Testes de Hipoteses

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1
� Introdução: hipóteses e erros de conclusão
� Testes de hipóteses para uma e duas médias
� Testes de hipóteses para uma e duas variâncias
� Testes de hipóteses para uma e duas proporções
Inferência Estatística –
Testes de Hipóteses
Profª Lisiane Selau
2
Problema a ser resolvido pela Inferência Estatística 
→→→→ testar uma hipótese
Feita uma afirmação a respeito de uma população (parâmetro) 
→→→→ saber se os resultados amostrais contrariam tal afirmação
����
����
Testes de hipóteses
Definição: o teste de hipóteses é um procedimento 
estatístico onde se busca verificar uma hipótese a 
respeito da população, no sentido de rejeitá-la, tendo por 
base dados amostrais.
Profª Lisiane Selau
Lógica dos Testes de Hipóteses
População
Valor 
hipotético do 
parâmetro. Qual é a magnitude da diferença entre o valor 
observado da 
estatística e o valor 
hipotético do 
parâmetro?
Não rejeitar a 
hipótese
Amostra
Valor 
observado da 
estatística.
Rejeitar a 
hipótese
Questão a ser feita
µµµµ = 130 mmHg
Diferença pequena
Diferença grande
x= 135 mmHg
Decisão a ser tomada
Hipótese: um novo medicamento é eficaz no controle da pressão arterial
3Profª Lisiane Selau
4
Existem dois tipos básicos de hipóteses estatísticas:
���� Hipótese de nulidade (H0): hipótese sob verificação que 
supõe a igualdade dos parâmetros que estão sendo 
comparados.
���� Hipótese alternativa (HA): hipótese considerada caso a 
hipótese de nulidade seja rejeitada e supõe que os 
parâmetros comparados são diferentes.
Hipótese estatística 
A hipótese estatística é uma suposição feita a respeito de um
ou mais parâmetros (µ, σ2, pi, etc.).
Profª Lisiane Selau
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Uma população
Uma estimativa ( ) do parâmetro de interesse (µ)
Um valor conhecido e comprovado (µ0)
Uma amostra
Exemplo: Para verificar se uma nova droga é eficaz no 
tratamento da pressão alta, a pressão média de um grupo de 
pacientes submetidos a esta droga (amostra) é comparada 
com um valor que é considerado normal (valor padrão).
x
0A μμ:H ≠
0μμ >
0μμ <
00 μμ:H =
Bilateral
Unilateral direita
Unilateral esquerda
Escolher 
uma das três
Profª Lisiane Selau
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Exemplo: Para verificar, entre métodos de ensino, qual dá 
melhor desempenho quanto ao aprendizado dos alunos, 
comparamos as notas dos alunos de duas turmas (duas 
amostras), cada uma submetida a um método de ensino.
Estimativa de µµµµ1
População 1
Amostra 1
População 2
Amostra 2
Estimativa de µµµµ2
1x 2x
Bilateral
Unilateral direita
Unilateral esquerda
Escolher 
uma das três
21A μμ:H ≠
21 μμ >
21 μμ <
210 μμ:H =
Profª Lisiane Selau
7
Exemplo 1: Teste unilateral
Problema científico: Um novo medicamento é eficaz no
controle da pressão arterial?
População C – pacientes com uso do medicamento
População S – pacientes sem uso do medicamento
Variável em estudo → X: pressão arterial 
µC
µS
Unilateral
Quando temos motivos suficientes para supor que uma
das médias será maior que a outra, podemos formular
uma hipótese alternativa unilateral (mais específica).
SCA μμ:H <
SC0 μμ:H =
Hipóteses estatísticas:
Profª Lisiane Selau
8
Exemplo 2: Teste bilateral
Problema científico: O método de ensino A é melhor que o 
método de ensino B?
População A – alunos ensinados pelo método A
População B – alunos ensinados pelo método B
Variável em estudo → X: notas dos alunos
µA
µB
BAA μμ:H ≠ Bilateral
Quando não temos motivos suficientes para supor que 
uma das médias será maior que a outra, formulamos uma 
hipótese alternativa bilateral (mais genérica). 
BA0 μμ:H =
Hipóteses estatísticas:
Profª Lisiane Selau
9
Será muito mais econômico e menos trabalhoso 
utilizar amostras das populações.
Objetivo: verificar a hipótese
Podemos verificar a hipótese de duas formas:
���� avaliar as populações inteiras (todos os alunos ensinado 
pelos dois métodos ou todas os pacientes com e sem uso do 
medicamento) e comparar suas médias
���� avaliar amostras retiradas das populações e utilizar um 
teste estatístico que compare as médias das amostras
Devemos considerar:
���� seria impossível avaliar todos os alunos ou todos os 
pacientes
���� o processo de amostragem pode fornecer precisão suficiente
Profª Lisiane Selau
Exemplo: Suponha que um grupo econômico queira financiar a 
campanha do candidato X, se esse tiver condições de se eleger 
no primeiro turno.
O grupo econômico deve financiar a campanha do candidato X?
O candidato se 
elege no primeiro 
turno
pi ≥ 0,50
Decisão
Investir na 
campanha
Não investir na 
campanha
Hipótese
Verdadeira
Hipótese
Falsa
10
Erros de conclusão 
Decisão correta
Investe e ganha
Erro
Investe e perde
Erro
Não investe e se elege
Decisão correta
Não investe e não ganha 
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11
Decisão 
H0 
Não rejeitar Rejeitar 
Verdadeira 
Falsa 
 
Erro Tipo I
Erro Tipo II Acerto
Acerto
Erro 1
Erro 2 Acerto
Acerto
Decisão do juiz 
Réu 
Não condenar Condenar 
Inocente 
Culpado 
 
ββββ = Erro Tipo II: Não declarar diferença quando ela existe
αααα = Erro Tipo I: Declarar diferença quando ela não existe
Erros de conclusão 
BAA
BA0
μμ
μμ
:H
:H
≠
=
culpado réu:H
inocente réu:H
A
0
Profª Lisiane Selau
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Importante!!!
���� O único meio de reduzir ambos os tipos de erro é aumentando o 
tamanho da amostra, o que nem sempre é viável.
���� Em geral, a preocupação está voltada para o erro tipo I (α - nível
de significância), pois na maioria dos casos ele é considerado o
mais grave.
���� As duas taxas de erro αααα e ββββ estão relacionadas negativamente,
de modo que a redução de αααα implica no aumento de ββββ e vice-versa.
REALIDADE
DECISÃO
Aceitar H0 Rejeitar H0
H0 é verdadeira
Decisão correta
1 - α = P(Aceitar H0 / H0 é V)
= P(H0 / H0)
Erro do Tipo I
αααα = P(Rejeitar H0 / H0 é V) = Nível de 
significância do teste = P(H1 / H0)
H0 é falsa 
Erro do Tipo II
ββββ = P(Aceitar H0 / H0 é falsa) 
= P(Aceitar H0 /H1 é V) = P(H0 /H1)
Decisão correta
1 - ββββ = P(Rejeitar H0 / H0 é falsa) 
= P(H1 / H1) = Poder do teste. 
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Passos para construção de um teste de hipóteses
1. Definir as hipóteses estatísticas.
3. Escolher a estatística para testar a hipótese e
verificar as pressuposições para o seu uso.
2. Fixar a taxa de erro aceitável (α - nível de significância).
5. Decidir sobre a hipótese testada e concluir.
4. Usar as observações da amostra para calcular o valor
da estatística do teste.
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Situações comuns em testes de hipóteses a respeito de µµµµ
1. Comparação de uma média (µµµµ) com um valor padrão (µµµµ0)
2. Comparação entre duas médias (µµµµ1 e µµµµ2)
�Duas amostras independentes
� σ1
2 e σ22 conhecidas
� σ1
2 e σ22 desconhecidas, mas iguais
� σ1
2 e σ22 desconhecidas, mas diferentes
�Duas amostras dependentes (pareadas)
� σ2 conhecida ou n > 30
� σ2 desconhecida e n ≤ 30
Profª Lisiane Selau
n
XZ
σ
μ0−
=
Pressuposição: A variável em estudo tem distribuição normal 
e variância σ2 conhecida (ou n > 30)
Hipótese sob verificação: 0μμ =:H0
Estatística do teste:
1.Comparação de uma média (µµµµ) com um valor padrão (µµµµ0)
Valor que deve 
ser calculado 
na amostra
15Profª Lisiane Selau
16
Pressuposição: A variável em estudo tem distribuição normal 
e variância σ2 desconhecida (e n ≤ 30)
Hipótese sob verificação: 0μμ =:H0
~ t (ν)Estatística do teste:
onde:
ν = n – 1
n
S
μXT 0−=
1.Comparação de uma média (µµµµ) com um valor padrão (µµµµ0)
Valor que deve 
ser calculado 
na amostra
Profª Lisiane Selau17
αααα/2
tα/2
αααα/2
-tα/2 0
Não rejeição de H0
���� Se o valor t (calculado na amostra) estiver entre -tα/2 e tα/2, não temos 
motivos para rejeitar H0
���� Se o valor t (calculado na amostra) for menor que -tα/2 ou maior que tα/2, 
rejeitamos H0
Rejeição 
de H0
Rejeição 
de H0
Este limite é dado 
pelos valores 
críticos.
≠A 0H :μ μ
=0 0H :μ μ
n
S
μXT 0−=
Critério de decisão – Teste bilateral
HA bilateral supõe que 
a diferença 
é negativa ou positiva.
0X - μ
Mas quão grande 
será essa diferença 
para ser considerada 
significativa?
Profª Lisiane Selau
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0 tα
αααα
Rejeição 
de H0
���� Se o valor t (calculado na amostra) for menor que tα, não temos
motivos para rejeitar H0
���� Se o valor t (calculado) for maior que tα, rejeitamos H0
Não rejeição 
de H0
HA unilateral direita
supõe que a diferença 
é um valor positivo.
0X - μ
n
S
μXT 0−=
Critério de decisão – Teste unilateral 
Mas quão grande 
será essa diferença 
para ser considerada 
significativa?
Este limite é dado 
pelo valor crítico.
>A 0H :μ μ
=0 0H :μ μ
Profª Lisiane Selau
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0-tα
αααα
Não rejeição 
de H0
Rejeição 
de H0
���� Se o valor t (calculado na amostra) for maior que -tα, não temos 
motivos para rejeitar H0
���� Se o valor t (calculado) for menor que -tα, rejeitamos H0
Mas quão grande 
será essa diferença 
para ser considerada 
significativa?
Este limite é dado 
pelo valor crítico.
HA unilateral esquerda
supõe que a diferença 
é um valor negativo.
0X - μ
<A 0H :μ μ
=0 0H :μ μ
n
S
μXT 0−=
Critério de decisão – Teste unilateral 
Profª Lisiane Selau
20
Exemplo: Um processo deveria produzir bancadas com 0,85 m
de altura. O engenheiro desconfia que as bancadas que estão
sendo produzidas são diferentes que o especificado. Uma
amostra de 8 valores foi coletada e indicou média de 0,87 e
desvio padrão de 0,010. Sabendo-se que os dados seguem a
distribuição normal, teste a hipótese do engenheiro usando um
nível de significância α=0,05.
Solução:
n
S
μXT 0−=
0,85H0: µ =
0,85HA: µ ≠
0,87 - 0,85
= 5,66
0,010/ 8
tc =
1) 2)α=0,05
3)Pressuposição: A variável em 
estudo tem distribuição normal
4)
5)
0,025 0,025
Não se rejeita H0 Rejeita H0Rejeita H0
Conclusão: Ao nível de 5% de significância, conclui-se que as
bancadas que estão sendo produzidas devem ter altura
diferente do especificado, maiores que 0,85m.
-2,365 +2,365
0
ν=n-1=7
Profª Lisiane Selau
Exercício proposto: A associação dos proprietários de
indústrias metalúrgicas está preocupada com o tempo perdido
em acidentes de trabalho, cuja média, nos últimos tempos, tem
sido da ordem de 60 horas/homem por ano com desvio padrão
de 20 horas/homem, segundo a distribuição normal. Tentou-se
um programa de prevenção de acidentes e, após o mesmo,
tomou-se uma amostra de 9 indústrias e mediu-se o número de
horas/homem perdidas por acidente, que foi de 50 horas. Você
diria, ao nível de 5%, que há evidência de melhora?
Solução:
As hipóteses a serem testadas são:
H0: µ = 60 hora/homens
HA: µ < 60 hora/homens
21
1)
2)2)
Profª Lisiane Selau
Solução:
Isto quer dizer que a diferença apresentada na amostra não é
suficientemente grande para provar que a campanha de
prevenção deu resultado. Então a conclusão é:
“Não é possível, ao nível de 5% de significância, afirmar
que a campanha deu resultado. ”
1,50
9
20
6050
n
σ
μX
z 0 −=
−
=
−
=
22
3) α=0,05
4)
5)
Profª Lisiane Selau
23
Exercício proposto: O tempo médio, por operário, para executar
uma tarefa, tem sido 100 minutos, segundo a distribuição normal.
Introduziu-se uma modificação para diminuir este tempo, e, após
certo período, sorteou-se uma amostra de 16 operários, medindo-
se o tempo de execução gasto por cada um. O tempo médio da
amostra foi 91 minutos com desvio padrão de 12 minutos. Este
resultado evidencia uma melhora no tempo gasto para realizar a
tarefa? Apresente as conclusões ao nível de 5% de significância.
Solução:
H0: µ = 100
HA: µ < 100
Rejeita-se H0 ao nível de 5% de significância e pode-se concluir que a
modificação deve ter diminuído o tempo de execução da tarefa.
α=0,05
ν=n-1=15
T = 
n
s
μx 0−
 
-1,753
=
16
12
10091−
 = -3 
1)
2)
3)
4)
5)
Profª Lisiane Selau
Exercício proposto: Medidos os diâmetros de 31 eixos
de um lote aleatório, produzido pela empresa
“Sofazredondo S.A.” obteve-se a distribuição abaixo:
Ao nível de significância de 5%, há evidência de que o
diâmetro médio dos eixos esteja fora da especificação de
57 mm?
Zc = -2,557 
Diâmetros (em mm) 56,5 56,6 56,7 56,8 56,9 57,0 57,1 57,2 57,3
Número de eixos 1 2 2 4 10 5 4 2 1
24Profª Lisiane Selau
25
Valor p: Probabilidade de que seja obtido um valor de T 
mais extremo que o valor observado, dado que H0 é 
verdadeira
Outro critério de decisão 
c
c
Profª Lisiane Selau
26
Se p ≥ α
Não rejeitamos a hipótese de nulidade
c
Como tomar a decisão a respeito de H0? 
� Se o valor p for maior ou igual a α: não rejeitamos a hipótese 
nula, pois tc está em uma região de alta probabilidade
Profª Lisiane Selau
27
Se p < α
Rejeitamos a hipótese de nulidade
c
Como tomar a decisão a respeito de H0? 
� Se o valor p for menor que α: rejeitamos a hipótese nula, 
pois tc está em uma região de baixa probabilidade
Profª Lisiane Selau
Exemplo: programa de prevenção de acidentes
“Não é possível, ao nível de 5% de significância, afirmar
que a campanha deu resultado. ”
1,50
9
20
6050
n
σ
μX
z 0 −=
−
=
−
=
H0: µ = 60 hora/homens
HA: µ < 60 hora/homens
-1,645 -1,50
p = 0,0668
α = 0,05
28Profª Lisiane Selau
29
Exercício proposto: O tempo médio, por operário, para executar
uma tarefa, tem sido 100 minutos, segundo a distribuição normal.
Introduziu-se uma modificação para diminuir este tempo, e, após
certo período, sorteou-se uma amostra de 16 operários, medindo-
se o tempo de execução gasto por cada um. O tempo médio da
amostra foi 91 minutos com desvio padrão de 12 minutos. Este
resultado evidencia uma melhora no tempo gasto para realizar a
tarefa? Apresente as conclusões ao nível de 5% de significância.
Solução:
H0: µ = 100
HA: µ < 100
Rejeita-se H0 ao nível de 5% de significância e pode-se concluir que a
modificação deve ter diminuído o tempo de execução da tarefa.
α=0,05 e ν=n-1=15
tc = 
n
s
μx 0−
 = 
16
12
10091−
 = -3 
-1,753
Qual o valor p?
p < αααα
p ≅≅≅≅ 0,005 (0,5%)
Profª Lisiane Selau
30
Utilizando o Excel para obter o valor p:
Conclusão: Como a significância do resultado (0,45%) é menor 
que a significância do teste (5%) é possível rejeitar a hipótese nula.
tc = -3 α = 0,05 ν = n-1 = 15
Profª Lisiane Selau
2
2
2
1
2
1
21
n
σ
n
σ
XXZ
+
−
=
Pressuposições:
A variável em estudo tem distribuição normal
As variâncias σ12 e σ22 são conhecidas
As amostras retiradas das populações são independentes
Hipótese sob verificação: 210 μμ:H =
Estatística do teste:
2. Comparação entre duas médias (µµµµ1 e µµµµ2)
Valor que deve ser 
calculado na amostra
31Profª Lisiane Selau
Exemplo: Um fabricante produz dois tipos de pneus. Para o pneu do
tipo A o desvio padrão é de 2500 km e para o pneu do tipo B é de
3000 km, seguindo a distribuição normal. Uma empresa de táxis
testou 50 pneus do tipo A e 40 do tipo B, obtendo 24000 km de
média para o tipo A e 26000 para o tipo B. Adotando α = 4% testar a
hipótese de que a duração média dos dois tipos é a mesma.
Solução:
Portanto, rejeita-se a hipótese de igualdade entre as durações
médias dos dois tiposde pneus. Com base nestas amostras, pode-
se afirmar, ao nível de 4% de significância, que os dois tipos de
pneus diferem quanto a durabilidade média, sendo o tipo B melhor
que o tipo A.
As hipóteses são: 
H0: µA = µB
HA: µA ≠ µB
Como α = 4%, então zα/2 = 2,055
3,38
 
40
3000
+
50
2500
2600024000
z
22c
−=
−
=
32Profª Lisiane Selau
33
Pressuposições:
A variável em estudo tem distribuição normal
As variâncias σ12 e σ22 são desconhecidas mas supostas iguais
As amostras retiradas das populações são independentes
Hipótese sob verificação: 210 :H μμ =
~ t (ν)Estatística do teste:
onde:
ν = (n1 – 1) + (n2 – 1)
2. Comparação entre duas médias (µµµµ1 e µµµµ2)
2
21
21
S
n
1
n
1
XXT






+
−
=
Valor que deve ser 
calculado na amostra
( ) ( )
( ) ( )1n1n
1nS1nSS
21
2
2
21
2
12
−+−
−+−
=
Profª Lisiane Selau
34
Exemplo: 
Dez cobaias adultas criadas em laboratório, foram separadas, 
aleatoriamente, em dois grupos: um foi tratado com ração 
normalmente usada no laboratório (padrão) e o outro grupo foi 
submetido a uma nova ração (experimental). As cobaias foram 
pesadas no início e no final do período de duração do experimento. 
Os ganhos de peso (em gramas) observados foram os seguintes:
Utilize um teste de hipótese, ao nível α = 0,01, para verificar
se as duas rações diferem entre si quanto ao ganho de peso.
Ração experimental 220 200 210 220 210
Ração padrão 200 180 190 190 180
210 μμ :H =
α = 0,01
21A μμ :H ≠
2x = 188
= 70
Experimental
2
1
s
n1 = 5
= 212
= 70
Padrão
n2 = 5
1x
2
2
s
Profª Lisiane Selau
35
Pressuposições: variável ganho de peso com distribuição 
normal, amostras independentes e supõe-se que .
4,54
70
5
1
5
1
188212tc =






+
−
=
2
2
2
1 σ=σ
2
21
21
S
n
1
n
1
XXT






+
−
=
( ) ( )
( ) ( )1n1n
1nS1nSS
21
2
2
21
2
12
−+−
−+−
=
Conclusão: ao nível de 1%, conclui-se que a ração experimental 
deve dar maior ganho de peso que a ração padrão.
⇒ H0 é rejeitada
α=0,01 e ν=(n1-1)+(n2-1)=8
( ) ( )
( ) ( ) 701515
157015702s =
−+−
−×+−×
=
0,005 0,005
0,99
3,355-3.355
Profª Lisiane Selau
36
Utilizando o Excel para obter o valor p:
Conclusão: Como a significância do resultado (0,19%) é menor que 
a significância do teste (1%), é possível rejeitar a hipótese nula.
tc = 4,54 α = 0,01 ν = (n1-1)+(n2-1) = 8
Profª Lisiane Selau
Exercício proposto: Um engenheiro desconfia que a 
qualidade de um material pode depender da matéria-
prima utilizada. Há dois fornecedores de matéria-prima 
sendo usados. Testes com 10 observações de cada 
fornecedor indicaram:
Use um nível de significância α = 0,05 e teste a hipótese 
do engenheiro. 
Obs.: Considere que as duas variâncias populacionais iguais. 
101,2t11,1t 18;025,0c =<=
39 x1 = 7s1 =43x2 = 9s2 =
37Profª Lisiane Selau
38
2
2
2
1
2
1
21
n
S
n
S
XXT
+
−
=
Pressuposições:
A variável em estudo tem distribuição normal
As variâncias σ12 e σ22 são desconhecidas e desiguais
As amostras retiradas das populações são independentes
Hipótese sob verificação: 210 :H μμ =
~ t (ν)Estatística do teste:
onde:
2. Comparação entre duas médias (µµµµ1 e µµµµ2)
Valor que deve ser 
calculado na amostra 1n
)nS(
1n
)nS(
)nSnS(
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2 
2
2
21
2
1
−
+
−
+
=ν
Profª Lisiane Selau
39
Exemplo: As resistências de dois tipos de concreto, que segue o modelo
normal, foram medidas, mostrando os resultados da tabela. Fixado um
nível de significância de 10%, existe evidências de que o concreto do tipo
X seja mais resistente do que o concreto do tipo Y?
Com estas amostras, ao nível de 10% de significância, não é possível afirmar
que o concreto do tipo X seja mais resistente do que o concreto do tipo Y.
Tipo X 54 55 58 50 61 
Tipo Y 51 54 55 52 53 
 
Os dados obtidos da tabela são: 
X
 = 55,6 e Y = 53,0 
XS2 = 17,3 e YS2 = 2,5 
H0: µX = µY
HA: µX ≠ µY
α = 0,10
2
2
2
1
2
1
21
n
S
n
S
XXT
+
−
=
0,05 0,05
2,015-2,015
α = 10% e ν = 5
1,31
5
2,5
5
17,3
53,055,6
=
+
−
=
5,13
3,0554
15,6816
4
)52,5(
4
)517,3(
)52,5517,3(
22
2
==
+
+
=
1n
)nS(
1n
)nS(
)nSnS(
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2 
2
2
21
2
1
−
+
−
+
=ν
Profª Lisiane Selau
40
Utilizando o Excel para obter o valor p:
Conclusão: Como a significância do resultado (24,71%) é maior que 
a significância do teste (10%), não é possível rejeitar a hipótese nula.
tc = 1,31 α = 0,10 ν = 5
Profª Lisiane Selau
41
α = 0,05
No teste unilateral o valor t crítico é 
menor porque a área a sua direita 
deve corresponder a todo α. 
Assim, esta área é o dobro da área 
à direita do valor t crítico do teste 
bilateral.
Como consequência, um 
valor t não rejeitado no 
teste bilateral pode ser 
rejeitado no teste 
unilateral. 
Portanto, o teste unilateral 
é mais poderoso que o 
teste bilateral. 
Profª Lisiane Selau
42
���� Os intervalos de confiança e os testes de hipóteses
bilaterais são procedimentos estatísticos relacionados.
���� Se forem utilizados para analisar os mesmos dados, ao
mesmo nível de significância, devem conduzir aos mesmos
resultados.
���� O intervalo de confiança para a diferença entre duas
médias está relacionado com o teste de hipóteses que
compara duas médias.
H0 não rejeitada ⇔ zero está coberto pelo intervalo
Considerações
���� O intervalo de confiança para uma média está relacionado
com o teste de hipóteses que compara uma média com um
padrão.
H0 não rejeitada ⇔ valor padrão está coberto pelo intervalo
Profª Lisiane Selau
Intervalo de confiança para uma média (µ)
IC (µ; 1−−−−α): ± tαααα/2
n
SX
Estatística T para comparação de média (µ) com valor padrão (µ0)
n
S
μXT 0−=
���� Se no teste de hipóteses, ao nível de 1% de significância,
rejeitamos H0, significa que a diferença entre a média e o valor
padrão não é zero, ou seja, média e valor padrão são diferentes.
Valor crítico: tαααα/2
���� Construindo o intervalo de confiança para µ, ao nível de 99%,
devemos esperar que o valor padrão (µ0) esteja fora do intervalo.
Caso contrário, os resultados seriam contraditórios.
43Profª Lisiane Selau
Intervalo de confiança para a diferença entre duas médias (µ1 − µ2)
Estatística T para a comparação entre duas médias (µ1 e µ2)
���� Se no teste de hipóteses, ao nível de 5% de significância, não
rejeitamos H0, significa que a diferença entre as duas médias é zero,
ou seja, as médias devem ser iguais.
Valor crítico: tαααα/2
���� Construindo o intervalo de confiança, ao nível de 95%, para a
diferença entre as médias (µ1−µ2), devemos esperar que o valor
zero seja coberto pelo intervalo.
IC ( ; 1−−−−α): ± tαααα/2 2
21
S
n
1
n
1






+21 XX −21 μμ −
2
21
21
S
n
1
n
1
XXT






+
−
=
44Profª Lisiane Selau
45
Exemplo: Um novo funcionário foi contratado para gerir os 
estoques da empresa. Ele recebeu a informação de que a 
quantidade semanal vendida de determinado produto é de 9,6kg. 
Para testar a veracidade da informação, tomou uma amostra 
aleatória de 30 semanas e verificou que a venda média do 
produto foi de 9,3kg, com desvio padrão de 3,2kg. Considerando 
que a variável em estudo segue a distribuição normal:
a) Verifique, utilizando teste de hipóteses ao nível de 5% de 
significância, se ainformação recebida pelo funcionário é 
verdadeira.
b) Verifique se a informação é verdadeira, utilizando intervalo de 
confiança ao nível de 95%.
c) Houve coerência entre os resultados do teste de hipóteses e 
do intervalo de confiança?
Profª Lisiane Selau
46
a) Teste de Hipótese
Variável em estudo: X = venda do produto (kg)
Pressuposição: A variável em estudo tem distribuição normal
1. Hipóteses estatísticas: 
2. Taxa de erro aceitável: α = 0,05
9,6:HA ≠μ
9,6:H0 =μ
Profª Lisiane Selau
47
a) Teste de Hipótese
3. Estatística do teste
4. Decisão e conclusão
Não rejeitamos H0. Concluímos, ao nível de 5% de significância,
que a quantidade média de venda semanal do produto não
difere significativamente do valor informado (9,6kg). Portanto, a
informação recebida pelo funcionário pode ser verdadeira.
n
s
μxT 0−= 0,5135
30
3,2
9,69,3
−=
−
=
0,025 0,025
2,045-2,045
α = 5% e ν = 29
Profª Lisiane Selau
48
b) Intervalo de confiança
Variável em estudo: X = venda do produto (kg)
Pressuposição: A variável em estudo tem distribuição normal.
Estimativas:
=x 9,3
= =
s 3,2 0,5842
n 30
ν = 30 − 1 = 29
t0,025 (29) = 2,045
/2
SIC( ; 1 ) : X t
n
α− ±µ α
Profª Lisiane Selau
49
b) Intervalo de confiança
IC (µ; 0,95): 9,3 ± 2,045 × 0,5842
Limite inferior = 9,3 – 1,195 = 8,11
Limite superior = 9,3 + 1,195 = 10,50
P(8,11 < µ < 10,50) = 0,95
Concluímos que o intervalo de confiança, ao nível de 95%, para a 
verdadeira quantidade média semanal vendida do produto é de 
8,11 a 10,50 kg.
c) Sim, o resultado do teste de hipóteses esta coerente com o do 
intervalo de confiança, pois o valor padrão 9,6, que segundo o 
teste de hipótese não difere de µ, está dentro do intervalo de 
confiança, ou seja, é um valor possível para µ. 
/2
SIC( ; 1 ) : X t
n
α− ±µ α
Profª Lisiane Selau
Exercício proposto: Para investigar se o treinamento é ou não transferido 
pelo ácido nucléico, 10 ratos foram treinados em discriminar se havia luz 
ou escuridão. Posteriormente, esses ratos foram mortos, o ácido nucléico 
dos mesmos foi extraído e injetado em 10 ratos. Simultaneamente o ácido 
nucléico de 10 ratos não treinados foi injetado em outros 10. Os 20 ratos 
injetados com ácido nucléico foram observados durante um período de 
tempo quanto à capacidade de discriminar luz e escuridão. O número de 
erros relativos a cada rato está na tabela abaixo. 
a) Verifique, utilizando teste de hipóteses ao nível de 5 % de 
significância, se o treinamento é ou não transferido pelo ácido nucléico.
b) Construa o intervalo de confiança, ao nível de 95 %, para a diferença 
entre as médias das duas populações.
c) Houve coerência entre os resultados do teste de hipóteses e do 
intervalo de confiança?
Treinados 7 9 6 11 13 8 7 13 12 9
Não treinados 12 8 9 13 14 9 8 10 7 15
50Profª Lisiane Selau
Solução: a) Teste de Hipótese
Variável em estudo: X = número de erros ao discriminar luz e escuridão
Pressuposições:
– A variável em estudo tem distribuição normal, ou seja, X ~ N (µ, σ2);
– As variâncias das populações são iguais, mas desconhecidas;
– As amostras retiradas das populações são independentes.
1. Hipóteses estatísticas: 
A hipótese de nulidade supõe a igualdade entre as médias das duas 
populações.
2. Taxa de erro aceitável: α = 0,05
− =

− ≠
µ µ
µ µ
0 1 2
A 1 2
H : 0
H : 0
51Profª Lisiane Selau
Solução: a) Teste de Hipótese
3. Estatística do teste
4. Decisão e conclusão
Como |t = −0,8292| < t(18; α/2) = 2,101, não temos motivos para rejeitar.
Concluímos, então, ao nível de 5% de significância, que a média de
erros do grupo que recebeu ácido nucléico de ratos treinados não
diferiu significativamente da média de erros do grupo que recebeu
ácido nucléico de ratos não treinados. Se o treinamento fosse
transferido pelo acido nucléico, a média de erros da população 1
deveria ser menor que a média de erros da população 2.
0,8292
7,278
10
1
10
1
10,59,5
S
n
1
n
1
XXT
2
21
21
−=






+
−
=






+
−
=
( ) ( )= − + −ν 1 2n 1 n 1
= =
2
1 1x 9,5 s 6,722
= =
2
2 2x 10,5 s 7,833
( ) ( )
( ) ( )
− + − × + ×
= = =
− + − +
2 2
1 1 2 22
1 2
s n 1 s n 1 6,722 9 7,833 9
s 7,278
n 1 n 1 9 9
= + =ν 9 9 18
Amostra 1: n1 = 10
Amostra 2: n2 = 10
t(18;α/2) = 2,101
52Profª Lisiane Selau
Solução: b) Intervalo de confiança para a diferença entre as médias
Variável em estudo: X = número de erros ao discriminar luz e escuridão
Pressuposições:
– A variável em estudo tem distribuição normal, ou seja, X ~ N (µ, σ2);
– As variâncias das populações são iguais;
– As amostras retiradas das populações são independentes.
Estimativas:
− = − = −1 2x x 9,5 10,5 1
( ) ( )
( ) ( )
− + − × + ×
= = =
− + − +
2 2
1 1 2 22
1 2
s n 1 s n 1 6,722 9 7,833 9
s 7,278
n 1 n 1 9 9
   
+ = + =   
  
2
1 2
1 1 1 1
s 7,278 1,206
n n 10 10
= =
2
1 1x 9,5 s 6,722
= =
2
2 2x 10,5 s 7,833
Amostra 1: n1 = 10
Amostra 2: n2 = 10
( ) ( )= − + −ν 1 2n 1 n 1
= + =ν 9 9 18
t(18;α/2) = 2,101
53Profª Lisiane Selau
Solução: b) Intervalo de confiança para a diferença entre as médias
IC (µ1 - µ2; 0,95): -1 ± 2,101 × 1,206
IC (µ1 - µ2; 0,95): -1 ± 2,533
P(-3,533 < µ1 - µ2 < 1,533) = 0,95
Concluímos que a probabilidade de a verdadeira diferença entre a média 
de erros da população que recebeu ácido nucléico de ratos treinados e a 
média de erros da população que recebeu ácido nucléico de ratos não 
treinados estar entre -3,533 e 1,533 é de 0,95.
c) Pelo teste de hipóteses, concluímos que a verdadeira diferença entre 
as médias deve ser zero e, pelo intervalo de confiança, concluímos que 
zero é um valor possível para a verdadeira diferença entre as médias, 
uma vez que se encontra dentro do intervalo. Portanto, o resultado do 
teste de hipóteses está de acordo com o do intervalo de confiança. 
ν α
 
− − − ± + 
 
µ µ α 21 2 1 2 ( , /2)
1 2
1 1IC( ; 1 ) : X X t S
n n
54Profª Lisiane Selau
55
Comparação de Pares de Observações
(Comparação de duas médias para amostras pareadas)
Em algumas situações os dados de duas populações são coletados e
comparados em pares. Isso é feito para impedir que fatores não
controláveis inflacionem as estimativas das variâncias.
Exemplo: desempenho dos alunos método A e método B
X
perda de peso com uso de uma dieta
A hipótese testada é se existe diferenças significativas entre os pares
de observações, tendo como suposição que os dados seguem a
distribuição normal.
O teste baseia-se na estatística:
n/s
dT
d
=
)
)
)
)
21d
21d
21dA
21d0
( 0 
( 0 
( 0:H
( 0 :H
μμμ
μμμ
μμμ
μμμ
<<
>>
≠≠
==
Profª Lisiane Selau
56
Exemplo: Cinco operadores de máquinas foram treinados em
duas máquinas de diferentes fabricantes, para verificar qual
delas apresentava maior facilidade de aprendizagem. Mediu-se
o tempo que cada um dos operadores gastou na realização de
uma mesma tarefa com cada um dos dois tipos de máquinas.
Os resultados estão na tabela. Ao nível de 5%, é possível
afirmar que a tarefa realizada na máquina X demora mais do
que na máquina Y?
Solução:
H0: µX = µY (µd = 0)
HA: µX ≠ µY (µd ≠ 0)
 
Operador Maq. X Maq. Y 
1 80 75 
2 72 70 
3 65 60 
4 78 72 
5 85 78 
n/s
dT
d
=
di
5
2
5
6
7
α = 5%
Profª Lisiane Selau
57
� = 5 e sd = 1,8708
Com 5% de significância, rejeita-se H0, e conclui-se que realizar a
tarefa com a máquina X deve demorar mais do que com a
máquina Y, esta apresentando maior facilidade de aprendizagem.
 
Operador Maq. XMaq. Y 
1 80 75 
2 72 70 
3 65 60 
4 78 72 
5 85 78 
d
5,98
51,8708/
5
n/s
dt
d
===
di
5
2
5
6
7
2,776-2,776
1-n
)d(dS
2
i
d
∑ −
=
n
d
d i∑=
� α = 5% e ν = n - 1 = 4
Profª Lisiane Selau
Exercício proposto: Uma empresa quer verificar se o 
conhecimento de seus alunos a respeito de um determinado 
assunto melhorou após 30 horas de treinamento. Para isso foi 
realizado com os quinze alunos do treinamento um teste antes e 
após o treinamento. Os dados a seguir representam as notas 
obtidas pelos alunos. Conclua a respeito da eficiência do 
treinamento, utilizando 5% de significância.
58
Alunos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Antes 6,5 6,7 7,0 7,0 6,5 7,3 7,8 6,9 6,7 7,2 7,5 7,5 7,2 7,0 6,8
Depois 7,5 7,7 7,9 8,0 7,4 8,3 8,8 8,9 7,7 8,2 8,5 8,5 8,2 8,0 8,8
Difer. 1,0 1,0 0,9 1,0 0,9 1,0 1,0 2,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 2,0
360S
121d
d ,
,
=
=
Profª Lisiane Selau
Exercício proposto: Duas espécies de um certo tipo de cereal 
estão sendo testadas quanto ao seu crescimento. O experimento 
foi feito escolhendo 10 blocos de terreno e plantando em cada 
bloco mudas de ambas as espécies. Os resultados a seguir são 
as alturas medidas ao final do primeiro mês. Utilizar α = 0,05
Os dados deste experimento foram coletados aos pares para 
impedir que as diferenças de fertilidade entre os blocos de 
terreno (que podem ser grandes) mascarem os resultados.
Terreno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Espécie 1 22 27 18 33 25 21 15 33 21 24 
Espécie 2 21 31 24 32 29 23 19 37 22 27 
262,2t54,3t 9;025,0c =>=
59Profª Lisiane Selau
60
Teste para a variância de uma população
Para aplicar o teste para a variância é necessário supor a
normalidade da população de onde será extraída a amostra.
Uma hipótese testada com frequência é que a variância tenha
um valor especificado.
A estatística do teste é 
~
−
= −χ
σ
2
2
0
2(n 1)SQ (n 1)
2
0
2
2
0
2
2
0
2
A
2
0
2
0
σσ 
σσ 
σσ:H
σσ:H
<
>
≠
=
H0 é rejeitada se qc ultrapassar o valor
crítico da distribuição qui-quadrado :
Profª Lisiane Selau
61
...
Profª Lisiane Selau
62
Exercício proposto: A quantidade mensal de produtos entregues 
por uma empresa segue uma distribuição Normal com média e 
variância desconhecidas. Analise os dados a seguir, que 
representam uma amostra de 20 meses e teste a hipótese de que o 
desvio padrão da quantidade mensal de produtos entregues pela 
empresa é de 1 unidade, utilizando nível de significância de 5%.
Solução: H0: σ2 = 1
HA: σ2 ≠ 1
Com 5% de significância, rejeita-2 H0, isto é, é possível afirmar que o
desvio padrão da quantidade mensal de produtos entregues pela
empresa é maior que 1 unidade.
( ) 34,12
1
1,34 1-20 2
==
( )
2
0
2
σ
S1nQ −= 8,91 32,85
2,5%2,5%
95%
α = 5%
ν = n - 1 = 19
17,4 18,2 18,3 18,8 19,0 19,2 19,3 19,6 19,6 19,9
20,2 20,2 20,5 20,7 20,9 21,0 21,3 21,5 21,9 22,6 34,1S
01,20X
=
=
Profª Lisiane Selau
63
Utilizando o Excel para obter o valor p:
Como a significância do resultado (3,5575=2*1,7788) é menor que a 
significância do teste (5%) é possível rejeitar a hipótese nula.
qc = 34,12 α = 0,05 ν = 19
Profª Lisiane Selau
Exemplo: Uma das maneiras de controlar a qualidade de um
produto é controlar a sua variabilidade. Uma máquina de
empacotar café está regulada para encher os pacotes com
média de 500 g e desvio padrão de 10 g, onde o peso de cada
pacote distribui-se normalmente. Colhida uma amostra de n=16,
observou-se uma variância de 169 g2. É possível afirmar com
este resultado que a máquina está desregulada quanto a
variabilidade, supondo uma significância de 5%?
Solução: H0: σ2 = 100
HA: σ2 > 100
Com 5% de significância, rejeita-se H0, ou seja, é possível
afirmar que a máquina está desregulada.
64
( ) 25,35
100
169 15
==
( )
2
0
2
σ
S1nQ −=
25,00
5%
95%
α = 5%
ν = n - 1 = 15
Profª Lisiane Selau
65
Utilizando o Excel para obter o valor p:
Como a significância do resultado (4,54%) é menor que a 
significância do teste (5%) é possível rejeitar a hipótese nula.
qc = 25,35 α = 0,05 ν = 15
Profª Lisiane Selau
66
Teste de homogeneidade de variâncias
Considerando duas estimativas e , frequentemente, temos
interesse em verificar se tais estimativas são homogêneas.
Assim, as hipóteses a serem testadas são:
A estatística do teste é
2
1s
2
2s
2
2
2
1
S
SF =
Atenção: sempre 
variância maior 
sobre variância 
menor
2
2
2
1A
2
2
2
10
σσ:H
σσ:H
≠
=
H0 é rejeitada se fc ultrapassar o
valor crítico da distribuição F:
Profª Lisiane Selau
67
...
Profª Lisiane Selau
68
Exemplo: As resistências de dois tipos de concreto foram
medidas, mostrando os resultados da tabela. Fixado um nível de
significância de 10%, teste a hipótese de igualdade das variâncias,
considerando que os dados seguem a distribuição normal?
Neste caso, rejeita-se H0, ao nível de 10% de significância, e
assume-se que as variâncias populacionais são diferentes.
Tipo X 54 55 58 50 61 
Tipo Y 51 54 55 52 53 
 
Os dados obtidos da tabela são: 
X
 = 55,6 e Y = 53,0 
XS2 = 17,3 e YS2 = 2,5 
H0: σ
2
X = σ
2
Y
HA: σ
2
X ≠ σ2Y
6,92
2,5
17,3
==
6,39
α = 10%
ν1 = nx - 1 = 4
ν2 = ny - 1 = 4
0,050,052
2
2
1
S
SF =
Profª Lisiane Selau
69
Utilizando o Excel para obter o valor p:
Conclusão: Como a significância do resultado (8,76% = 4,38 x 2) é 
menor que a significância do teste (10%), é possível rejeitar a 
hipótese nula.
fc = 6,92 α = 10% ν1 = nx - 1 = 4 ν2 = ny - 1 = 4
Profª Lisiane Selau
70
Exercício proposto: Os valores a seguir representam os tempos 
de produção de duas máquinas. Analise os dados e conclua a 
respeito da variabilidade das máquinas 1 e 2:
Máquina 1:
Máquina 2:
8307,021 =S
316,122 =S
M1 91,0 90,3 90,2 92,1 91,8 91,3 89,3, 91,0 91,2 89,6
M2 91,8 91,2 89,4 89,2 90,7 92,6 91,3 91,2
Profª Lisiane Selau
71
Exercício: Uma alta quantidade de nitrato introduzida na alimentação 
animal tem mostrado possuir efeitos deletérios incluindo baixa produção 
de tiroxina, aumento de incidência de cianose em recém nascidos e baixa 
produção de leite. Os dados que seguem referem-se a medida de ganho 
de peso percentual em ratos de laboratório, submetidos a uma dieta 
padrão e a uma dieta com 2000 ppm de nitrato na água de beber.
Nitrato: 12,7 19,3 20,5 10,5 14,0 10,8 16,6 14,0 17,2
Controle: 18,2 32,9 10,0 14,3 16,2 27,6 15,7.
a) Verifique, através do teste F, se as variâncias das populações são 
iguais.
b) Verifique, através do teste t, o efeito do nitrato sobre o ganho de peso.
2
2
2
1
S
SF =
2
2
2
1
2
1
21
n
S
n
S
XXT
+
−
=
2
21
21
S
n
1
n
1
XXT






+
−
= ( ) ( )
( ) ( )1n1n
1nS1nSS
21
2
2
21
2
12
−+−
−+−
=
2
2
2
1A
2
2
2
10
σσ:H
σσ:H
≠
=
64,85s 19,27x
12,66s 15,07x
2
CC
2
NN
==
==
1n
)nS(
1n
)nS(
)nSnS(
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2 
2
2
21
2
1
−
+
−
+
=ν
Profª Lisiane Selau
72
Exercício: Calculadoras eletrônicas utilizam dois métodos 
diferentes de entrada e processamento numérico. Vamos 
denominar um dos métodos de “método algébrico” (MA) e o 
outro de “método polonês” (MP). Para comparar qual deles é 
mais eficaz é feito um teste com 20 usuários sem experiência 
prévia com calculadoras, onde 10 vão utilizar calculadoras de 
um tipo e o outros 10 as de outro tipo. A tabela mostra o tempo 
em segundos que cada operador gastou para realizarum 
conjunto padrão de cálculos. Testar a hipótese de existência de 
diferença entre os dois métodos no que se refere ao tempo de 
operação, utilizando uma significância de 5%.
MA 12 16 15 13 16 10 15 17 14 12
MP 10 17 18 16 19 12 17 15 17 14
2,80s 15,50x
2,21s 14,00x
PP
AA
==
==
Profª Lisiane Selau
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Teste para proporções
O teste para a proporção populacional, em geral, é utilizado
para verificar se a proporção pi de elementos da população que
possuem uma determinada característica é igual a um
determinado valor pi0.
As hipóteses estatísticas são:
O teste se baseia na aproximação da distribuição Normal.
Pressuposição: n é grande ⇒ np > 5 e n(1-p) > 5
p→ estimador de pi
0
0
0
0
pipi
pipi
pipi
pipi
<
>
≠
=
 
 
 :H
 :H
A
0
n
xp =
Usa-se a estatística:
( ) 
n
1
pZ
00
0
pipi
pi
−
−
=
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Exemplo: As condições de mortalidade de uma região são tais
que a proporção de nascidos que sobrevivem até 70 anos é de
0,60. Testar esta hipótese ao nível de 5% de significância se em
1000 nascimentos amostrados aleatoriamente, verificou-se 530
sobreviventes até os 70 anos.
Solução:
Decidi-se rejeitar H0, ao nível de 5% de significância. 
Neste caso, pode-se afirmar que a taxa dos que sobrevivem até os 
70 anos é menor do que 60%.
0,60 :H0 =π
( )
n
1
p
z
00
0
ππ
π
−
−
=
1,96-1,96
0,531000
530p ==
0,60:HA ≠π
( ) 4,52
1000
0,6010,60
0,600,53
−=
−
−
=
α = 0,05
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Exercícios propostos:
1) Um fabricante garante que 90% dos equipamentos que
fornece a uma fábrica estão de acordo com as especificações
exigidas. O exame de uma amostra de 200 peças desse
equipamento revelou 25 defeituosas. Teste a afirmativa do
fabricante, nos níveis de 5% e 1%.
2) Um engenheiro deseja testar a hipótese de que seu
fornecedor entrega lotes com 10% de não conformes. Um lote
de 180 unidades revelou 14 não conformes. Use α = 5% e
conclua a respeito.
Zc=1,18
Zc=-0,98
75Profª Lisiane Selau
76
A aproximação Normal também pode ser usada para testar
a hipótese que dois parâmetros de Binomiais sejam iguais,
ou seja, para testar:
Nesse caso, amostras de tamanho n1 e n2 são retiradas
de cada população, gerando x1 e x2 itens pertencentes à
classe associada com p e calcula-se os estimadores de pipipipi
para cada população como:
A estatística para o teste é:
1
1
1 n
xp =
21
21
21A
210
 
 
 :H
 :H
ππ
ππ
ππ
ππ
<
>
≠
=
( ) ( )
 
n
p1p
+
n
p1p
ppZ
2
22
1
11
21
−−
−
=
2
2
2 n
xp =
Profª Lisiane Selau
77
1,96-1,96
Exemplo: Em uma pesquisa de opinião, 32 dentre 80 homens
declararam apreciar certa revista, acontecendo o mesmo com
26 dentre 50 mulheres. Ao nível de 5% de significância os
homens e as mulheres apreciam igualmente a revista?
Solução: H0: piH = piM
HA: piH ≠ piM
( ) ( )
 
n
p1p
+
n
p1p
ppZ
M
MM
H
HH
MH
−−
−
=
Não se rejeita H0, isto é, a
5% de significância, não é
possível afirmar que exista
diferença entre as
preferências de homens e
mulheres quanto à revista.
pH = 32 / 80 = 0,40
pM = 26 / 50 = 0,52α = 0,05
1,34
50
0,52)0,52.(1-
80
0,40)0,40.(1-
0,520,40
−=






+
−
=
Profª Lisiane Selau
Exercício proposto: Um empresário deseja saber se os
percentuais de satisfação de seus clientes em relação a dois
produtos oferecidos por sua empresa são similares. Para isso
entrevistou 150 pessoas, das quais 80 disseram estar satisfeitas
com o produto A e 100 com o produto B. Use α = 5% e conclua
a respeito.
21
210
:
:
pipi
pipi
≠
=
 
 
AH
H 530
150
80p1 ,== 0,67150
100p2 ==
( ) ( ) 47,20567,0
14,0
150
33,0.67,0
150
47,0.53,0
67,053,0
n
p1p
n
p1p
ppZ
2
22
1
11
21
−=
−
=






+
−
=
−−
−
=
 +
961472 2 ,, / =>= αzz ���� Rejeita-se Ho
78Profª Lisiane Selau