Derivada direcional gradiente slide

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Ca´lculo II
Elaine Machtyngier
5 de abril de 2016
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Derivada Direcional
Duf (x0, y0) = lim
h→0
f (x0 + ha, y0 + hb)− f (x0, y0)
h
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Interpretac¸a˜o geome´trica da derivada direcional
A equac¸a˜o do plano da figura anterior e´
x − x0
a
=
y − y0
b
a reta tangente a` curva intersec¸a˜o da superf´ıcie
z = f (x , y) com este plano encontra-se
no plano tangente
z − z0 = fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0)
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Interpretac¸a˜o geome´trica da derivada direcional
A equac¸a˜o do plano da figura anterior e´
x − x0
a
=
y − y0
b
a reta tangente a` curva intersec¸a˜o da superf´ıcie
z = f (x , y) com este plano encontra-se
no plano tangente
z − z0 = fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0)
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Interpretac¸a˜o geome´trica da derivada direcional
A equac¸a˜o do plano da figura anterior e´
x − x0
a
=
y − y0
b
a reta tangente a` curva intersec¸a˜o da superf´ıcie
z = f (x , y) com este plano encontra-se
no plano tangente
z − z0 = fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0)
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Interpretac¸a˜o geome´trica da derivada direcional
A equac¸a˜o do plano da figura anterior e´
x − x0
a
=
y − y0
b
a reta tangente a` curva intersec¸a˜o da superf´ıcie
z = f (x , y) com este plano encontra-se
no plano tangente
z − z0 = fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0)
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Interpretac¸a˜o geome´trica da derivada direcional
Assim a reta tangente e´ dada pelas equac¸o˜es:

x − x0
a
=
y − y0
b
z − z0 = fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0)
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Teorema
f diferencia´vel em x e y
enta˜o f tem derivada direcional na
direc¸a˜o de qualquer vetor unita´rio u = (a, b) e
Duf (x , y) = fx(x , y)a + fy(x , y)b
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Equac¸o˜es parame´tricas da reta tangente na direc¸a˜o do
vetor u = (a, b)
equac¸o˜es parame´tricas
da reta tangente
x − x0 = at
y − y0 = bt
z − z0 = fx(x0, y0)at + fy (x0, y0)bt =
= tDuf (x0, y0)
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Equac¸o˜es parame´tricas da reta tangente na direc¸a˜o do
vetor u = (a, b)
equac¸o˜es parame´tricas
da reta tangente
x − x0 = at
y − y0 = bt
z − z0 = fx(x0, y0)at + fy (x0, y0)bt =
= tDuf (x0, y0)
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Exemplo
f (x , y) = x3 − 3xy + 4y 2 , u na direc¸a˜o θ = pi/6.
Duf (1, 2)?
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Vetor Gradiente
∇f (x , y) = (fx(x , y), fy(x , y))
Assim, a derivada direcional de f
na direc¸a˜o do vetor unita´rio u = (a, b)
e´ reescrita da seguinte forma
Duf (x , y) = fx(x , y)a + fy(x , y)b = ∇f (x , y) · u
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Vetor Gradiente
∇f (x , y) = (fx(x , y), fy(x , y))
Assim, a derivada direcional de f
na direc¸a˜o do vetor unita´rio u = (a, b)
e´ reescrita da seguinte forma
Duf (x , y) = fx(x , y)a + fy(x , y)b = ∇f (x , y) · u
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Vetor Gradiente
∇f (x , y) = (fx(x , y), fy(x , y))
Assim, a derivada direcional de f
na direc¸a˜o do vetor unita´rio u = (a, b)
e´ reescrita da seguinte forma
Duf (x , y) = fx(x , y)a + fy(x , y)b = ∇f (x , y) · u
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Generalizando para n varia´veis
u = (a1, a2, ..., an) vetor unita´rio do IRn
Duf (x1, x2, ..., xn) = lim
h→0
f (x1 + ha1, ..., xn + han)− f (x1, ..., xn)
h
Notac¸a˜o vetorial
Duf (x0) = lim
h→0
f (x0 + hu)− f (x0)
h
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Generalizando para n varia´veis
Vetor Gradiente
∇f (x1, x2, ..., xn) = (fx1(x1, x2, ..., xn), ..., fxn(x1, x2, ..., xn))
Se f for diferencia´vel em x0 = (x1, x2, ..., xn)
Duf (x0) = ∇f (x0) · u
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Direc¸a˜o de maior taxa de variac¸a˜o
f diferencia´vel
o valor ma´ximo da derivada direcional Duf (x0)
e´ |∇f (x0)| e ocorre quando u
tem a mesma direc¸a˜o que o vetor gradiente ∇f (x0)
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Outra importaˆncia do vetor gradiente
o vetor gradiente ∇f e´ perpendicular
a` curva de n´ıvel f (x , y) = k .
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Outra importaˆncia do vetor gradiente
O vetor gradiente ainda completa a informac¸a˜o gra´fica
obtida nos mapas de contorno de uma superf´ıcie,
determinando o ”fluxo de crescimento”da superf´ıcie.
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Exemplo1
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Exemplo2
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Exemplo3
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Exemplo4
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Plano Tangente e Reta Normal a`s superf´ıcies de n´ıvel
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