Mudanca coordenadas2 slide

Prévia do material em texto

Ca´lculo II
Elaine Machtyngier
4 de maio de 2016
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Exemplos
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Exemplos
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Exemplos
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Exemplos
Definimos a integral impro´pria (sobre todo plano IR2)
I =
∫∫
IR2
e−(x
2+y2) dA =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
e−(x
2+y2) dydx =
= lim
a→∞
∫∫
Da
e−(x
2+y2) dA
onde Da e´ o disco de raio a e centro na origem.
Mostre que ∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
e−(x
2+y2) dA = pi
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Exemplos
Uma definic¸a˜o equivalente da integral impro´pria do exemplo anterior e´
I =
∫∫
IR2
e−(x
2+y2) dA = lim
a→∞
∫∫
Sa
e−(x
2+y2) dA
onde Sa e´ o quadrado com ve´rtices (±a,±a).
Mostre que ∫ ∞
−∞
e−x
2
dx
∫ ∞
−∞
e−y
2
dy = pi
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Exemplos
Deduza que ∫ ∞
−∞
e−x
2
dx =
√
pi
Fazendo a mudanc¸a de varia´vel t =
√
2x , mostre que∫ ∞
−∞
e−x
2/2 dx =
√
2pi
Calcule:(exerc´ıcio Stewart §15.4)
(a)
∫ ∞
0
x2e−x
2
dx (b)
∫ ∞
0
√
xe−x dx
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Aplicac¸o˜es
Probabilidade de que (X ,Y ) esteja em uma regia˜o D
P((X ,Y ) ∈ D) =
∫∫
D
f (x , y) dA
f (x , y) e´ a func¸a˜o densidade conjunta de X e Y
Como probabilidades na˜o podem ser negativas e
sa˜o medidas na escala de 0 a 1
f (x , y) ≥ 0
∫∫
IR2
f (x , y) dA = 1
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Aplicac¸o˜es
Se a func¸a˜o densidade conjunta de X e Y for dada dada por
f (x , y) =
{
C (x + 2y) se 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10
0 caso contra´rio
determine o valor da constante C .
Em seguida, calcule P(X ≤ 7,Y ≥ 2)
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Aplicac¸o˜es
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Aplicac¸o˜es
Suponhamos que X seja uma varia´vel aleato´ria com func¸a˜o
densidade de probabilidade f1(x) e Y seja uma varia´vel aleato´ria
com func¸a˜o de densidade f2(y). Enta˜o, X e Y sa˜o ditas varia´veis
aleato´rias independentes se a func¸a˜o densidade conjunta for o
produto das func¸o˜es densidade individuais:
f (x , y) = f1(x)f2(y)
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Aplicac¸o˜es
O gerente de um cinema determina que o tempo me´dio de espera
na fila para as pessoas comprarem entrada para o filme da semana
seja de 10 minutos e que o tempo me´dio que levam para comprar
pipoca seja de 5 minutos. Supondo que os tempos de espera sejam
independentes, determine a probabilidade de um espectador
esperar menos de 20 minutos ate´ se dirigir a seu assento.
Supondo que os tempo de espera X para a aquisic¸a˜o do bilhete e
Y para comprar pipoca possam ser modelados por func¸o˜es de
densidade de probabilidade exponencial, podemos escrever as
func¸o˜es de densidade individuais como
f1(x) =
{
0 se x < 0
1
10e
−x/10 se x ≥ 0
f2(y) =
{
0 se y < 0
1
5e
−y/5 se y ≥ 0
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Aplicac¸o˜es
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Aplicac¸o˜es
Se X e Y sa˜o varia´veis aleato´rias com func¸a˜o densidade conjunta f
Os valores esperados de X e Y sa˜o dados por
µ1 =
∫∫
IR2
x f (x , y) dA µ2 =
∫∫
IR2
y f (x , y) dA
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Aplicac¸o˜es
Uma fa´brica produz rolamentos (de forma cil´ındrica) que sa˜o vendidos
como tendo 4,0cm de diaˆmetro e 6,0cm de comprimento. Na verdade,
o diaˆmetro X tem distribuic¸a˜o normal com me´dia 4,0cm e desvio
padra˜o 0,01cm, enquanto o comprimento Y tem distribuic¸a˜o normal
com me´dia 6,0cm e desvio padra˜o 0,01cm. Supondo que X e Y sejam
independentes, escreva a func¸a˜o densidade conjunta e fac¸a seugra´fico.
Determine a probabilidade de um rolamento escolhido aleatoriamente
da linha de produc¸a˜o ter comprimento ou diaˆmetro que difiram dos
valores me´dios em mais que 0,02cm.
Observac¸a˜o: Uma u´nica varia´vel aleato´ria tem distribuic¸a˜o normal
se sua func¸a˜o de densidade de probabilidade e´ da forma
f(x) =
1
σ
√
2pi
e−(x−µ)
2/(2σ2) (µ e´ sua me´dia e σ e´ seu desvio padra˜o.)
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Aplicac¸o˜es
No problema, X e Y teˆm distribuic¸o˜es normais com
µ1 = 4, 0, µ2 = 6, 0 e σ1 = σ2 = 0, 01. Logo
f1(x) =
1
0, 01
√
2pi
e−(x−4)
2/0,0002 f2(y) =
1
0, 01
√
2pi
e−(y−6)
2/0,0002
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Aplicac¸o˜es
Enta˜o, a probabilidade de X ou Y diferir de seu valor me´dio em
0,02cm ou mais e´ aproximadamente
1− 0, 91 = 0, 09
Elaine Machtyngier Ca´lculo II