Lista de Exercícios de Algebra Linear I

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Lista de Exercícios de Algebra Linear - I
 
Estudante: 
Nº USP: 
 
1 - ) Resolva o sistema linear com o método de eliminação.
(a)
 
(b)
 
 
2 - ) Dado sistema linear:
(a) Verifique que é uma solução
(b) Verifique que é uma solução
(c) Verifique que é uma solução
(d) Verifique que é uma solução
 
 
3 - ) Há um valor de tal que seja uma solução do sistema linear a 
seguir? Encontre-o se existir.
 
4 - ) Se 
Encontre a,b,c e d
 
 
Para 6, 7 e 8:
 
5 - ) Se possível calcule
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
(e) 
 
6 - ) Se possível calcule
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
(e) 
(f) 
 
7 - ) A matrix A é uma combinação linear de B e C? Justifique sua resposta. 
 
8 - ) Sejam:
Se , calcule 
 
9 - ) Sejam
Faça:
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
(e) 
 
10 - ) Seja . Encontre o vetor de dimensão 4 que satisfaz 
 
11 - ) Seja
Calcule 
 
12 - ) Seja 
Encontre todos os valores de x tal que 
 
13 - ) Encontre para:
 
 
14 - ) Sejam
Calcule os elementos de 
(a) O elemento (1,2)
(b) O elemento (3,1)
(c) O elemento (2,3)
(d) O elemento (3,3)
 
15 - ) Considere o seguinte sistema linear:
(a) Encontre a matriz de coeficientes
(b) Escreva o sistema linear na forma de matriz
(c) Encontre a matriz aumentada
 
16 - ) Qual a relação entre os sistemas lineares com as seguintes matrizes aumentadas?
 
17 - ) Escreva cada um dos sistemas dados a seguir na forma matricial
(a)
(b)
 
18 - ) Sejam vetores de dimensão n e 
(a) Mostre que 
(b) Mostre que 
(c) Mostre que 
 
19 - ) 
(a) Mostre que o produto de duas matrizes triangulares superiores é uma matriz triangular 
superior
(b) Sejam A e B duas matrizes diagonais nxn, AB é igual a BA? Justifique.
 
 
20 - ) Sendo:
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
(d) 
 
21 - ) Se
Mostre que AB=AC
 
22 - ) Determine um escalar tal que , onde:
 
23 - ) Se AB=BA e p um inteiro não negativo mostre que:
 
24 - ) Encontre uma matriz B, 2x2, tal que 
 
25 - ) Seja:
(a) Encontre uma expressão simples para 
(b) Encontre uma expressão simples para 
 
26 - ) Mostre que se então
 
27 - ) Se A é uma matriz nxn, mostre que 
(a) é simétrica 
(b) é anti-simétrica 
 
28 - ) Mostre que se A é uma matriz nxn então A pode ser escrita unicamente como A=S+K, 
onde S é simétrica e K é anti-simétrica
 
29 - ) Determine se as matrizes dadas estão na forma escalonada por linhas.
 
 
30 - ) Seja
Encontre as matrizes resultantes das seguintes operações elementares nas linhas de A
(a) Permuta da segunda com a quarta linhas
(b) Multiplicação da terceira linha por 3
(c) Adição de (-3) vezes a primeira linha com a quarta linha
 
31 - ) Encontre três matrizes que são equivalentes por linha a:
 
32 - ) Encontre três matrizes que são equivalentes por linha a:
 
33 - ) Encontre todas as soluções para os sistemas lineares dados:
(a)
 
(b)
 
34 - ) Resolva o sistema linear com a matriz aumentada dada
 
35 - ) Encontre a matriz x, 2x1, não nula tal que onde:
[Sugestão: Reescreva a equação matricial ]
 
36 - ) Encontre a matriz x, 2x1, não nula tal que onde: