa˜o em geral denotadas por: (fx)x = fxx = f11 = ∂ ∂x ( ∂f ∂x ) = ∂2f ∂x2 = ∂2z ∂x2 (fx)y = fxy = f12 = ∂ ∂y ( ∂f ∂x ) = ∂2f ∂x∂y = ∂2z ∂x∂y (fy )x = fyx = f21 = ∂ ∂x ( ∂f ∂y ) = ∂2f ∂y∂x = ∂2z ∂y∂x (fy )y = fyy = f22 = ∂ ∂y ( ∂f ∂y ) = ∂2f ∂y2 = ∂2z ∂y2 Elaine Machtyngier Ca´lculo II Derivadas Parciais de Segunda Ordem Quando derivamos uma func¸a˜o f(x, y) duas vezes, produzimos suas derivadas de segunda ordem. Essas derivadas sa˜o em geral denotadas por: (fx)x = fxx = f11 = ∂ ∂x ( ∂f ∂x ) = ∂2f ∂x2 = ∂2z ∂x2 (fx)y = fxy = f12 = ∂ ∂y ( ∂f ∂x ) = ∂2f ∂x∂y = ∂2z ∂x∂y (fy )x = fyx = f21 = ∂ ∂x ( ∂f ∂y ) = ∂2f ∂y∂x = ∂2z ∂y∂x (fy )y = fyy = f22 = ∂ ∂y ( ∂f ∂y ) = ∂2f ∂y2 = ∂2z ∂y2 Elaine Machtyngier Ca´lculo II Derivadas Parciais de Segunda Ordem A notac¸a˜o fxy significa que primeiro derivamos com relac¸a˜o a x e depois em relac¸a˜o a y , ao passo que no ca´lculo de fyx a ordem e´ invertida. Exemplo: Determine as derivadas parciais de segunda ordem de f (x , y) = x3 + x2y3 − 2y2. Elaine Machtyngier Ca´lculo II Derivadas Parciais de Segunda Ordem A notac¸a˜o fxy significa que primeiro derivamos com relac¸a˜o a x e depois em relac¸a˜o a y , ao passo que no ca´lculo de fyx a ordem e´ invertida. Exemplo: Determine as derivadas parciais de segunda ordem de f (x , y) = x3 + x2y3 − 2y2. Elaine Machtyngier Ca´lculo II Derivadas Parciais de Ordem Superior Teorema das Derivadas Mistas: Se f (x , y) e suas derivadas parciais fx , fy , fxy e fyx forem definidas em uma regia˜o aberta contendo um ponto (a, b) e todas forem cont´ınuas em (a, b), enta˜o: fxy (a, b) = fyx(a, b). Derivadas de ordem superior: Na˜o ha´ um limite teo´rico para o nu´mero de vezes que podemos diferenciar uma func¸a˜o desde que as derivadas parciais existam. Podemos denota´-las, por exemplo, como: ∂3f ∂x∂y2 = fxyy , ∂4f ∂x2∂y2 = fxxyy , ... Exemplo: Calcule fxxyz se f (x , y , z) = sen(3x + yz). Elaine Machtyngier Ca´lculo II Derivadas Parciais de Ordem Superior Teorema das Derivadas Mistas: Se f (x , y) e suas derivadas parciais fx , fy , fxy e fyx forem definidas em uma regia˜o aberta contendo um ponto (a, b) e todas forem cont´ınuas em (a, b), enta˜o: fxy (a, b) = fyx(a, b). Derivadas de ordem superior: Na˜o ha´ um limite teo´rico para o nu´mero de vezes que podemos diferenciar uma func¸a˜o desde que as derivadas parciais existam. Podemos denota´-las, por exemplo, como: ∂3f ∂x∂y2 = fxyy , ∂4f ∂x2∂y2 = fxxyy , ... Exemplo: Calcule fxxyz se f (x , y , z) = sen(3x + yz). Elaine Machtyngier Ca´lculo II Derivadas Parciais de Ordem Superior Teorema das Derivadas Mistas: Se f (x , y) e suas derivadas parciais fx , fy , fxy e fyx forem definidas em uma regia˜o aberta contendo um ponto (a, b) e todas forem cont´ınuas em (a, b), enta˜o: fxy (a, b) = fyx(a, b). Derivadas de ordem superior: Na˜o ha´ um limite teo´rico para o nu´mero de vezes que podemos diferenciar uma func¸a˜o desde que as derivadas parciais existam. Podemos denota´-las, por exemplo, como: ∂3f ∂x∂y2 = fxyy , ∂4f ∂x2∂y2 = fxxyy , ... Exemplo: Calcule fxxyz se f (x , y , z) = sen(3x + yz). Elaine Machtyngier Ca´lculo II Equac¸o˜es do Plano Tangente ~V = ( 0, 1, ∂f ∂y (x0, y0) ) e´ // a` reta (1). ~U = ( 1, 0, ∂f ∂x (x0, y0) ) e´ // a` reta (2). Logo ~N = ~U × ~V indica a direc¸a˜o ⊥ ao plano tangente que passa por P0 = (x0, y0, z0) Elaine Machtyngier Ca´lculo II Equac¸o˜es do Plano Tangente z − z0 = ∂f ∂x (x0, y0)(x − x0) + ∂f ∂y (x0, y0)(y − y0) A equac¸a˜o da reta normal e´ dada parametricamente por P = P0 + tN Elaine Machtyngier Ca´lculo II Equac¸o˜es do Plano Tangente z − z0 = ∂f ∂x (x0, y0)(x − x0) + ∂f ∂y (x0, y0)(y − y0) A equac¸a˜o da reta normal e´ dada parametricamente por P = P0 + tN Elaine Machtyngier Ca´lculo II Exemplo Determine o plano tangente ao parabolo´ide el´ıptico z = 2x2 + y 2 no ponto (1,1,3). Resposta: z = 4x + 2y − 3 Elaine Machtyngier Ca´lculo II Exemplo Determine o plano tangente ao parabolo´ide el´ıptico z = 2x2 + y 2 no ponto (1,1,3). Resposta: z = 4x + 2y − 3 Elaine Machtyngier Ca´lculo II Exemplo Elaine Machtyngier Ca´lculo II Exemplo Elaine Machtyngier Ca´lculo II Aproximac¸a˜o Linear L(x , y) = 4x + 2y − 3 e´ uma boa aproximac¸a˜o de f (x , y) = 2x2 + y2 pro´ximo do ponto (1,1,3) f (x , y) ≈ 4x + 2y − 3 f (1.1, 0.95) = 3, 3225 ≈ L(1.1, 0.95) = 3, 3 f (2, 3) = 17 na˜o e´ pro´ximo de L(2, 3) = 11 so´ e´ uma boa aproximac¸a˜o de f (x , y) pro´ximo do ponto (1,1,3) Elaine Machtyngier Ca´lculo II Aproximac¸a˜o Linear L(x , y) = 4x + 2y − 3 e´ uma boa aproximac¸a˜o de f (x , y) = 2x2 + y2 pro´ximo do ponto (1,1,3) f (x , y) ≈ 4x + 2y − 3 f (1.1, 0.95) = 3, 3225 ≈ L(1.1, 0.95) = 3, 3 f (2, 3) = 17 na˜o e´ pro´ximo de L(2, 3) = 11 so´ e´ uma boa aproximac¸a˜o de f (x , y) pro´ximo do ponto (1,1,3) Elaine Machtyngier Ca´lculo II Aproximac¸a˜o Linear L(x , y) = 4x + 2y − 3 e´ uma boa aproximac¸a˜o de f (x , y) = 2x2 + y2 pro´ximo do ponto (1,1,3) f (x , y) ≈ 4x + 2y − 3 f (1.1, 0.95) = 3, 3225 ≈ L(1.1, 0.95) = 3, 3 f (2, 3) = 17 na˜o e´ pro´ximo de L(2, 3) = 11 so´ e´ uma boa aproximac¸a˜o de f (x , y) pro´ximo do ponto (1,1,3) Elaine Machtyngier Ca´lculo II Aproximac¸a˜o Linear L(x , y) = 4x + 2y − 3 e´ uma boa aproximac¸a˜o de f (x , y) = 2x2 + y2 pro´ximo do ponto (1,1,3) f (x , y) ≈ 4x + 2y − 3 f (1.1, 0.95) = 3, 3225 ≈ L(1.1, 0.95) = 3, 3 f (2, 3) = 17 na˜o e´ pro´ximo de L(2, 3) = 11 so´ e´ uma boa aproximac¸a˜o de f (x , y) pro´ximo do ponto (1,1,3) Elaine Machtyngier Ca´lculo II Aproximac¸a˜o Linear L(x , y) = 4x + 2y − 3 e´ uma boa aproximac¸a˜o de f (x , y) = 2x2 + y2 pro´ximo do ponto (1,1,3) f (x , y) ≈ 4x + 2y − 3 f (1.1, 0.95) = 3, 3225 ≈ L(1.1, 0.95) = 3, 3 f (2, 3) = 17 na˜o e´ pro´ximo de L(2, 3) = 11 so´ e´ uma boa aproximac¸a˜o de f (x , y) pro´ximo do ponto (1,1,3) Elaine Machtyngier Ca´lculo II Aproximac¸a˜o Linear L(x , y) = 4x + 2y − 3 e´ uma boa aproximac¸a˜o de f (x , y) = 2x2 + y2 pro´ximo do ponto (1,1,3) f (x , y) ≈ 4x + 2y − 3 f(1.1, 0.95) = 3, 3225 ≈ L(1.1, 0.95) = 3, 3 f (2, 3) = 17 na˜o e´ pro´ximo de L(2, 3) = 11 so´ e´ uma boa aproximac¸a˜o de f (x , y) pro´ximo do ponto (1,1,3) Elaine Machtyngier Ca´lculo II Aproximac¸a˜o Linear L(x , y) = f (a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b) e´ denominada linearizac¸a˜o de f em (a, b) e f (x , y) ≈ f (a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b) e´ denominada aproximac¸a˜o linear de f em (a, b). Elaine Machtyngier Ca´lculo II Aproximac¸a˜o Linear L(x , y) = f (a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b) e´ denominada linearizac¸a˜o de f em (a, b) e f (x , y) ≈ f (a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b) e´ denominada aproximac¸a˜o linear de f em (a, b). Elaine Machtyngier Ca´lculo II Aproximac¸a˜o Linear L(x , y) = f (a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b) e´ denominada linearizac¸a˜o de f em (a, b) e f (x , y) ≈ f (a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b) e´ denominada aproximac¸a˜o linear de f em (a, b). Elaine Machtyngier Ca´lculo II Aproximac¸a˜o Linear L(x , y) = f (a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b) e´ denominada linearizac¸a˜o de f em (a, b) e f (x , y) ≈ f (a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b) e´ denominada aproximac¸a˜o linear de f em (a, b). Elaine Machtyngier Ca´lculo II Exemplo f (x , y) = xy x2 + y2 , (x , y) 6= (0, 0) 0 , (x , y) = (0, 0) aproximac¸a˜o linear: f (x , y) ≈ 0 pore´m f (x , y) = 1 2 ∀(x , y) na reta y = x , (x , y) 6= (0, 0) Elaine Machtyngier Ca´lculo II Exemplo f (x , y) = xy x2 + y2 , (x , y) 6= (0, 0) 0 , (x , y) = (0, 0) aproximac¸a˜o linear: f (x , y) ≈ 0 pore´m f (x , y) = 1 2 ∀(x , y) na reta y = x , (x , y) 6= (0, 0) Elaine Machtyngier Ca´lculo II Exemplo f (x , y) = xy x2 + y2 , (x , y) 6= (0, 0) 0 , (x , y) = (0, 0) aproximac¸a˜o linear: f (x , y) ≈ 0 pore´m f (x , y) = 1 2 ∀(x , y) na reta y = x , (x , y) 6= (0, 0) Elaine Machtyngier Ca´lculo II Func¸a˜o Diferencia´vel de uma varia´vel se f : D ⊂ IR→ IR for diferencia´vel enta˜o tera´ reta tangente y = f (a) + f ′(a)(x − a) f (a+∆x) = f (a)+f ′(a)(x−a)+ε, f (x) pode ser aproximado pela reta tangente com um erro ε. Assim: f (a + ∆x)− f (a) ∆x = f ′(a) + ε(∆x) ∆x Elaine Machtyngier Ca´lculo II Func¸a˜o Diferencia´vel de uma varia´vel Elaine Machtyngier Ca´lculo II Func¸a˜o Diferencia´vel de uma varia´vel f : D ⊂ IR→ IR e´ diferencia´vel em a se ∆y = f ′(a)∆x + ε∆x com ε→ 0 quando ∆x → 0 O diferencial de y e´ definido como: dy = f ′(x) dx Elaine Machtyngier Ca´lculo II Func¸a˜o Diferencia´vel de duas varia´veis Elaine Machtyngier Ca´lculo II Func¸a˜o Diferencia´vel de duas varia´veis f : D ⊂ IR2 → IR diferencia´vel em (a, b) Se ∆z = fx(a, b)∆x + fy (a, b)∆y + ε1∆x + ε2∆y com ε1 e ε2 → 0 quando (∆x ,∆y)→ (0, 0) O diferencial dz , tambe´m chamado diferencial total e´ definido por dz = fx(x , y)dx + fy (x , y)dy = ∂z ∂x dx + ∂z ∂y dy Elaine Machtyngier Ca´lculo II Teorema Se as derivadas parciais fx e fy existem perto do ponto (a, b) e sa˜o cont´ınuas em (a, b), enta˜o f e´ diferencia´vel em (a, b). Elaine Machtyngier Ca´lculo II Diferenciabilidade × Continuidade Diferenciabilidade ⇒ Continuidade Se z = f (x , y) e´ diferencia´vel em (a, b) ⇒ z = f (x , y) e´ cont´ınua em (a, b). Elaine Machtyngier Ca´lculo II Observac¸o˜es 1 na˜o cont´ınua ⇒ na˜o diferencia´vel 2 Na˜o existe alguma das derivadas parciais ⇒ na˜o diferencia´vel 3 Podem existir as derivadas parciais e a func¸a˜o na˜o ser diferencia´vel Elaine Machtyngier Ca´lculo II Observac¸o˜es 1 na˜o cont´ınua ⇒ na˜o diferencia´vel 2 Na˜o existe alguma das derivadas parciais ⇒ na˜o diferencia´vel 3 Podem existir as derivadas parciais e a func¸a˜o na˜o ser diferencia´vel Elaine Machtyngier Ca´lculo II Observac¸o˜es 1 na˜o cont´ınua ⇒ na˜o diferencia´vel 2 Na˜o existe alguma das derivadas parciais ⇒ na˜o diferencia´vel 3 Podem existir as derivadas parciais e a func¸a˜o na˜o ser diferencia´vel Elaine Machtyngier Ca´lculo II Exerc´ıcios Considere a func¸a˜o f (x , y) = 3− √ x2 + y2 , 0 <x2 + y2 < 1 1 + x2 + y2 , 1 <x2 + y2 < 4 5 , x2 + y2 > 4 . (a) Calcule ∂ f ∂ x (0, 0), ∂ f ∂ y (0, 1), ∂ f ∂ y (0, 2) e ∂ f ∂ x (1, 1), se existirem, justificando sua resposta. (b) Determine o dom´ınio de ∂ f ∂ x . Elaine Machtyngier Ca´lculo II Exerc´ıcios Seja g(x , y , z) = ex 2y2 + y2 yz . Calcule gzy (x , y , z). Elaine Machtyngier Ca´lculo II Exerc´ıcios Seja S uma superf´ıcie de equac¸a˜o z = ∫ x2−3 2−y2 (7 + t) e−(t 2−1) dt. Determine: (a) As equac¸o˜es da reta tangente a` curva obtida pela intersec¸a˜o da superf´ıcie S com o plano y = 1 no ponto P0 = (2, 1, 0). (b) As equac¸o˜es do plano tangente e da reta normal a` superf´ıcie S no ponto P0 = (2, 1, 0). Elaine Machtyngier Ca´lculo II Exerc´ıcios Seja f (x , y) = x2y2 x2 + y2 , se (x , y) 6= (0, 0) 0 , se (x , y) = (0, 0) (a) Calcule ∂ f ∂ x (0, 0) e ∂ f ∂ y (0, 0). (b) Calcule ∂ f ∂ x (x , y) e ∂ f ∂ y (x , y), (x , y) 6= (0, 0). (c) Mostre que a func¸a˜o f e´ diferencia´vel em (0, 0). (d) f e´ cont´ınua em (0, 0)? Justifique sua resposta. Elaine Machtyngier Ca´lculo II Exerc´ıcios A temperatura T num ponto (x , y , z) e´ dada por T (x , y , z) = ex 2 ey 2 ez2 (a) Escreva a equac¸a˜o da superf´ıcie sobre a qual um bezouro voara´ mantendo a mesma temperatura que possui no ponto P = (0, 1, 1). (b) Determine, usando diferencial, um valor aproximado para T (0.02, 1.04, 0.99). Elaine Machtyngier Ca´lculo II Exerc´ıcios Considere a func¸a˜o f (x , y) = 4 + √ 9y2 − x2 − 36 (a) Determine o dom´ınio e a imagem da f , e fac¸a um esboc¸o da regia˜o no plano xy deste dom´ınio. (b) Identifique e esboce as curvas de n´ıvel 0, 4, 7. (c) Esboce o gra´fico da f. (d) Determine as equac¸o˜es da reta tangente a` curva intersec¸a˜o do gra´fico de f com o plano x = 3, no ponto (3,−3, 10). Elaine Machtyngier Ca´lculo II
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