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Ca´lculo II Elaine Machtyngier 14 de abril de 2016 Elaine Machtyngier Ca´lculo II Integral dupla de f sobre R A integral dupla de f sobre o retaˆngulo R = { (x , y) ∈ IR2 | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} e´ ∫∫ R f (x , y) dA = lim m,n→∞ m∑ j=1 n∑ i=1 f (x∗ij , y ∗ ij )∆A se o limite existir. Elaine Machtyngier Ca´lculo II Significado geome´trico da Integral dupla de f sobre R Se f e´ cont´ınua e f (x , y) ≥ 0 para todo (x , y) no retaˆngulo R Volume = lim m,n→∞ m∑ j=1 n∑ i=1 f (x∗ij , y ∗ ij )∆A = ∫∫ R f (x , y) dA Elaine Machtyngier Ca´lculo II Teorema de Fubini Se f for cont´ınua no retaˆngulo R = { (x , y) ∈ IR2 | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, enta˜o ∫∫ R f (x , y) dA = ∫ b a ∫ d c f (x , y) dy dx = ∫ d c ∫ b a f (x , y) dx dy . Elaine Machtyngier Ca´lculo II Extensa˜o de f f : D ⊂ IR2 → IR; D uma regia˜o limitada do IR2 ⇒ D ⊂ R = retaˆngulo F : R→ IR F (x , y) = f (x , y) se (x , y) ∈ D 0 se (x , y) ∈ (R− D) Elaine Machtyngier Ca´lculo II Figura Elaine Machtyngier Ca´lculo II Integral dupla de f em D F integra´vel em R ⇒ a integral dupla de f em D e´ ∫∫ D f (x , y) dA = ∫∫ R F (x , y) dA Elaine Machtyngier Ca´lculo II Regio˜es Regulares D e´ uma regia˜o regular se por qualquer ponto de seu interior, as retas paralelas aos eixos Ox ou Oy que passam por este ponto cortarem a fronteira de D apenas em 2 pontos. Elaine Machtyngier Ca´lculo II Regio˜es Regulares Se o dom´ınio D e´ regular podemos escrever sua fronteira como func¸a˜o de x ou como func¸a˜o de y . Elaine Machtyngier Ca´lculo II Regio˜es Tipo I Elaine Machtyngier Ca´lculo II Integral dupla de f em D do tipo I D = { (x , y) ∈ IR2 | a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x) } ∫∫ D f (x , y) dA = ∫ b a ∫ g2(x) g1(x) f (x , y) dydx Elaine Machtyngier Ca´lculo II Integral dupla de f em D do tipo I D = { (x , y) ∈ IR2 | a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x) } ∫∫ D f (x , y) dA = ∫ b a ∫ g2(x) g1(x) f (x , y) dydx Elaine Machtyngier Ca´lculo II Regio˜es Tipo II Elaine Machtyngier Ca´lculo II Integral dupla de f em D do tipo II D = { (x , y) ∈ IR2 | c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y) } ∫∫ D f (x , y) dA = ∫ d c ∫ h2(y) h1(y) f (x , y) dxdy Elaine Machtyngier Ca´lculo II Propriedades da integral dupla de f em D (1) ∫∫ D f (x , y) dA independe do retaˆngulo R (2) Se f (x , y) = 1 , ∫∫ D 1 dA = A´rea(D) = A(D). Elaine Machtyngier Ca´lculo II Propriedades da integral dupla de f em D (1) ∫∫ D f (x , y) dA independe do retaˆngulo R (2) Se f (x , y) = 1 , ∫∫ D 1 dA = A´rea(D) = A(D). Elaine Machtyngier Ca´lculo II Propriedades da integral dupla de f em D (3) Se f (x , y) ≥ 0 , ∫∫ D f (x , y) dA e´ interpretada como o volume do so´lido limitado superiormente pelo gra´fico de z = f (x , y) e inferiormente por D. W = { (x , y , z) ∈ IR3 | (x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ f(x, y)} . D e´ a projec¸a˜o de W sobre xy e V (W ) = ∫∫ D f (x , y) dA Elaine Machtyngier Ca´lculo II Propriedades da integral dupla de f em D (4) Se f e g sa˜o func¸o˜es integra´veis sobre D enta˜o ∀a, b ∈ IR, af + bg tambe´m e´ integra´vel sobre D , e:∫∫ D a f (x , y)+ b g(x , y) dA = a ∫∫ D f (x , y) dA+ b ∫∫ D g(x , y) dA (5) Se f e g sa˜o integra´veis sobre D e g(x , y) ≤ f (x , y), para todo (x , y) ∈ D , enta˜o:∫∫ D g(x , y) dA ≤ ∫∫ D f (x , y) dA Elaine Machtyngier Ca´lculo II Propriedades da integral dupla de f em D (4) Se f e g sa˜o func¸o˜es integra´veis sobre D enta˜o ∀a, b ∈ IR, af + bg tambe´m e´ integra´vel sobre D , e:∫∫ D a f (x , y)+ b g(x , y) dA = a ∫∫ D f (x , y) dA+ b ∫∫ D g(x , y) dA (5) Se f e g sa˜o integra´veis sobre D e g(x , y) ≤ f (x , y), para todo (x , y) ∈ D , enta˜o:∫∫ D g(x , y) dA ≤ ∫∫ D f (x , y) dA Elaine Machtyngier Ca´lculo II Propriedades da integral dupla de f em D (6) Se D = k⋃ i=1 Di e f e´ integra´vel sobre cada Di , i = 1, ..., k enta˜o f e´ integra´vel sobre D e,∫∫ D f (x , y) dA = k∑ i=1 ∫∫ Di f (x , y) dA Elaine Machtyngier Ca´lculo II Propriedades da integral dupla de f em D (7) Se m ≤ f (x , y) ≤ M ∀(x , y) ∈ D enta˜o mA(D) ≤ ∫∫ D f (x , y) dA ≤ MA(D) Elaine Machtyngier Ca´lculo II Exerc´ıcios Elaine Machtyngier Ca´lculo II Exerc´ıcios (1) Decida se as seguintes afirmativas sa˜o verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas. (a) ∫ 2 −1 ∫ 6 0 x2sen(x− y) dxdy = ∫ 6 0 ∫ 2 −1 x2sen(x− y)dydx. (b) ∫ 1 −1 ∫ 1 0 ex 2+y2seny dxdy = 0. (c) ∫ 4 1 ∫ 1 0 (x2 + √ y) sen(x2y2)dxdy< 9. (2) Determine o volume do so´lido limitado pelo parabolo´ide el´ıptico, z = 1 + (x − 1)2 + 4y2, pelos planos x = 3 e y = 2, e pelos planos coordenados. Elaine Machtyngier Ca´lculo II Exerc´ıcios (3) (a) Escreva uma u´nica integral dupla equivalente a` soma das integrais duplas abaixo∫ 1 1/8 ∫ 8 1/x 2dydx + ∫ 2 1 ∫ 8 x3 2dydx (b) Calcule a integral do item (a) e deˆ uma interpretac¸a˜o geome´trica para o resultado encontrado. Elaine Machtyngier Ca´lculo II Exerc´ıcio 4 Elaine Machtyngier Ca´lculo II Exerc´ıcio 4 Regia˜o Elaine Machtyngier Ca´lculo II Exerc´ıcio 5 Elaine Machtyngier Ca´lculo II Exerc´ıcio 6 Elaine Machtyngier Ca´lculo II Exerc´ıcio 7 Elaine Machtyngier Ca´lculo II Exerc´ıcio 8 Elaine Machtyngier Ca´lculo II
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