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ENCE Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística Escola Nacional de Ciências Estatísticas Profa. Elaine Machtyngier Algumas Superfícies Especiais Algumas Superfícies Especiais Cilindros Um cilindro é uma superfície gerada por uma reta L que se move ao longo de uma curva plana C dada, de tal modo que ela permaneça sempre paralela a uma reta fixa não situada no plano da curva dada. A reta L é chamada geratriz do cilindro e a curva C é chamada diretriz do cilindro. y = x2 z = e−x z = seny Superfícies quádricas O gráfico no plano xy de uma equação do segundo grau Ax2 +By2 + Cxy +Dx+ Ey + F = O é uma cônica: uma parábola, uma elipse, uma circunferência, uma hipérbole, ou alguma forma degenerada de uma dessas curvas, tal como um ponto, o conjunto vazio ou um par de retas. Uma equação do segundo grau nas variáveis x, y e z tem a forma Ax2 +By2 + Cz2 +Dxy + Exz + Fyz +Gx+Hy + Iz + J = O e o gráfico de tal equação em IR3 é chamado de superfície quádrica. Para visualizar, reconhecer e traçar o gráfico destas superfícies, mencionaremos, sucinta- mente, algumas técnicas básicas. Estas técnicas envolvem a determinação dos traços (ou seções transversais) da superfície. Os traços de uma superfície são as curvas de interseção da superfície com os planos paralelos aos coordenados. Elipsoide x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 Todos os traços são elipses. Se a = b = c, o elipsóide é uma esfera. 2 Hiperbolóide de 1 fôlha x2 a2 + y2 b2 − z 2 c2 = 1 Os traços horizontais são elipses. Os traços verticais são hipérbolas. O eixo de simetria corresponde a variável com coeficiente negativo. Hiperbolóide de 2 fôlhas −x 2 a2 − y 2 b2 + z2 c2 = 1 Os traços horizontais em z = k são elipses se k > c ou k < −c. Os traços verticais são hipérboles. Cone z2 c2 = x2 a2 + y2 b2 Os traços horizontais são elipses. Os traços verticais nos planos x = k e y = k são hipérboles. São um par de retas se k = 0. 3 Parabolóide Elíptico z c = x2 a2 + y2 b2 Os traços horizontais são elipses. Os traços verticais são parábolas. O eixo do parabolóide é indicado pela variável com expoente 1. Parabolóide Hiperbólico z c = x2 a2 − y 2 b2 ; na figura, c < 0 Os traços horizontais são hipérbolas. Os traços verticais são parábolas. 4 Traços do Parabolóide Hiperbólico 5
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