Apostila MATEMÁTICA FINANCEIRA Unidade 2

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
CAPÍTULO 2 - COMO EFETUAR CÁLCULOS COM JUROS?
Henrique Martins Rocha
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Introdução
Neste capítulo você estudará os juros compostos e os descontos: como são calculados, quais suas nuances, aplicações e usos. Você sabe como calcular os juros compostos? Ainda que seja o regime de capitalização mais comum, ele é um mistério para muitas pessoas, por exigir cálculos mais complexos que no regime de capitalização pelos juros simples, inviabilizando cálculos mentais e, por conta disso, tornando-se menos intuitivo. E os descontos, como devem ser calculados? Não se tratam de um simples sistema de barganha, pois respeitam a regra fundamental da Matemática Financeira, que é o valor do dinheiro no tempo. Mas, de quanto deve ser o desconto para uma transação que antecipe um pagamento ou um recebimento? Como fazer um cálculo justo e correto para as partes envolvidas, tendo como base o tempo? Esses são tópicos de grande relevância no dia a dia e nas decisões pessoais e das empresas: ignorar as bases conceituais e as aplicações práticas deles pode fazer com que tomemos decisões inadequadas, comprometendo a possibilidade de fazer o melhor uso possível dos recursos financeiros. Quais são as variáveis envolvidas e como selecionar as melhores alternativas? Aqui serão apresentados os conceitos envolvidos nesses assuntos, de forma que todas essas perguntas (e muitas outras) possam ser respondidas ao longo do estudo deste capítulo. Bons estudos!
2.1 Juros compostos
Diferentemente do regime de capitalização de juros simples, em que os juros são calculados sobre o valor inicialmente investido, no caso do regime de juros compostos, a cada ciclo de capitalização, ou seja, a cada período em que o regime prevê a capitalização monetária, os juros auferidos são adicionados ao valor inicialmente investido, tornando-se maior a cada ciclo. Esse pequeno detalhe faz com que a forma de calcular os juros compostos seja completamente diferente dos cálculos executados no regime de juros simples.
Vamos ver como lidar com esses cálculos. E é isso que você vai estudar nesse tópico: a lógica que relaciona as variáveis dos juros compostos.
2.1.1 Equivalência das taxas em juros compostos
Os cálculos pelo regime de juros compostos apresentam uma série de fórmulas que nos permitem identificar seus valores, a partir do conhecimento dos demais. Isso é justificado pelo fato de que os juros (J) são função do valor investido (VP), da taxa de juros (i) e do tempo em que o valor é investido (n), gerando ao final do período um valor (VF) superior ao valor investido. Assim, mudanças em qualquer uma dessas variáveis trazem alterações no J.
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Figura 1 - Crescimento dos juros, como função do crescimento da taxa de juros, do valor investido e do tempo de investimento.Fonte: violetkaipa, Shutterstock, 2018.
A seguir, você pode encontrar as fórmulas que correlacionam tais variáveis no regime de juros compostos, iniciando pela fórmula geral da Matemática Financeira.
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O professor Alexandre Assaf Neto é um dos maiores expoentes em Finanças no Brasil. Graduado em Economia, Mestre em Administração pela EUTG/Espanha, Doutor em Administração e Livre-Docente pela Universidade de São Paulo, foi autor de 22 livros e mais de 70 trabalhos científicos publicados em Congressos e revistas nacionais e estrangeiras.
No entanto, essas fórmulas funcionam com a premissa que i e n estão na mesma unidade de tempo, ou seja, que a taxa de juros informada se aplica ao ciclo do regime de capitalização informado, os quais podem ser:
ao ano – a.a.;
ao semestre – a.s.;
ao quadrimestre – a.q.;
ao trimestre – a.t.;
ao bimestre – a.b.;
ao mês – a.m.; e
ao dia – a.d.
Mas, isso nem sempre é verdadeiro, sendo necessário compatibilizar as unidades, ou seja, convertê-las para que seja possível efetuar os devidos cálculos. Com a capitalização cumulativa dos juros, diferentemente do regime de juros simples em que o crescimento é linear e, consequentemente, podemos calcular os valores por meio de uma “regra de três”, no regime de capitalização por juros compostos, o crescimento é exponencial.
Assim, se a taxa de juros no bimestre é o dobro da taxa mensal nos juros simples, o cálculo a ser efetuado nos juros compostos exige mais recursos, não podendo ser uma mera multiplicação da taxa do período unitário pela quantidade de períodos. Por exemplo, uma taxa mensal de juros de 10% representaria 20% de juros a.b. Mas, no caso de juros compostos, teríamos:
J = VP [(1 + i)n - 1] = VP [(1 + 0,1)2 - 1] = VP x 0,21
Podemos rearranjar a fórmula J = VP [(1 + i)n - 1], para que tenhamos a proporção de juros como uma taxa percentual:
J(%) = (1 + i)n – 1
Assim, ao dividirmos por VP, achamos 0,21. Ou seja, a taxa é de 21% a.b.
Dessa forma, a conversão das taxas de juros em suas taxas equivalentes requer a execução de cálculos mais sofisticados do que no regime de juros simples. Para tanto, é importante recordarmos que os ciclos de tempo têm relações entre si, quais sejam: 1 ano = 2 semestres = 3 quadrimestres = 4 trimestres = 6 bimestres = 12 meses = 360 dias. 
Basta usar as relações para fazer as devidas conversões. Como no exemplo anterior, como 1 bimestre = 2 meses, utilizamos a fórmula de cálculo de juros com expoente “2”. Se fosse a.t., utilizaríamos o expoente “3”, no quadrimestre, “4”, no semestre, “6” e no ano, “12”. Da mesma forma, ao converter uma taxa a.b. para a.s., utilizaríamos, também, o expoente “3”, visto que um semestre é composto por três bimestres.
A mesma lógica deve ser utilizada ao convertermos para ciclos mais curtos, por exemplo, ao converter uma taxa a.b. em a.m.: nesse caso, como um mês é composto de meio bimestre (ou seja, ½ bimestre), o expoente deveria ser ½, o que equivale à radiciação de base 2.
A tabela a seguir mostra os valores que devemos utilizar como expoente para converter a taxa de juros de determinado período em taxas com períodos diferentes, utilizando a fórmula:
J(%) = (1 + i)n – 1.
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Tabela 1 - Expoentes para conversão de taxas de juros com períodos diferentes, no regime de capitalização de juros compostos.Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Por exemplo, juros de 6% a.m. representam (1 + 0,06)4 – 1 = 0,2625 = 26,25% a.q., ao passo que 28% a.a. representam:
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Já 3,5% a.b. representam: 
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O filme O lobo de Wall Street (WINTER, 2014) conta a trajetória do jovem Jordan Belfort que, após um período de estágio em uma corretora de Wall Street, começa a trabalhar em uma empresa que negocia papéis de baixo valor, fora da bolsa de valores. Belfort monta uma empresa focada nesse tipo de negócio e, junto aos colegas dos velhos tempos, enriquece rapidamente e leva uma vida de luxo.
Como você pode perceber, os cálculos com juros compostos são mais complexos do que os com juros simples, basicamente pelo fato de que não dependemos somente das quatro operações básicas, mas também da exponenciação e radiciação.
Esses cálculos podem se tornar mais simples se utilizarmos calculadoras financeiras, em especial, a mais comumente utilizada, a HP 12C.
2.1.2 Uso da calculadora HP 12C para fazer cálculos de juros compostos
As calculadoras podem ser classificadas em quatro famílias:
básicas – contêm somente as quatro operações matemáticas fundamentais (+, -, x e ÷);
científicas – utilizadas para a solução de cálculos matemáticos em geral; contêm, além das quatro operações aritméticas, exponenciação e radiciação. Além disso, podem conter funções estatísticas e outras;
financeiras – além de permitirem a solução de cálculos matemáticos em geral, contêm fórmulas pré-programadas de Matemática Financeira (DAL ZOT; CASTRO, 2015);
programáveis – permitem resolver cálculos e equações diversas por inferências e processos iterativos diversos.
Ainda que a maioria dos cálculos financeiros possam ser feitos
com calculadoras convencionais, as calculadoras financeiras têm como característica possuírem comandos e funções específicas dessa área, não sendo necessário, portando, conhecer as fórmulas e montar uma sequência de passos até se chegar ao resultado de um problema financeiro.
Isso não significa, porém, que seu uso seja trivial: é importante conhecer seus comandos e, mesmo, sequências a serem seguidas para efetuar corretamente os cálculos, afinal, como qualquer outra calculadora, se entrarmos com valores ou comandos errados, a calculadora não vai identificá-los (por mais completa que ela seja, não tem capacidade crítica para identificar erros lógicos do usuário). Consequentemente, salvo haja algum comando que viole a lógica operacional da calculadora, os cálculos serão efetuados e será gerado um resultado que pode não fazer qualquer sentido e, pior que isso, se não detectado, pode levar a decisões errôneas sobre finanças e investimentos.
Vamos, assim, estudar a estrutura lógica e os comandos do modelo HP 12C, que pode ser vista na figura a seguir.
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Figura 2 - Calculadora HP 12C, a mais conhecida e utilizada para trabalho com imóveis, finanças, contabilidade, economia e empresas.Fonte: Adaptado de HP (2004, p. 93).
Mas, primeiramente, é importante saber que a HP 12C utiliza a chamada RPN (do inglês Reverse Polish Notation – Notação Polonesa Inversa), que segue uma lógica distinta das calculadoras convencionais, ao utilizar memórias de armazenagem (chamadas de “pilhas”, por empilhar/armazenar dados) para a digitação dos números e, só depois, indica-se qual operação deve ser feita com eles.
Tal notação foi “desenvolvida pelo matemático polonês Jan Luksievicz (1878-1956), com o objetivo de reduzir o número de operações na solução de equações, de larga aplicação em sistemas computacionais” (DAL ZOT; CASTRO, 2015, p. 137).
Por exemplo, em uma calculadora convencional, se quisermos calcular quanto é “325 + 77”, basta digitar exatamente na sequência em que está escrito e clicarmos no “=”, ou seja:
325
+
77
=
E aparecerá o resultado no visor, ou seja, “402”.
Na HP 12C, a mesma conta segue lógica e sequência completamente distintas, não intuitiva como em outras calculadoras (SILVA, 2014):
325
ENTER
77
+
Pode parecer uma sequência estranha e até mesmo ilógica, mas a RPN apresenta grandes vantagens em cálculos mais complexos, por reduzir a quantidade de passos e, consequentemente, facilitar e agilizar cálculos diversos. 
Na dissertação de mestrado O estudo de tópicos de matemática financeira com tecnologias informáticas: opiniões de professores participantes de um grupo de formação continuada, Caramori (2009) pesquisou as opiniões de professores de um Grupo de Formação Continuada sobre o uso da Calculadora HP 12C e da Planilha Excel para o ensino e aprendizagem de tópicos de Matemática Financeira, envolvendo conceitos de porcentagem, juros simples e compostos. Apesar de os professores a considerarem um recurso útil no estudo de porcentagens e de juros compostos, acreditam que seja de uso complexo, além de não recomendarem para cálculos de juros simples.
Exemplo – vamos calcular o valor de:
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Com uma calculadora convencional, teríamos de digitar:
5
+
9
=
/
2
=
E obteríamos o resultado “7”. Já com a HP 12C, os comandos seriam:
5
ENTER
9
+
2
/
E obteríamos, obviamente, o mesmo resultado. Repare que, se com a calculadora convencional precisamos de sete passos para chegar ao resultado, com a HP 12C conseguimos isso com somente seis. Na realidade, quanto mais complexo for o cálculo, mais vantajosa é a utilização da RPN e, por essa razão, ela é utilizada para efetuar seus cálculos financeiros.
A explicação é que “Apertando ENTER você indica à calculadora que terminou de digitar o número, terminando a entrada de dígitos. Não é necessário apertar ENTER depois de digitar o segundo número, pois as teclas +,-, x e ÷ também terminam a entrada de dígitos” (HP, 2004, p. 19). Com isso a RPN permite, por exemplo, dispensar o uso de parênteses, colchetes, chaves e mesmo do sinal de igual, minimizando os erros e aumentando a velocidade de processamento.
Você pode estar ser perguntando: como vou fazer para praticar e me familiarizar com os comandos da HP 12C se eu não tenho uma? Terei de comprar? Pedir emprestada? Sem ter a calculadora em mãos, é muito difícil conseguir fixar os conceitos apresentados. Bem, para isso, há uma solução: um emulador que você pode usar em seu computador (Web HP-12C emulator). Além de representar fielmente a imagem da HP 12C (praticamente do mesmo tamanho da calculadora de verdade), contém todas as funções necessárias ao uso. O texto que acompanha a calculadora está em inglês e português.
Outros aspectos relevantes sobre a HP 12C: seus botões apresentam múltipla função: repare, por exemplo, no botão PV (observe a localização dele na figura a seguir) – além da função PV, que discutiremos mais adiante, ele tem uma função indicada na parte superior, na cor laranja (NPV) e outra função na parte inferior, na cor azul (CFo).
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Figura 3 - Detalhe do botão PV na HP 12C, mostrando as múltiplas funções do mesmo (cor branca no meio, cor laranja na parte de cima e cor azul na parte de baixo). Fonte: Adaptado de HP (2004, p. 93).
Assim, se pressionarmos o botão, selecionamos PV. Mas, se, antes disso, clicarmos no botão laranja “f”, que fica na parte inferior da calculadora, selecionaremos a função “NPV”. Da mesma forma, se antes de clicar no botão PV, você clicar no botão azul “g” (também na parte inferior da calculadora), estará selecionando a função “CFo”.
Outro botão importante é o “CLx”, que fica na parte central da HP 12C, e limpa o mostrador. Se, antes de pressioná-lo, você clicar no botão laranja “f”, você “Apaga os dados anteriores da memória da calculadora” (HP, 2004, p. 12).
Há ainda o botão “CHS”, que fica na parte central superior da HP 12C (veja a figura) e serve para mudar o sinal de um valor, o que explica sua simbologia, do inglês Change Signal (mudar sinal): se você digita, por exemplo, “20” e, em seguida, “CHS”, o valor no visor e nos cálculos será alterado para “-20”. Se pressionado o “CHS” novamente, ele voltará a “6”. Ou seja, não é um botão para “passar para o negativo”, mas sim para mudar o sinal: o que for positivo passa a negativo, e vice-versa.
Uma série de botões muito úteis aos cálculos no regime de capitalização de juros compostos se encontra na linha superior da calculadora (abaixo do visor), a partir da esquerda. Nesse tipo de cálculo, lidamos com as variáveis: valor investido (VP), taxa de juros (i) e do tempo em que o valor é investido (n); gerando ao final do período um valor (VF) superior ao valor investido.
Pois bem, essas funções são as executadas por tais botões, na sua versão em inglês: n, i, PV (do inglês Present Value, ou valor presente – VP), PMT (que discutiremos mais adiante) e FV (do inglês Future Value, ou valor futuro – VF).
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Figura 4 - Detalhe dos botões utilizados para as variáveis dos cálculos do regime de juros compostos. Fonte: Adaptado de HP (2004, p. 93).
É importante recordar que, nos cálculos dos juros compostos tais variáveis se inter-relacionam e, dessa forma, a dinâmica que utilizamos nas fórmulas é válida para a HP 12C, ou seja, sabendo o valor das demais variáveis, podemos calcular o valor da variável que desejamos identificar. Por exemplo, sabendo o valor de n, i e PV, podemos calcular FV, da mesma forma que, sabendo o valor de i, PV e FV, podemos calcular o valor de n etc.
Mas, há algumas particularidades nestes cálculos:
como calculadora financeira, ela assume que os valores informados para i já são valores percentuais. Assim, se você clica 5 e depois i, a HP 12C interpreta que i = 5%. Da mesma forma, se ela calcula i, o valor mostrado no visor é percentual;
ela não interpreta a compatibilidade entre as unidades de i e n, assumindo que
elas estão na mesma base. Assim, se você clica 5 e ie depois 10 e n, ela assume uma taxa de 5% ao período (que ela não sabe qual é, podendo ser a.d., a.m., ou qualquer outra periodicidade) e que são 10 períodos equivalentes à periodicidade de i, ou seja, 10 dias, 10 meses, ou qualquer outra medida de tempo;
caso as unidades de i e n não sejam compatíveis, é necessário transformá-las, para coincidir o período de capitalização com a taxa adequada;
a HP 12C efetua seus cálculos considerando o que é chamado de “soma zero”, isto é, as entradas e saídas de dinheiro, ajustadas em função do tempo, totalizarão zero. Assim, se há um investimento (VP) no valor de R$100,00 durante o tempo n a uma taxa i, gerando um valor ao final desse tempo (VF) de R$120,00, o valor mostrado no visor será de –R$120,00. Caso tivéssemos considerado o VP como sendo de -R$100,00 (que, na realidade, seria o correto, de acordo com a praxe em Matemática Financeira: dinheiro saindo, são valores negativos, enquanto dinheiro entrando, valores positivos), o VF seria de R$120,00.
Assim, se quisermos saber qual a taxa (i) nessa situação, considerando um n de 10, a sequência de comandos seria:
f CLx
100
CHS
PV
120
FV
10
n
i
E será mostrado no visor o resultado 1,84. Ou seja, caso n represente meses (isto é, 10 meses), a taxa seria de 1,84% a.m. Se, porventura fossem 10 bimestres, a taxa seria de 1,84 % a.b. e assim sucessivamente.
Ou seja, explicando o passo a passo dos comandos e a lógica utilizada na HP 12C: após a limpeza dos registros (f + CLx), digitamos 100 e CHS, o que transforma o valor 100 em -100. Mas, a calculadora não sabe o que é esse valor, ou seja, o que fazer com ele. Ao clicarmos em PV, ela compreende que:
VP = -100
Em seguida, ao digitarmos 120 e FV, ela compreende que:
VF = 120
Ao digitarmos 10 e n, ela interpreta, então, que:
n = 10 (lembre-se de que ela não sabe se são 10 dias, 10 meses, ou qualquer outro período de tempo, mas somente que são 10 unidades de tempo).
Pois bem, sabemos da correlação entre as variáveis, de tal forma que, sabendo o valor delas, podemos calcular o valor que queremos saber. Assim, o que seria calculado pela fórmula:
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Pode ser calculado agora simplesmente clicando em i, gerando o resultado de 1,84%.
A mesma lógica se aplica a qualquer outra variável que desejamos calcular: você viu que, sabendo os valores de VP, VF e n, é possível calcular i. Mas, também, sabendo os valor de VP, i e n, é possível calcular o VF etc., o que torna o uso da HP 12C bastante simples.
Lançada em 1981, a HP 12C é a calculadora financeira mais antiga da história e, também, a de maior sucesso. Ainda que a empresa não divulgue suas vendas, sabe-se que até 2003 foram vendidas cerca de três milhões de unidades em todo o mundo (ISTO É DINHEIRO, 2016). Um grande sucesso, sem dúvida, principalmente para um produto cujo design permanece basicamente o mesmo desde o lançamento e que arregimenta inúmeros fãs e seguidores, a ponto de existir um clube com sócios em todo o mundo que reúne usuários de calculadoras financeiras, em especial as fabricadas pela HP: o HPCC (Handheld and Portable Computer Club. De fato, a HP 12C é um ícone entre executivos e analistas do mercado financeiro mundial e poucos profissionais se arriscam a ter uma calculadora diferente (ISTO É DINHEIRO, 2016), sendo um dos poucos modelos aceitos nos exames de certificação de profissionais de finanças (CFP e CFA) (GREGO, 2011).
Você deve ter percebido, então, que a HP 12C tem inúmeras vantagens quando lidamos com cálculos financeiros, o que é lógico, por ser uma calculadora projetada justamente para esse uso.
A HP 12C não é o único recurso que facilita os cálculos financeiros: além de inúmeros aplicativos existentes, o Excel tem um conjunto de funções financeiras que se assemelham aos recursos da HP 12C, como as funções NPER (equivalente ao n), TAXA (equivalente ao i), VP, VF e tantas outras mais.
Mas, um aspecto que precisa ser discutido quando tratamos dos cálculos financeiros e, em especial, o conceito do valor do dinheiro no tempo é o fato de que, além dos cálculos feitos “para frente”, ou seja, o acréscimo de juros que transforma um VP em um VF, há situações em que devemos fazer cálculos “para trás” – cálculos de valores referentes à antecipação de pagamentos ou recebimentos, na forma de descontos.
2.2 Desconto simples
A lógica do valor do dinheiro no tempo nos ensina que o mesmo valor monetário de hoje no futuro terá, de fato, um valor menor. Por isso, um valor tomado hoje como empréstimo ou investido em determinada aplicação financeira, para ser devolvido no futuro, precisará ser acrescido de um montante que compense a perda. 
Ou seja, o dono do dinheiro precisará ser remunerado pelo tempo em que os recursos ficaram indisponíveis, na forma de juros. Por isso, se investimos hoje R$100,00, esperamos e exigimos receber no futuro os R$100,00 + uma remuneração pelo valor investido (digamos, por exemplo, mais R$10,00).
Assim, se há determinado valor a ser recebido no futuro, seu total engloba o valor que seria recebido hoje + a remuneração. Consequentemente, se por qualquer razão, houver a antecipação no recebimento, essa remuneração deveria ser retirada (ou reduzida). Observe, por exemplo, a análise, tomando por base a equação fundamental da Matemática Financeira: se,
FV = VP + J,
 então:
VP = FV – J. 
A essa diferença entre o valor a ser recebido no futuro e o valor a ser recebido em uma data anterior (que não necessariamente precisa ser o VP, podendo ser, por exemplo, um futuro mais próximo), dá-se o nome de desconto.
Ou seja, pela lógica do valor do dinheiro no tempo da Matemática Financeira, um valor recebido “mais tarde” deve ser remunerado pelos juros, ao passo que um valor recebido “mais cedo” apresenta desconto.
Os descontos, ainda que tenham suas peculiaridades e especificidades, seguem basicamente a mesma lógica utilizada nos cálculos de juros, utilizando, também, as mesmas variáveis. Vamos compreender a dinâmica dos cálculos envolvendo descontos, lembrando que a aplicação e a capitalização dos juros podem ocorrer de duas formas: juros simples e juros compostos, e a diferença entre esses regimes é a de que nos juros simples o cálculo se aplica ao valor investido, ou seja, no VP, ao passo que nos juros compostos, os juros auferidos são somados ao VP e, a partir daí, os juros são calculados sobre esse novo montante, gerando um valor ainda maior, sobre o qual são calculados, novamente, os juros sobre o novo total e assim sucessivamente.
2.2.1 Valor do dinheiro no tempo aplicado a descontos
Vamos imaginar que você tenha R$1.000,00 a receber daqui a um ano, mas lhe é oferecida a possibilidade de receber agora esse valor. Se você recebesse esse montante agora, poderia aplicar em um investimento que lhe remunerasse a uma taxa de, digamos, 7% a.a. e, consequentemente, um ano depois, teria R$1.070,00, ao invés de R$1.000,00.
Essa lógica da remuneração pelo tempo nos leva a inferir que, o mais correto, em termos de Matemática Financeira, fosse receber menos do que os R$1.000,00 (na realidade, algo próximo a R$935,00). 
O cálculo do desconto, a exemplo dos regimes de capitalização dos juros, pode ser por juros simples e juros compostos. Além disso, sua alíquota (i) pode ser aplicada sobre o VP ou sobre o VF. Em termos práticos, no Brasil, a prática ampla e generalizada é a do desconto em juros simples ser calculado sobre o VF (que recebe o nome de desconto comercial, bancário, ordinário ou por fora) e, somente em casos específicos, o desconto sobre o VP (recebendo o nome de desconto racional, real ou por dentro) com juros compostos.
Vamos compreender a dinâmica nesse tipo de transação: o portador de títulos como notas promissórias, duplicatas e outros pode antecipar seu fluxo de caixa, isto é, antecipar os valores a serem recebidos, ao ceder os títulos a vencer no futuro, em troca do recebimento à vista de um valor inferior ao valor de face dos títulos. Assim, por exemplo,
a empresa pode descontar as duplicatas de venda de produto ou de prestação de serviços que emitiu, antes da data de vencimento (CEF, s.d.).
Qual a diferença entre duplicata e promissória?  “Quando uma empresa vende uma mercadoria, ela emite uma nota fiscal. De acordo com a lei, essa nota fiscal tem de ter algumas vias (cópias eletrônicas ou de papel)” (ABREU, 2015, p.25). Daí o nome “duplicata”. Já a nota promissória, como o nome indica, é uma “promessa” de um compromisso financeiro: “Uma promissória é um instrumento de confissão de dívida. O emitente da promissória é aquele que a assina, reconhecendo que deve e que vai pagar determinado valor em data fixada nesse mesmo documento” (ABREU, 2015, p. 26).
Olhando pelo lado da instituição financeira, ela está fazendo um investimento: adquire os direitos dos títulos no momento da transação por um VP e vai receber o valor de face dos títulos em um momento futuro, sendo o valor de face o VF de tal investimento.
E, olhando pelo lado da empresa que desconta os títulos, ela obtém o valor antes do vencimento dos títulos (VP). Mas, ao invés de receber o valor integral VF, recebe com um desconto. Ou seja,
VP = VF – d
Sendo d, o desconto na transação. 
Veja na figura a seguir um exemplo de duplicata.
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Figura 5 - Exemplo de uma duplicata, com valor de face de R$485,07, emitida em 03 de abril de 1999 e com data de vencimento de 04 de maio do mesmo ano.Fonte: DTCOM, 2018.
Silva e Porto (2012, p. 3) explicam como é esse trâmite:
os bancos comerciais recebem das empresas borderôs de desconto, formados por duplicatas a receber; os bancos deduzem do valor nominal do borderô o desconto (juros) e os encargos operacional (tarifas) e fiscal (impostos); a diferença entre o valor nominal do borderô e o deságio total divulga o valor efetivamente disponibilizado às empresas.
Eventualmente, cheques pré-datados podem, também, ser utilizados em transações de descontos (GIMENES, 2006).
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Figura 6 - Cheque, quando emitido com data futura, caracteriza o que é denominado cheque pré-datado.Fonte: Popartic, Shutterstock, 2018.
É importante salientar que, conforme determinação do Banco Central, o cheque é uma ordem de pagamento à vista, válida para o dia de sua apresentação ao banco, mesmo que nele esteja indicada uma data futura. Se houver fundos, o cheque pré-datado é pago (BANCO CENTRAL DO BRASIL, 2014).
É comum os bancos oferecerem aos clientes pessoa física a “antecipação da restituição do Imposto de Renda”, que segue uma lógica idêntica ao do desconto de títulos: quando os clientes têm direito à restituição do IR, os bancos oferecem o recebimento antecipado do valor. Para isso, as instituições disponibilizam ao cliente um valor menor do que ele irá receber. Assinado o contrato, na data em que a Receita Federal depositar a restituição do IR na conta bancária do contribuinte, esse valor é imediatamente sacado pelo banco. Mas, é importante lembrar que isso não deve ser considerado um investimento por parte do contribuinte, pois as taxas cobradas pelos bancos são mais do que o dobro da remuneração que a devolução recebe enquanto o Governo não devolve o dinheiro ao contribuinte (FONSECA, 2014).
 Pois bem, como o desconto de duplicatas e promissórias é calculado com base no VF, ou seja, como os juros para desconto de títulos são calculados sobre o valor futuro, com base em juros simples, temos então:
J = d = VF x i x n
Dessa forma:
VP = VF – VF x i x n
Ou ainda:
VP = VF (1 – i x n)
Essa é a fórmula geral para o cálculo do desconto de duplicatas e similares.
Como usual, podemos rearranjar a fórmula, caso desejemos calcular outros elementos nas mesmas situações. Ou seja,
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Essas fórmulas podem ser utilizadas, então, para efetuar uma série de cálculos, importante para que possam ser feitas escolhas adequadas junto às instituições financeiras.
2.2.2 Aplicação do sistema de desconto no dia a dia
Quando uma empresa necessita de fundos para, por exemplo, comprar matérias-primas, ela pode recorrer a um empréstimo. Assim, recebe o dinheiro do empréstimo, utiliza-o para comprar o material necessário as suas atividades, fabrica os produtos ou executa os serviços, gerando uma receita pelo recebimento por eles. E, com esse dinheiro recebido, paga o empréstimo.
No entanto, uma alternativa seria a de, ao invés de contrair um empréstimo, analisar a possibilidade de descontar duplicatas, referentes a valores ainda a receber. Por exemplo, a empresa pode consultar no site do Banco Central as taxas para Pessoa Jurídica – Desconto de Duplicata   e encontrar que a Caixa Econômica Federal pratica a taxa de 3,43% a.m. (taxa informada em 13 de janeiro de 2018).
Assim, se a empresa necessita de R$1.000.000,00, ela poderia descontar duplicatas que vencerão em seis meses no valor total de:
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Ou seja, R$1.259.128,68 em duplicatas.
Mas, como saber se a transação é vantajosa, melhor do que recorrer a um empréstimo? Consultando no mesmo site, podemos buscar a taxa para Pessoa Jurídica – Capital de Giro com Prazo Até 365 Dias: considerando a mesma instituição e mesma data, encontramos uma taxa de 3,28% a.m. Podemos, então, fazer o cálculo de quanto seria o valor a ser pago com essa taxa:
VF = 1.000.000 (1 + 0,0328)6 = 1.213.660,94.
Observe que, nesse exemplo, o empréstimo seria melhor do que o desconto das duplicatas, pois ao descontá-las, a empresa deixaria de receber R$1.259.128,68 daqui a seis meses, mas esse montante é superior ao valor que ela teria de pagar pelo empréstimo (R$1.213.660,94).
Assim, seria melhor manter as duplicatas e recorrer ao empréstimo. Mas, isso não é uma regra geral: na vida real, seria adequado verificar as taxas do dia, considerando inclusive diferentes instituições, escolhendo a alternativa mais vantajosa às necessidades da empresa. Além disso, devem ser verificadas eventuais taxas de crédito, IOF etc., para fazer a escolha. Existe, também, a possibilidade de negociação junto às instituições, visando obter condições mais favoráveis.
Outro aspecto muito importante a ser analisado é a rentabilidade da instituição na transação: o fato de a Caixa Econômica Federal (a instituição que escolhemos para desenvolver o nosso exemplo do desconto de duplicatas) praticar a transação com uma taxa de 3,43% a.m. não significa que essa a seja a remuneração dela na transação. Lembre-se de que tal taxa é aplicada sobre o VF (e não sobre o VP) e, além disso, o cálculo do desconto de duplicatas é com base em juros simples (e não em juros compostos). Assim, precisamos saber qual a taxa que a instituição tem como rentabilidade, isto é a sua real remuneração.
Para isso, utilizamos, então, a fórmula: 
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Isso explica o fato de que o empréstimo seria uma alternativa melhor do que o desconto de duplicatas: enquanto a taxa praticada no empréstimo é de 3,28% a.m., a taxa de rentabilidade no caso do desconto de duplicatas é superior: 3,92% a.m.
Tais aspectos são, como indicado anteriormente, as condições reinantes de desconto simples. Ainda que menos usual, podem ocorrem, também, situações em que o cálculo dos juros não é aplicado sobre VF, mas sim sobre o VP: de acordo com Samanez (2010, p.70), o desconto racional simples “não apresenta praticamente nenhuma aplicação relevante nas operações bancárias ou comerciais”. Assim, pode ocorrer, por exemplo, em transações entre particulares.
Sua base de cálculo é exatamente a mesma do cálculo de juros no regime de capitalização simples. Assim, como:
VF = VP (1 + i x n)
e
d = VF – VP
temos que:
d = VP [(1 + i x n) – 1]
Assim, por exemplo, em uma situação hipotética em que um empresário necessite de R$1.000,00 e seja cobrada uma taxa de desconto racional simples de 3% a.m., em um período de cinco meses, o desconto será de 1.000 x [(1 + 0,03 x 5) – 1] = R$150,00. Ou seja, o empresário deveria disponibilizar recursos (títulos, bens
etc.) com vencimento/disponibilização em cinco meses, no valor de R$1.150,00 para receber os R$1.000,00 de que necessita.
Menos comum é também o uso de juros compostos em descontos. Mas eles acontecem e você precisa saber suas características e como são calculados.
2.3 Desconto composto
No desconto composto, como o nome indica, são utilizados juros compostos como base de cálculo. E, a exemplo dos juros simples, os descontos compostos podem ser no regime comercial (ou bancário, ordinário, ou por fora) ou no regime racional (ou real, ou por dentro) (CASTANHEIRA; MACEDO, 2012).
Sobre este último, ainda que pouco usual, é apresentado por Dal Zot e Castro (2015) como utilizado em operações com prazos superiores a 90 dias.
Pode parecer um contrassenso as instituições financeiras trabalharem com juros simples, afinal, sabemos que o crescimento dos valores nos regimes de capitalização de juros compostos é maior do que nos juros compostos e, consequentemente, parece que as empresas financeiras estão abrindo mão de maiores ganhos ao adotarem esse sistema no desconto de notas promissórias e duplicatas.
Mas, isso não é verdade: na realidade, ao antecipar o valor de uma duplicata, quanto menos a instituição financeira desembolsar por ela, maiores serão seus ganhos. Essa é a forma de elas conseguirem majorar seus ganhos nos cálculos dos descontos, por menos intuitivo e contraditório que isso possa parecer. 
Vamos compreender essa lógica com um exemplo numérico: suponhamos que uma instituição financeira trabalhe com descontos em juros simples, sobre um VF de R$1.000.000,00, a uma taxa de 3% a.m. Considerando uma antecipação de um mês, isso representaria um desconto de 0,03 x 1.000.000 = R$30.000 e, consequentemente, o valor a ser pago ao cliente seria de R$970.000,00. Se, ao invés disso, a antecipação fosse de dois meses, o valor pago seria de R$940.000; com três meses, R$910.000,00, e assim sucessivamente.
Mas, se fossem juros compostos, teríamos uma situação completamente diferente: lembre-se de que os juros compostos são incorporados ao valor principal. Mas, no caso do desconto, estamos falando de antecipação, ou seja, o valor dos juros não é acrescido ao valor, mas sim subtraído. Assim, os juros após o primeiro mês não são mais calculados sobre R$1.000.000,00, mas sim sobre o que “restou” do valor, ou seja, sobre R$970.000,00. Dessa forma, ao invés de R$30.000,00 (3% de R$1.000.000,00), eles seriam de R$29.100,00 (3% de R$970.000,00). Antecipando em mais um mês, o desconto seria de 3% sobre R$940.900,00 (970.000 – 29.100 = 940.900).
Repare como os descontos são cada vez menores e, consequentemente, o valor a ser pago pelo banco é maior do que seria se o cálculo fosse sobre os juros simples. O gráfico a seguir evidencia essa diferença.
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Figura 7 - Valor a ser antecipado pela instituição financeira pelo desconto de títulos no valor de R$1.000.000,00, considerando i = 3% a.m.Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Isso explica a lógica da utilização dos juros simples nos descontos: o ganho da instituição financeira é maximizado pelo aumento do desconto e consequente redução do valor a ser pago ao cliente.
Vamos entender como são efetuados os cálculos dos descontos compostos no regime racional.
2.3.1 Descontos compostos no regime racional
Também conhecido por regime real, ou “por dentro”, pode eventualmente ser utilizado em transações bancárias e comerciais. Sua base de cálculo envolve a lógica do regime de capitalização de juros compostos, em especial, o cálculo desses juros sendo aplicado inicialmente sobre o VP: daí a nomenclatura “por dentro”, por se referir ao cálculo aplicado por algo no momento presente, e não a algo ainda por acontecer (VF).
Dessa forma, partindo da fórmula básica de cálculo dos juros compostos:
VF = VP (1 + i)n
E, sabendo que:
d = VF – VP
Temos:
d = VP (1 + i)n – VP
Rearranjando a fórmula, temos:
d = VP [(1 + i)n – 1]
Caso desejemos calcular o valor de d, tendo por base o VF (o que faz sentido, visto que esse será o valor dos títulos oferecidos), é necessário fazer novo rearranjo na equação:
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Exemplo: um lojista procurou seu banco para descontar uma duplicata a vencer em um prazo de seis meses, com o valor de face de R$100.000,00. Sabendo que o banco pratica uma taxa de desconto composto de 3% a.m., quanto ele receberia, desconsiderando qualquer outra taxa ou impostos? 
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Consequentemente, o lojista receberia:
100.000 – 16.251,57 = R$83.748,43
Vamos ver agora como funciona o sistema de descontos compostos no regime comercial. 
2.4 Desconto composto
O desconto composto no regime comercial (também conhecido como bancário ou ordinário) tem o valor de desconto calculado sobre o VF, a exemplo da prática nos descontos simples, sendo, por isso, chamado de desconto “por fora”, visto aplicar-se a um valor ainda a ser recebido, em momento futuro (o próprio conceito de VF).
No entanto, é importante destacar que Dal Zot e Castro (2015, p. 48) enfatizam que “Embora citado por alguns autores, não se tem conhecimento sobre a utilização do desconto bancário composto”.  Então, a abordagem de tal regime é tratada somente com finalidade didática.
Vamos estudar suas características e dinâmica dos cálculos.
2.4.1 Cálculos financeiros de juros compostos
O cálculo do VF nos juros compostos tem forte similaridade com o cálculo nos juros simples, como pode ser visto ao compararmos as fórmulas a seguir:
VFjs = VP (1 + i x n); e
VFjc = VP (1 + i)n
O mesmo pode ser dito, consequentemente, no caso do cálculo dos juros:
Jjs = VP x i x n; e
Jjc = VP [(1 + i)n – 1]
A diferença entre elas está na natureza da capitalização: enquanto no regime de capitalização simples o crescimento dos juros é linear e, sob essa lógica, os valores calculados consideram a multiplicação da taxa i pela quantidade de períodos n, no caso dos juros compostos, a incorporação dos juros ao valor a ser investido a cada período faz com que haja a aplicação de “juros sobre juros”, de tal forma que o crescimento seja exponencial.
Consequentemente, podemos inferir que a mesma lógica se aplica no caso do cálculo dos descontos: se a redução do VF é linear, isto é, o desconto aumenta linearmente em função do tempo de antecipação, como pode ser visto na fórmula a seguir.
VP = VF (1 – i x n)
Podemos concluir que a fórmula para desconto composto no regime comercial é:
VP = VF (1 – i)n
Por exemplo, vamos supor que um VF de R$1.000.000,00 é descontado sob esse regime, a uma taxa de 3% a.m.: se n = 1, ou seja, se o prazo para o vencimento é de um mês, o desconto seria de 0,03 x 1.000.000 = R$30.000,00, sendo pago R$970.000,00.
Mas, se o vencimento for em dois meses (ou seja, se n = 2), haveria novo desconto de 3%, aplicado sobre os R$970.000,00, ou seja, R$29.100,00, de forma que o valor a ser pago seja de R$940.900,00, e assim sucessivamente.
Vamos observar esse comportamento por meio das fórmulas: a partir do tempo n, no qual há o VF, temos:
VPn-1 = VF (1 – i)
Sendo VPn-1 o VP um mês antes de n, ou seja, caso o vencimento do título ocorresse no prazo de um mês. Podemos entender, a partir de tal dedução que, se o momento presente fosse um mês antes, ou seja, “n – 2”, teríamos VPn-2, o qual seria calculado por:
VPn-2 = VPn-1 (1 – i)
Substituindo VPn-1, temos:
VPn-2 = VF (1 – i) (1 – i) = VF (1 – i)2
Pela mesma lógica, podemos entender que:
VPn-3 = VF (1 – i)3
Dessa forma, é possível generalizar a fórmula de cálculo do VP em descontos compostos no regime comercial como sendo:
VP = VF (1 – i)n
Podemos, também, rearranjar a fórmula, para identificar as demais variáveis, como segue. 
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Utilizando o mesmo exemplo do tópico anterior: o lojista desconta uma duplicata a vencer em seis meses, com o valor de face de R$100.000,00, sendo a taxa de desconto composto de 3% a.m., quanto ele receberia, desconsiderando qualquer outra taxa ou
impostos? 
d = 100.000 [1 - (1 – 0,03)6] = 16.702,80
Ele receberia:
100.000 – 16.702,80 = R$83.297,20
Como você pode perceber, a diferença entre os dois valores nos diferentes regimes não é substancial: essa é uma característica dos descontos, devido ao fato que usualmente os prazos não são longos.
Síntese
Você concluiu os estudos sobre as taxas equivalentes em juros compostos e dos cálculos de descontos. Agora, você já conhece a lógica dos juros para o cálculo de investimentos, bem como no desconto de títulos.
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
aplicar taxa equivalente nos cálculos com juros compostos;
empregar a HP 12C em problemas com juros compostos;
definir o conceito de descontos nos cálculos financeiros;
distinguir entre os diferentes regimes de descontos;
resolver problemas de descontos em cálculos financeiros.
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