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ENCE
Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística
Escola Nacional de Ciências Estatísticas
Profa. Elaine Machtyngier
Algumas Superfícies Especiais
Algumas Superfícies Especiais
Cilindros
Um cilindro é uma superfície gerada por uma reta L que se move ao longo de uma curva
plana C dada, de tal modo que ela permaneça sempre paralela a uma reta fixa não situada no
plano da curva dada. A reta L é chamada geratriz do cilindro e a curva C é chamada diretriz
do cilindro.
y = x2
z = e−x
z = seny
Superfícies quádricas
O gráfico no plano xy de uma equação do segundo grau
Ax2 +By2 + Cxy +Dx+ Ey + F = O
é uma cônica: uma parábola, uma elipse, uma circunferência, uma hipérbole, ou alguma forma
degenerada de uma dessas curvas, tal como um ponto, o conjunto vazio ou um par de retas.
Uma equação do segundo grau nas variáveis x, y e z tem a forma
Ax2 +By2 + Cz2 +Dxy + Exz + Fyz +Gx+Hy + Iz + J = O
e o gráfico de tal equação em IR3 é chamado de superfície quádrica.
Para visualizar, reconhecer e traçar o gráfico destas superfícies, mencionaremos, sucinta-
mente, algumas técnicas básicas. Estas técnicas envolvem a determinação dos traços (ou seções
transversais) da superfície.
Os traços de uma superfície são as curvas de interseção da superfície com os planos paralelos
aos coordenados.
Elipsoide
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
Todos os traços são elipses.
Se a = b = c, o elipsóide é uma
esfera.
2
Hiperbolóide de 1 fôlha
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1
Os traços horizontais são elipses.
Os traços verticais são
hipérbolas.
O eixo de simetria corresponde a
variável com coeficiente negativo.
Hiperbolóide de 2 fôlhas
−x
2
a2
− y
2
b2
+
z2
c2
= 1
Os traços horizontais em z = k
são elipses se k > c ou k < −c.
Os traços verticais são
hipérboles.
Cone
z2
c2
=
x2
a2
+
y2
b2
Os traços horizontais são elipses.
Os traços verticais nos planos
x = k e y = k são hipérboles.
São um par de retas se k = 0.
3
Parabolóide Elíptico
z
c
=
x2
a2
+
y2
b2
Os traços horizontais são elipses.
Os traços verticais são parábolas.
O eixo do parabolóide é indicado
pela variável com expoente 1.
Parabolóide Hiperbólico
z
c
=
x2
a2
− y
2
b2
; na figura, c < 0
Os traços horizontais são hipérbolas.
Os traços verticais são parábolas.
4
Traços do Parabolóide Hiperbólico
5

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