ANALISE DE ESTABILIDADE DE TALUDES CONSIDERANDO

Prévia do material em texto

Mecânica das Rochas para Recursos Naturais e Infraestrutura 
SBMR 2014 – Conferência Especializada ISRM 09-13 Setembro 2014 
© CBMR/ABMS e ISRM, 2014 
 
SBMR 2014 
Análise de Estabilidade de Taludes Considerando a Envoltória de 
Ruptura de Hoek-Brown em 2D 
 
Daniel Santos de Santana 
Universidade Federal da Bahia, Escola Politécnica. Rua Aristides Novis, 2 – Federação. Salvador, 
Bahia. 40210-630. <daniel.santana.engminas@gmail.com>. 
 
Paulo Gustavo Cavalcante Lins 
Universidade Federal da Bahia, Escola Politécnica, DCTM. Rua Aristides Novis, 2 – Federação. 
Salvador, Bahia. 40210-630. (71) 3283-9847. <plins@ufba.br>. 
 
RESUMO: A análise de estabilidade de taludes é realizada de forma quantitativa principalmente 
pelos chamados métodos de equilíbrio limite, particularmente pelos métodos das fatias. Um dos 
métodos das fatias mais utilizados é o método de Bishop simplificado, a formulação original deste 
método considera a envoltória de ruptura de Mohr-Coulomb, que é linear. Na análise de estabilidade 
de taludes em rochas deve ser considerada uma envoltória de ruptura que represente bem a 
resistência do maciço rochoso, o critério de ruptura proposto por Hoek-Brown é o principal 
candidato a uma boa caracterização da resistência do maciço rochoso, sendo que a envoltória deste 
critério é não-linear. O trabalho descreve a implementação computacional do método das fatias com 
a envoltória não linear de Hoek-Brown. O programa resultante desta implementação mostrou ser 
capaz de reproduzir bem simulações da literatura. 
 
PALAVRAS-CHAVE: Estabilidade de taludes, Método das fatias, Critério de Hoek-Brown. 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
O critério de ruptura de Hoek-Brown foi 
proposto por Hoek e Brown (1980a) e Hoek e 
Brown (1980b) em uma tentativa de prover 
dados de entrada para análises requeridas para o 
projeto de escavações subterrãneas em rocha 
competente. O critério foi criado a partir dos 
resultados de pesquisas sobre a ruptura frágil de 
rocha intacta conduzidas por Evert Hoek e 
estudos sobre o comportamento de maciços 
rochosos fraturados conduzidos por Edwin T. 
Brown. O critério parte de propriedades de 
rocha intacta e introduz fatores que reduzem 
estas propriedades com base nas caracteristicas 
das descontinuidades no maciço rochoso. Para 
ligar o critério empírico com as observações 
geológicas os autores utilizaram inicialmente a 
classificação geomecânica RMR (Hoek et al., 
2002). O critério sofreu diversas atualizações, 
sendo que a apresentada por Hoek et al. (2002) 
será utilizada como referência neste trabalho. O 
critério de Hoek-Brown vem sendo utilizado 
por diversos pesquisadores na área de Mecânica 
das Rochas. 
 O método simplificado de análise de 
estabilidade de taludes proposto por Bishop 
(1955) é um dos mais utilizados em aplicações 
práticas. O método calcula o fator de segurança 
para um círculo potencial de ruptura e garante o 
equilíbrio de momentos. O critério de ruptura 
utilizado na formulação de Bishop (1955) é o 
critério de Mohr-Coulomb. 
 O presente trabalho descreve a 
implementação computacional do método de 
Bishop com o critério de ruptura de Hoek-
Brown, que é não linear. O algorítimo utilizado 
nesta implementação foi modificado a partir do 
que foi proposto por Wyllie e Mah (2004), neste 
algorítimo a expressão de Hoek-Brown é 
linearizada e empregada nas equações das 
hipóteses de Bishop. 
 
 
SBMR 2014 
2 CRITÉRIO DE HOEK-BROWN 
GENERALIZADO 
 
Segundo Hoek et al. (2002), o critério de Hoek-
Brown generalizado é dado pela expressão: 
 
a
ci
bci sm 





++=
σ
σ
σσσ
'
3'
3
'
1 (1) 
 
onde σci é a resistência a compressão simples da 
rocha intacta e mb é um valor reduzido da 
constante do material mi, e é dado por: 
 






−
−
=
D
GSI
mm ib 1428
100
exp (2) 
 
s e a são constantes para o maciço rochoso 
dadas pelas seguintes relações: 
 






−
−
=
D
GSI
s
39
100
exp (3) 
 
( )32015
6
1
2
1
−−
−+= eea GSI (4) 
 
D é um fator que depende do grau de 
perturbação que o maciço rochoso foi 
submetido devido ao dano causado pelo 
desmonte e relaxação de tensões. O parâmetro 
D varia de 0 para maciços não pertubados até 1 
para maciços muito pertubados. Hoek et al. 
(2002) apresentam orientações para seleção do 
parâmetro D. 
 O parâmetro GSI (Geological Strength 
Index) foi propostos em trabalhos anteriores de 
Hoek e seus colegas em substituição ao RMR 
para relacionar o critério de ruptura com as 
observações geológicas de campo. Hoek et al. 
(2002) listam diversos trabalhos onde o GSI foi 
estabelecido, sendo também o GSI adaptado 
para maciços muito brandos. 
 A resistência a compressão simples do 
maciço rochoso é obtida fazendo '3σ =0 na 
equação (1), fornecendo: 
 
a
cic s⋅= σσ (5) 
 
 A resistência a tração é obtida fazendo '1σ = 
'
3σ = tσ na equação (1), fornecendo: 
 
b
ci
t
m
sσ
σ = (6) 
 
 Hoek et al. (2002) apresentam relações entre 
as tensões normal e cisalhante com as tensões 
principais, dadas pelas expressões: 
 
1
1
22 '3
'
1
'
3
'
1
'
3
'
1
'
3
'
1'
n
+
−
⋅
−
−
+
=
σσ
σσσσσσ
σ
dd
dd
 (7) 
 
( )
1'3
'
1
'
3
'
1'
3
'
1
+
−=
σσ
σσ
σστ
dd
dd
 (8) 
 
onde: 
 
( ) 1'3'3'1 1 −++= acibb smamdd σσσσ (9) 
 
 
3 CRITÉRIO DE MOHR-COULOMB 
 
Hoek et al. (2002) sustentam que muitos 
programas geotécnicos são escritos ainda em 
termos do critério de ruptura de Mohr-
Coulomb, e é necessário determinar ângulos de 
atrito e coesões equivalentes para o maciço 
rochoso e uma faixa de tensões. 
 Hoek et al. (2002) realizaram isto ajustando 
uma relação linear média a curva gerada pela 
solução da equação (1) para a faixa de tensões 
definida por tσ < 3σ < 
'
3maxσ , como ilustrado 
na Figura 1. O processo de ajuste envolveu o 
balanceamento de áreas acima e abaixo do 
gráfico de Mohr-Coulomb. Os resultados são 
apresentados nas seguintes expressões para o 
ângulo de atrito 'φ e a coesão c’: 
 
( )
( )( ) ( ) 





++++
+
=
−
−
−
1
'
3
1
'
31'
6212
6
sin
a
nbb
a
nbb
msamaa
msam
σ
σφ
 (10) 
 
SBMR 2014 
( ) ( )[ ]( )
( )( ) ( )( )( )( ) 






++
+
+⋅++
+−++
=
−
−
aa
msam
aa
msmasa
c
a
nbb
a
nbnbci
21
6121
121
1
'
3
1
'
3
'
3'
σ
σσσ
 (11) 
 
onde: 
 
ci
n σ
σ
σ
'
max3
3 = (12) 
 
 
 
Figura 1. Relações entre as tensões principais maior e 
menor para o cirtério de Hoek-Brown e critério de Mohr-
Coulomb equivalente (Hoek et al., 2002). 
 
 Hoek et al. (2002) destacam que o valor de 
'
3maxσ , o valor do limite superior da tensão 
confinante sob a qual a relação entre o critério 
de Hoek-Brown e o critério de Mohr-Coulomb 
é considerada, deve ser determinado para cada 
caso individual. Orientações sobre a seleção de 
valores para taludes são expostas no item 5. 
 A resistência ao cisalhamento de Mohr-
Coulomb τ, para uma dada tensão normal é 
encontrada substituindo os valores de 'φ e c’na 
equação: 
 
'' tanφστ += c (13) 
 
 O gráfico equivalente, em termos de tensões 
principais maior e menor, é definida por: 
 
'
3'
'
'
''
'
1
sin1
sin1
sin1
cos2
σφ
φ
φ
φ
σ
−
+
+
−
=
c
 (14) 
 
 
4 RESISTÊNCIA DO MACIÇO 
ROCHOSO 
 
Hoek et al. (2002) destacam o conceito de 
resistência do maciço rochoso, esta resistência 
pode ser determinada a partir da relaçãode com 
os parâmetros de Mohr-Coulomb pela 
expressão: 
 
'
''
'
sin1
cos2
φ
φ
σ
−
=
c
cm (15) 
 
com 'φ e c’ determinados para uma faixa de 
tensões de tσ < 
'
3σ < 4ciσ , obtendo: 
 
( )( )( )
( )( )aa
smsmasm
a
bbb
cicm ++
+−−+
=
−
212
484 1
' σσ
 (16) 
 
 
5 DETERMINAÇÃO DE '3MAXσ 
 
Hoek et al. (2002) apresentam uma discussão 
sobre a determinação de valores apropriados de 
'
3maxσ para uso nas equações (10) e (11) 
dependendo da aplicação específica. 
 Para estudos de taludes o fator de segurança 
calculado e a forma e localização da superfície 
de ruptura devem ser equivalentes. 
 Estudos para taludes, utilizando o método de 
Bishop, para superfícies de ruptura circulares, 
para um amplo leque de geometrias de taludes e 
SBMR 2014 
propriedades do maciço rochoso, levaram a 
equação: 
 
91,0
'
'
'
max3 72,0
−






=
H
cm
cm
γ
σ
σ
σ
 (17) 
 
onde H é a altura do talude. 
 
 
6 ANÁLISE DE ESTABILIDADE 
 
A equação do método simplificado de Bishop 
(1955) pode ser encontrada reescrita em Wyllie 
e Mah (2004). As convenções utilizadas por 
Wyllie e Mah (2004) para uma fatia estão 
representadas na Figura 2, e para o problema 
como um todo na Figura 3. 
 
 
 
Figura 2. Esforços em uma fatia segundo as convenções 
utilizadas por Wyllie & Mah (2004). 
 
 Na formulação apresentada por Wyllie e 
Mah (2004) a tensão normal na base da fatia 
para o método de Fellenius é dada por: 
 
wwbr hh γψγσ −= 2' cos (18) 
 
 Para o método de Bishop a expressão é: 
 ( )
( )FS
FSchh
bi
biwwr
ψφ
ψγγ
σ
tantan1
tan
'
'
'
+
−−
= (19) 
 
 A expressão para o fator de segurança é: 
 ( )( )
∑
∑
+∆
∆+
=
Rzxh
xc
FS
wbr
bii
αγψγ
ψφσ
2
2
1
'''
sin
costan
 (20) 
 
 
 
Figura 3. Método de Bishop simplificado para uma 
superfície de ruptura circular com resistência definida por 
um critério de ruptura não linear, segundo Wyllie e Mah 
(2004). 
 
6.1 Algorítmo Utilizado 
 
Um procedimento para cálculo do fator de 
segurança com o método simplificado de 
Bishop é apresentado por Wyllie e Mah (2004). 
Este algorítmo foi implementado em um 
programa Fortran e é apresentado a seguir, com 
as pequenas modificações com que foi 
implementado: 
 
1) Calcular a tensão normal efetiva σ‘ 
atuando na base de cada fatia por meio 
da equação de Fellenius, equação (18). 
2) Utilizando os valores de σ‘, calcular 'φ 
e c’ para cada fatia pelas equações (10) e 
(11). 
3) Substituir estes valores de 'φ e c’ na 
equação do fator de segurança, equação 
(20), para obter a primeira estimativa do 
fator de segurança. 
4) Utilizar esta estimativa do fator de 
segurança para calcular um novo valor 
SBMR 2014 
de σ‘ na base de cada fatia, utilizando a 
equação de Bishop, equação (19). 
5) Com base nestes novos valores de σ‘, 
calcular novos valores para 'φ e c’. 
6) Calcular um novo fator de segurança 
para os novos valores de 'φ e c’. 
7) Se a diferença entre o primeiro e o 
segundo fator de segurança for maior 
que 0,001, retorne ao passo 4 e repita a 
análise, utilizando o segundo fator de 
segurança como entrada. Repita este 
procedimento até que a diferença entre 
fatores de segurança sucessivos seja 
inferior a 0,001. 
 
 Segundo Wyllie e Mah (2004) cerca de dez 
iterações serão necessárias para que a tolerancia 
requerida seja alcançada no cálculo do fator de 
segurança. 
 
 
7 TESTES DO PROGRAMA 
 
Para testar o programa implementado foi 
selecionado um caso analisado por Hammah et 
al. (2005). O exemplo é um talude de 10 metros 
de altura, com uma inclinação de 45º, em um 
maciço rochoso homogêneo. Os parâmetros do 
critério de ruptura de Hoek-Brown 
generalizado, utilizados por Hammah et al. 
(2005), estão apresentados na Tabela 1. 
 
Tabela 1. Propriedades do maciço rochoso do exemplo 
estudado por Hammah et al. (2005). 
Propriedade Valor 
Módulo de Young, E (MPa) 5000 
Coeficiente de Poisson, ν 0,3 
Peso específico, γ (MN/m3) 0,025 
Resist. a compressão simples, σci (MPa) 30 
GSI 5 
Parâmetro da rocha intacta, mi 2 
Fator de pertubação, D 0 
Parâmetro mb 0,067 
Parâmetro s 2,5E-5 
Parâmetro a 0,619 
 
 Hammah et al. (2005) realizaram análises 
com métodos de equilíbrio limite convencionais 
e realizaram a determinação do fator de 
segurança com análises por elementos finitos 
com a técnia de redução da resistência ao 
cisalhamento (RRS). 
 Na técnica de redução da resistência ao 
cisalhamento com elementos finitos são 
realizadas várias análises, em cada análise os 
parâmetros de resistência são divididos por um 
valor, o valor que leva o deslocamento de um 
ponto de controle a uma variação muito grande 
define o fator de segurança. A Figura 4 mostra 
os contornos de máxima deformação cisalhante 
para o talude na análise que define a ruptura, os 
contornos revelam o mecanismo de ruptura 
previsto pela técnica da reduçaõ da resistência 
ao cisalhamento. 
 Os fatores de segurança obtidos por Hammah 
et al. (2005) são apresentados na Tabela 2. Os 
resultados são para análises com a envoltória de 
Mohr-Coulomb equivalente, utilizando as 
equações (17), (10) e (11), além de análises com 
o critério de ruptura de Hoek-Brown 
generalizado diretamente. 
 
 
 
Figura 4. Contornos de máxima deformação cisalhante na 
ruptura para o talude (Hammah et al., 2005). 
 
Tabela 2. Fatores de segurança obtidos por Hammah et 
al. (2005). 
Método Fator de Segurança 
EF Técnica RRS 
Hoek-Brown Generalizado 1,15 
Mohr-Coulomb equivalente 1,15 
Equilibrio limite 
Bishop simplificado 1,153 
Método de Spencer 1,152 
 
 O mesmo exemplo foi analisado com o 
programa desenvolvido para este trabalho. Para 
análises com a envoltória de Mohr-Coulomb 
equivalente as equações (17), (10) e (11) 
forneceram '3maxσ = 0,189MPa, 'φ = 20,89º e c’ 
= 0,02MPa. O fator de segurança obtido com 
estes parâmetros foi de 1,164. Isto significa um 
erro de 1% em relação ao resultado obtido pelo 
método de Bishop simplificado por Hammah et 
SBMR 2014 
al. (2005). O programa convergiu após três 
iterações. Esta análise serve para confirmar 
também que a equação (20) foi implementada 
de forma adequada. 
 Na análise com o critério de Hoek-Brown 
generalizado o fator de segurança obtido foi de 
1,126, o que significa um erro de -2,3% em 
relação ao resultado obtido pelo método de 
Bishop simplificado por Hammah et al. (2005). 
O programa convergiu após seis iterações. 
 
 
8 CONCLUSÕES 
 
O trabalho descreve a implementação 
computacional do método simplificado de 
Bishop com a envoltória não linear de Hoek-
Brown. A implementação foi feita com um 
algorítmo que lineariza a envoltória de Hoek-
Brown e de forma iterativa resolve a formulação 
do método de Bishop simplificado. 
 A implementação realizada foi testada com 
resultados comparados com dados da literatura 
e o erro encontrado foi inferior a 3%. 
 Uma crítica deve ser feita ao algorítmo 
implementado. A linearização da equação de 
Hoek-Brown é feita para um intervalo de 
tensões secantes a envoltória não linear. Sugere-
se para estudos futuros que seja implementado 
uma linearização tangente a envoltória não 
linear, e a posição da tangente seja definida pela 
tensão normal a base da fatia. 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
Bishop, A.W. (1955) The use of the slip circle in the 
stability analysis of slopes. Géotechnique, v.5, n.1, 
p.7-17. 
Hammah, R.E.; Yacoub, T.E.; Corkum, B.C. e Curran, 
J.H. (2005). The Shear Strength Reduction Method 
for the Generalized Hoek-Brown Criterion. 40th U.S. 
Symposium on Rock Mechanics.Anchorage, Alaska. 
Hoek, E. e Brown, E.T. (1980a). Empirical strength 
criterion for rock masses. Journal of Geotechnical 
Engineering Division, ASCE, v.106, No. GT9, 
p.1013-1035. 
Hoek, E. e Brown, E.T. (1980b) Underground 
Excavations in Rock. Institution of Mining and 
Metallurgy, London, UK. 
Hoek, E.; Carranza-Torres, C. e Corkum, B. (2002). 
Hoek-Brown criterion – 2002 edition. 5th North 
American Rock Mechanics Symposium. Toronto, 
Canada. Vol. 1, p.267-273. 
Wyllie, D.C. e Mah, C.W. (2004). Rock slope 
engineering. Spon Press, London.. 431p.