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Ca´lculo II
Elaine Machtyngier
14 de abril de 2016
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Integral dupla de f sobre R
A integral dupla de f sobre o retaˆngulo
R =
{
(x , y) ∈ IR2 | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} e´
∫∫
R
f (x , y) dA = lim
m,n→∞
m∑
j=1
n∑
i=1
f (x∗ij , y
∗
ij )∆A
se o limite existir.
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Significado geome´trico da Integral dupla de f sobre R
Se f e´ cont´ınua e f (x , y) ≥ 0 para todo (x , y) no retaˆngulo R
Volume = lim
m,n→∞
m∑
j=1
n∑
i=1
f (x∗ij , y
∗
ij )∆A =
∫∫
R
f (x , y) dA
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Teorema de Fubini
Se f for cont´ınua no retaˆngulo
R =
{
(x , y) ∈ IR2 | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, enta˜o
∫∫
R
f (x , y) dA =
∫ b
a
∫ d
c
f (x , y) dy dx =
∫ d
c
∫ b
a
f (x , y) dx dy .
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Extensa˜o de f
f : D ⊂ IR2 → IR; D uma regia˜o limitada do IR2 ⇒ D ⊂ R = retaˆngulo
F : R→ IR
F (x , y) =

f (x , y) se (x , y) ∈ D
0 se (x , y) ∈ (R− D)
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Figura
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Integral dupla de f em D
F integra´vel em R ⇒ a integral dupla de f em D e´
∫∫
D
f (x , y) dA =
∫∫
R
F (x , y) dA
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Regio˜es Regulares
D e´ uma regia˜o regular se por qualquer ponto de seu interior,
as retas paralelas aos eixos Ox ou Oy que passam por este
ponto cortarem a fronteira de D apenas em 2 pontos.
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Regio˜es Regulares
Se o dom´ınio D e´ regular podemos escrever sua
fronteira como func¸a˜o de x ou como func¸a˜o de y .
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Regio˜es Tipo I
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Integral dupla de f em D do tipo I
D =
{
(x , y) ∈ IR2 | a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)
}
∫∫
D
f (x , y) dA =
∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)
f (x , y) dydx
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Integral dupla de f em D do tipo I
D =
{
(x , y) ∈ IR2 | a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)
}
∫∫
D
f (x , y) dA =
∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)
f (x , y) dydx
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Regio˜es Tipo II
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Integral dupla de f em D do tipo II
D =
{
(x , y) ∈ IR2 | c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)
}
∫∫
D
f (x , y) dA =
∫ d
c
∫ h2(y)
h1(y)
f (x , y) dxdy
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Propriedades da integral dupla de f em D
(1)
∫∫
D
f (x , y) dA independe do retaˆngulo R
(2) Se f (x , y) = 1 ,
∫∫
D
1 dA = A´rea(D) = A(D).
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Propriedades da integral dupla de f em D
(1)
∫∫
D
f (x , y) dA independe do retaˆngulo R
(2) Se f (x , y) = 1 ,
∫∫
D
1 dA = A´rea(D) = A(D).
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Propriedades da integral dupla de f em D
(3) Se f (x , y) ≥ 0 ,
∫∫
D
f (x , y) dA e´ interpretada como o
volume do so´lido limitado superiormente pelo gra´fico de
z = f (x , y) e inferiormente por D.
W =
{
(x , y , z) ∈ IR3 | (x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ f(x, y)} .
D e´ a projec¸a˜o de W sobre xy e
V (W ) =
∫∫
D
f (x , y) dA
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Propriedades da integral dupla de f em D
(4) Se f e g sa˜o func¸o˜es integra´veis sobre D enta˜o
∀a, b ∈ IR, af + bg tambe´m e´ integra´vel sobre D , e:∫∫
D
a f (x , y)+ b g(x , y) dA = a
∫∫
D
f (x , y) dA+ b
∫∫
D
g(x , y) dA
(5) Se f e g sa˜o integra´veis sobre D e g(x , y) ≤ f (x , y), para
todo (x , y) ∈ D , enta˜o:∫∫
D
g(x , y) dA ≤
∫∫
D
f (x , y) dA
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Propriedades da integral dupla de f em D
(4) Se f e g sa˜o func¸o˜es integra´veis sobre D enta˜o
∀a, b ∈ IR, af + bg tambe´m e´ integra´vel sobre D , e:∫∫
D
a f (x , y)+ b g(x , y) dA = a
∫∫
D
f (x , y) dA+ b
∫∫
D
g(x , y) dA
(5) Se f e g sa˜o integra´veis sobre D e g(x , y) ≤ f (x , y), para
todo (x , y) ∈ D , enta˜o:∫∫
D
g(x , y) dA ≤
∫∫
D
f (x , y) dA
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Propriedades da integral dupla de f em D
(6) Se D =
k⋃
i=1
Di e f e´ integra´vel sobre cada Di , i = 1, ..., k
enta˜o f e´ integra´vel sobre D e,∫∫
D
f (x , y) dA =
k∑
i=1
∫∫
Di
f (x , y) dA
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Propriedades da integral dupla de f em D
(7) Se m ≤ f (x , y) ≤ M ∀(x , y) ∈ D enta˜o
mA(D) ≤
∫∫
D
f (x , y) dA ≤ MA(D)
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Exerc´ıcios
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Exerc´ıcios
(1) Decida se as seguintes afirmativas sa˜o verdadeiras ou falsas,
justificando suas respostas.
(a)
∫ 2
−1
∫ 6
0
x2sen(x− y) dxdy =
∫ 6
0
∫ 2
−1
x2sen(x− y)dydx.
(b)
∫ 1
−1
∫ 1
0
ex
2+y2seny dxdy = 0.
(c)
∫ 4
1
∫ 1
0
(x2 +
√
y) sen(x2y2)dxdy< 9.
(2) Determine o volume do so´lido limitado pelo parabolo´ide
el´ıptico, z = 1 + (x − 1)2 + 4y2,
pelos planos x = 3 e y = 2, e pelos planos coordenados.
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Exerc´ıcios
(3) (a) Escreva uma u´nica integral dupla equivalente a` soma das
integrais duplas abaixo∫ 1
1/8
∫ 8
1/x
2dydx +
∫ 2
1
∫ 8
x3
2dydx
(b) Calcule a integral do item (a) e deˆ uma interpretac¸a˜o
geome´trica para o resultado encontrado.
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Exerc´ıcio 4
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Exerc´ıcio 4 Regia˜o
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Exerc´ıcio 5
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Exerc´ıcio 6
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Exerc´ıcio 7
Elaine Machtyngier Ca´lculo II
Exerc´ıcio 8
Elaine Machtyngier Ca´lculo II

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