Apostila MATEMÁTICA FINANCEIRA Unidade 3

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Matemática Financeira
03
Sumário
CAPÍTULO 3 – Quais são os Métodos de Análise de Investimentos 
e as Formas de Arrendamento Mercantil? .........................................................................05
Introdução ....................................................................................................................05
3.1 Orçamento de capital ...............................................................................................05
3.1.1 Planejando investimentos com o orçamento de capital .........................................06
3.1.2 Taxa Mínima de Atratividade (TMA) ....................................................................08
3.1.3 Valor Presente Líquido (VPL) ..............................................................................10
3.1.4 Taxa Interna de Retorno (TIR) ............................................................................13
3.1.5 Payback descontado ........................................................................................15
3.1.6 Método do custo/benefício ...............................................................................17
3.1.7 Método da anuidade uniforme equivalente (AE) ..................................................19
3.1.8 Método do custo anual equivalente (CAE) ..........................................................21
3.2 Arrendamento Mercantil – Leasing .............................................................................23
3.2.1 Ativo Circulante e Ativo Não Circulante .............................................................23
3.2.2 Leasing operacional ........................................................................................24
3.2.3 Leasing financeiro ...........................................................................................26
Síntese ..........................................................................................................................30
Referências Bibliográficas ................................................................................................31
05
Capítulo 3 
Introdução
Para que as organizações possam, dentre as mais diversas opções de investimentos, selecionar 
a mais adequada aos seus objetivos, é necessário utilizar um conjunto de processos e métodos 
para ajudar a selecionar a opção de investimento que apresenta o melhor retorno possível, den-
tro de um nível de risco aceitável. O nível de risco aceitável vai depender do perfil do investidor: 
agressivo (aceita maiores riscos), moderado (aceita riscos médios) e conservador (não suporta 
riscos, busca o risco mínimo). Nestes processos (de avaliação e seleção de investimentos), podem 
surgir indagações como “quais métodos utilizar para avaliar o retorno dos investimentos?” ou 
ainda “qual é o melhor prazo para um investimento?”.
Desta forma, é essencial que você entenda que a análise de investimentos é a principal ferramen-
ta disponível para dar suporte às decisões de investimento. Cabe a nós, portanto, entendermos 
a finalidade de cada método e sua melhor aplicação.
Este será o assunto abordado neste capítulo. Nele, veremos cada método individualmente e 
como sua utilização impactará na forma com que as empresas podem obter o melhor retorno 
do capital investido. Imagine uma aplicação na qual um determinado percentual de retorno é 
almejado, no entanto, seo método não foro mais adequado, a organização estará perdendo 
seu tempo e seu dinheiro, não é mesmo? Dessa forma, por meio dos assuntos abordados nesse 
capítulo, você será capaz de analisar os critérios de avaliação, com o objetivo de verificar a via-
bilidade de cada etapa do processo.
3.1 Orçamento de capital
Dúvidas como: “será que a opção por determinado método vai proporcionar o retorno esperado 
pela organização, ou seja, o investimento se pagará ao longo do tempo?” sempre irão surgir ao 
longo do caminho. O orçamento de capital representa um importante alicerce nessa trajetória, 
pois compreende a seleção dos projetos aos quais os recursos serão destinados. 
Para melhor domínio das definições, entenda como orçamento um planejamento em que é 
realizada a previsão de despesas e investimentos a concretizar-se ao longo de um determinado 
período por meio de planos financeiros e orçamentários. O orçamento de capital, por sua vez, 
apresenta uma descrição de todos os investimentos que a organização pretende realizar em de-
terminado período futuro, o que demanda uma análise de cada investimento que o compõe. Esta 
análise se dá por meio da utilização de técnicas de análise de investimentos. Estas técnicas, por 
sua vez, quando aplicadas ao orçamento de capital, irão verificar e avaliar a viabilidade de in-
vestimentos, possibilitando uma escolha rentável e em consonância com os objetivos da empresa.
Quais são os Métodos de Análise 
de Investimentos e as Formas de 
Arrendamento Mercantil?
06 Laureate- International Universities
Matemática Financeira
De Souza (2013) destaca os motivos para realização do orçamento de capital:
• Expansão (expandir o nível operacional, aquisições de novos ativos imobilizados);
• Substituição (troca de máquinas antigas por novas);
• Modernização (reconstrução, recondicionamento ou adaptação de uma máquina ou das
instalações existentes);
• Outras finalidades (comprometimento de recursos a longo prazo).
Veremos, a seguir, sobre o planejamento e sua relação direta e imprescindível sobre os investi-
mentos da empresa. 
3.1.1 Planejando investimentos com o orçamento de capital
Sabemos, então, que o conjunto dos processos e métodos que direcionam os investimentos é de-
nominado orçamento de capital.Se utilizarmos o processo de orçamento de capital, obteremos 
um determinado projeto – ou conjunto de projetos – que poderão contribuir com o desenvolvi-
mento da empresa ao longo do tempo. 
INVESTIMENTOS Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Total
Terrenos 10 10 20
Veículos 20 20 40
Máquinas 30 30 60
Softwares 40 40 80
CDB
Tesouro direto
TOTAL MENSAL 100 10 20 30 40 200
Quadro 1 – Orçamento de investimento.
Fonte: Silva, 2015.
Os orçamentos são ferramentas muito utilizadas pelas empresas em suas elaborações de planos 
estratégicos. 
Planejar é estabelecer com antecedência as ações a serem executadas, estimar os recursos a 
serem empregados e definir as correspondentes atribuições de responsabilidades em relação a 
um período futuro determinado, a fim de que sejam alcançados satisfatoriamente os objetivos 
porventura fixados para uma empresa e suas diversas unidades. 
A elaboração de um orçamento na empresa significa uma verificação sobre o seu futuro. Essa 
verificação é um planejamento das possíveis ocorrências, uma previsão das ações e recursos 
para alcançar o objetivo e, como previsão, está sujeita a imprecisões. (DE SOUZA, 2013, p.43).
Tenha em mente, portanto, que as empresas devem questionar-se: “Seriam estas as melhores al-
ternativas?. Ou ainda: “O projeto trará o retorno esperado pelos investidores?” e “O investimen-
to será viável a médio e longo prazos?”. A resposta a estas questões será obtida após o estudo 
de cada opção de investimento com as técnicas de análise de investimentos que estudaremos a 
partir desse capítulo. 
07
Planilha de Orçamento de Capital
investimentos
em ativos
Ativo
Circulante
5363
48587
42670
593
3653
6259
8400
1600
19912
42724
139937
4770
Dívidas de Terceiros -
Curto Prazo
Estoques
Clientes
Veículos
Caixa e depósitos
bancários
Ativo Não
Circulante
Softwares, Marcas e
Patentes
Terrenos e
Edifícios
Equipamentos
e ferramentas
Dívidas de Terceiros -
Longo Prazo
Ativos
Financeiros
12650
50
2800
5000
300
4500
1600
0
700
600
300
450
Janeiro
80
5500
4000
450
3800
1750
0700
750
280
11830
321
fevereiro
0
3000
3700
566
2567
1790
0
700
900
190
9833
390
Março
35
4100
4800
344
4357
1878
0
700
800
178
13636
450
Abril
80
2790
5100
322
3800
1600
200
700
430
270
12092
334
Maio
55
3400
3600
578
4000
1746
200
700
546
300
11633
178
Junho
1347
3500
356
2900
2800
67
200
700
210
237
9623
390
Julho
657
3100
1480
3709
5678
70
200
700
280
300
13214
456
Agosto
3500
370
2346
55
200
2900
1677
700
327
367
410
9171
Outubro
500
4678
4456
23
200
1748
4000
700
305
543
13657
556
Setembro
4200
4000
40
420
200
2700
1708
700
458
350
11360
498
Novembro
3500
38
3800
3400
500
200
1608
700
328
380
11238
220
Dezembro
Investimento
Anual
Investimento Mensais
Quadro 2 – Planilha de orçamento de capital. Nela, estão ilustrados os valores previstos 
a cada investimento em ativos da organização, por mês e anualmente.
Fonte: O autor, 2015.
Devemos sempre ter como ponto de partida a noção de que um projeto de investimento deverá 
ser analisado, em termos de valor econômico, por sua capacidade de gerar fluxos de caixa po-
sitivos no futuro. Em outras palavras, é necessário que exista a perspectiva de geração de renda 
econômica, pois isto definirá o valor do projeto. Como uniformizar então critérios para comparar 
diferentes projetos?
Algo que podemos identificar como comum a todos os projetos é a utilização de valores mo-
netários como parâmetro. Pense bem: se todos os projetos são analisados em termos de valor 
do fluxo de caixa, ou seja, o fluxo de entrada e saída de recursos financeiros na empresa, o 
dinheiro – em sua expressão monetária – será o parâmetro. Dessa forma, entenda que todas as 
alternativas serão medidas em função das consequências, expressas em termos monetários, das 
opções oferecidas.
Existem, no entanto, outros métodos de avaliação que utilizam critérios diversos. Temos, por 
exemplo, a utilização do conceito do ROI (Retorno sobre o Investimento) e do ROA (Retorno sobre 
Ativos), os quais constituem índices financeiros de rentabilidade. 
Saiba que o ROI é calculado utilizando dados disponíveis nos relatórios contábeis da empresa, 
como Balanço Patrimonial (BP) e Demonstrativo de Resultados do Exercício (DRE). O retorno 
sobre o investimento será, portanto, uma relação entre a quantia ganha ou perdida e a quantia 
investida, e identificará se os investimentos estão sendo realizados da forma correta.
Enquanto isso, o ROA irá mensurar a rentabilidade em função dos ativos, avaliando a eficiência 
da utilização dos ativos para a obtenção de maior lucratividade. 
08 Laureate- International Universities
Matemática Financeira
Entenda que, apesar de ser bastante simples, a utilização dos dados contábeis falha na questão 
relativa à possibilidade de medição da renda econômica gerada e, portanto, com a possível 
criação de valor obtida a partir de alternativas de investimento. Listamos, a seguir, os métodos 
mais utilizados no mercado para a validação de investimentos. Acompanhe!
• Taxa Mínima de Atratividade (TMA).
• Valor Presente Líquido (VPL).
• Taxa Interna de Retorno (TIR).
• Payback descontado.
• Índice de custo/benefício.
• Método da Anuidade Uniforme Equivalente (AE).
• Método do Custo Anual Equivalente (CAE).
Vamos, ao longo desse capítulo, conhecer cada um dos métodos citados, seu conceito, seu pro-
cesso de cálculo e suas aplicações práticas por meio de exemplos.
VOCÊ QUER VER?
O filme Grande demais para quebrar (Curtis Hanson, 2011) nos conduz à crise finan-
ceira do ano de 2008 sob a visão do Secretário do Tesouro americano Henry Paulson. 
Com o título sugestivo, o longa remete ao cenário da crise e narra as batalhas de ne-
gociações realizadas entre os banqueiros de investimento, a fim de salvar a economia, 
e corporações de grande representatividade no mercado financeiro.
3.1.2 Taxa Mínima de Atratividade (TMA)
A Taxa Mínima de Atratividade é a taxa mínima exigida pelo investidor ou empresa como retorno 
do investimento para aceitar ou rejeitar propostas de investimento. Ela é a taxa mínima para 
remunerar, adequadamente, a expectativa de retorno definida pelos proprietários de capital e 
reflete o custo de oportunidade das várias fontes de recursos.
Por exemplo, se a TMA de um investimento para uma empresa é 12% e a empresa recebe três 
propostas de investimento (A, B e C), a rentabilidade é de, respectivamente, 9%, 11% e 13%. 
Pergunta: qual investimento a empresa deve escolher? Resposta: o investimento C, pois ele apre-
senta rentabilidade superior ao mínimo exigido pela empresa. 
A decisão quanto à definição desta taxa deverá avaliar três fatores básicos: o custo de oportuni-
dade, a liquidez e o risco do negócio. 
• Custo de oportunidade: refere-se aos benefícios renunciados em vista da escolha de
outra opção de investimento. Em outras palavras, é o retorno do investimento renunciado,
o custo de oportunidade.
• Liquidez: é a conversão da aplicação ou do ativo em dinheiro, de forma rápida,
preferencialmente, sem a perda de valores.
09
• Risco do negócio: refere-se ao grau (maior ou menor) de incerteza de todo investimento.
É a incerteza quantificada relacionada ao retorno esperado de um investimento.
Ao se analisar uma proposta de investimento deve ser considerado o fato de se estar perdendo 
a oportunidade de auferir retornos pela aplicação do mesmo capital em outros projetos. A nova 
proposta para ser atrativa deve render, no mínimo a taxa de juros equivalente à rentabilidade 
das aplicações correntes e de pouco risco. (CASAROTTO FILHO; KOPITTKE, 2010, p.97). 
Investimento A Investimento B Investimento C
T A X A M Í N I M A D E A T R A T I V I D A D E
TA
X
A
 D
E 
RE
TO
RN
O
 D
O
S 
IN
V
ES
TI
M
EN
TO
S
INVESTIMENTOS
12
8
6
TMA = 8%
Critérios de decisão
Retorno < TMA: rejeitar investimento
Retorno > TMA: aceitar investimento
Retorno = TMA: indiferente a rejeição ou aceitação.
Caso a empresa não tenha propostas melhores, a
proposta deve ser aceita, pois atende a
remuneração mínima exigida.
Figura 1 – Taxa Mínima de Atratividade como critério de decisão.
Fonte: Silva, 2015.
Como sabemos, não há consenso sobre qual taxa adotar. Algumas sugestões:
• Libor ou Prime rate;
• Taxa de juros de títulos do tesouro dos EUA;
• TJLP (taxa de juros de longo prazo);
• Custo médio ponderado de capital da empresa;
• Custo médio ponderado de capital ajustado pelo risco da empresa;
• Remuneração mínima exigida pelos proprietários.
O custo ponderado médio de capital também é uma boa medida, visto que toda empresa é um 
investimento. Os investimentos de uma empresa (ativos circulantes e não circulantes) devem ge-
rar um retorno superior ao custo do capital de terceiros (passivos circulantes e não circulantes) e 
do capital próprio (patrimônio líquido). O custo de oportunidade e a taxa mínima de atratividade 
são conceitos equivalentes. 
10 Laureate- International Universities
Matemática Financeira
George Soros é um famoso investidor financeiro e especulador da bolsa de valores 
e mercados cambiais. Nascido na Hungria e dono de grande fortuna, Soros também 
é conhecido por doar muito dinheiro a instituições e fundações. Devido a sua longa 
e vitoriosa história no mundo financeiro, foi posicionado pela revista Forbes em 2012 
entre os mais ricos do mundo, ocupando a 22ª colocação.
VOCÊ O CONHECE?
3.1.3 Valor Presente Líquido (VPL)
Saiba que a utilização do método denominado de Valor Presente Líquido (VPL) parte do princípio 
deque o valor do dinheiro é alterado ao longo do tempo, em função da taxa de desconto.
Figura 2 – Valor Presente Líquido (VPL) avalia o investimento em relação ao valor do dinheiro no período.
Fonte: Shutterstock, 2015.
Utilizando o conceito de Valor Presente, retiramos dos fluxos de caixa que estão dispersos no 
futuro a taxa mínima de atratividade (TMA), permitindo a comparação entre o total das entradas 
e saídas de dinheiro da empresa na data focal zero. Portanto trata-se de um “[…] método que 
mede o valor presente dos fluxos gerados pelo projeto ao longo de sua vida útil. Não existindo 
restrição de capital, argumenta-se que esse critério leva à escolha ótima, pois maximiza o valor 
da empresa” (SAMANEZ, 2007, p.20).
Na expressão do cálculo do VPL temos os seguintes registros:
• I0 é o investimento inicial e representa uma saída de dinheiro da empresa.
• o símbolo de somatória (∑) nos indica que devemos efetuar a soma de todos os valores
monetários existentes no fluxo de caixa, sejam positivos ou negativos, até a data final “n”.
• FCt representa o fluxo de caixa no t-nésimo período.
• K significa o custo do capital ou a Taxa Mínima de Atratividade do investimento.
11
• It = investimento previsto em cada período subsequente.
Assim, a expressão a seguir define o conceito de Valor Presente Líquido:
Os critérios de decisão utilizando Valor Presente Líquido estão dispostos a seguir. 
• VPL > 0: Fluxo (transação) viável economicamente, pois o projeto gera retorno (fluxo de
caixa) superior à taxa mínima de atratividade.
• VPL < 0: Fluxo (transação) inviável economicamente, pois o projeto gera retorno inferior
à taxa mínima de atratividade.
• VPL = 0 Entradas futuras são equivalentes aos desembolsos. O retorno do investimento é
igual à taxa mínima de atratividade. A proposta de investimento deve ser aceita, caso a
empresa não disponha de outras melhores.
O objetivo desse cálculo é identificar as oportunidades de investimento que apresentam maior 
retorno monetário (maior retorno acima da TMA) para o capital investido, ou seja, a alternativa 
que permite ganhos maiores do que seus custos, após o desconto do custo de oportunidade. 
Utilizando o processo, podemos comparar valores monetários que estão dispersos ao longo de 
períodos de tempo distintos.
Imagine a seguinte situação: uma empresa deseja adquirir um equipamento cujo preço é de R$ 
150.000,00. Ela deverá apresentar fluxos de caixa no valor de R$ 70.000,00 por ano, pelo pra-
zo de cinco anos. A taxa mínima de atratividade para aceitar o investimento é de 10% ao ano. A 
empresa deve investir nesse equipamento? 
Utilizando a fórmula apresentada, teremos:
Concluído o cálculo, o VPL resultará em R$ 115.355,07. O valor inicial investido, após o perío-
do de tempo e descontado pela taxa mínima de atratividade, é totalmente recuperado, restando 
ainda uma “sobra”de R$ 115.355,07. Essa “sobra” é o excedente do retorno do investimento 
sobre a taxa mínima de atratividade. 
No esquema a seguir, é apresentada a forma de cálculo do VPL na calculadora financeira HP 
12C.
12 Laureate- International Universities
Matemática Financeira
f CLEAR = limpa todos os registros armazenados;
CHS g Cfo = armazena o valor do investimento inicial;
g CFj = corresponde aos valores respectivos ao fluxo de caixa;
RCL n = demonstra o número de períodos inseridos no fluxo de caixa;
i = representa a taxa;
f NPV = constará o resultado do cálculo, neste caso, o Valor Presente Líquido.
Agora, que tal treinar esse cálculo?
f CLEAR re
150000 CHS g CFo
70000 g CFj
70000 g C�
70000 g C�
70000 g C�
70000 g C�
RCL n (irá constar no visor o número 6, pois são 6 valores no
�uxo de caixa)
10 i (a taxa i é 10%)
fNPV (tecle f e após, tecle NPV)
Ao �nal, irá surgir no visor da calculadora o valor 115.355,07
O valor presente líquido em calculadoras financeiras HP 12C é obtido utilizando-se a 
tecla NPV (Net Present Value). Para a análise da rentabilidade do investimento, o em-
presário fixa uma taxa de retorno do investimento aceitável, do seu ponto de vista, e 
calcula o VPL usando esta taxa de juros esperada.
VOCÊ SABIA?
Podemos concluir que um investimento somente será atrativo quando o valor presente (VPL) das 
receitas obtidas for superior a zero, e, portanto, deveremos ter VPL > 0, para que o investimento 
seja considerado rentável. Se VPL > 0 a taxa efetiva de retorno será maior do que a taxa de re-
torno previamente estabelecida, viabilizando positivamente o projeto.
13
Filosofias de Investimento, de Aswath Damodaran, 2006, é uma excelente leitura, pois 
desmistifica as estratégias adotadas em análises de mercado e investimentos. O título 
“Filosofias de Investimento” retrata exatamente o percurso seguido pelo autor ao lon-
go do livro, ou seja, por meio de filosofias utilizadas por conhecidos investidores, ele 
apresenta a aplicação de técnicas que certamente serão úteis ao leitor.
VOCÊ QUER LER?
3.1.4 Taxa Interna de Retorno (TIR)
A Taxa Interna de Retorno, também identificada por IRR (sigla para a expressão Investment Rate of 
Return), representa a taxa de retorno do investimento projetado. Em termos conceituais, trata-se 
da taxa que iguala, em determinado momento (geralmente no inicio do investimento) as entradas 
com as saídas previstas de caixa.
Entradas de Caixa (retornos do investimento)
FC1
10 2 3 4 (períodos)
Investimento inicial
(Saídas de caixa)
VPL = 0
VPFC = Investimento
FC2 FC3 FC4
VPL
FC1 FC2 FC3 FC4
(1 + TIR)1 (1 + TIR)2 (1 + TIR)3 (1 + TIR)4 10+= + + –
Figura 3 – Taxa interna de retorno (TIR) é a taxa que iguala as entradas 
com as saídas de caixa, tornando o VPL = 0.
Fonte: Silva, 2015.
Nesse sentido, trata-se de “[…] um índice que mede a rentabilidade do investimento por unidade 
de tempo (ex: 25% ao ano), necessitando, para isso, que haja receitas envolvidas, assim como 
investimentos” (MOTTA; CALÔBA, 2013, p. 116). A TIR representa a rentabilidade do investimen-
to em termos de taxa de juros composta equivalente. 
Entenda que para a utilização deste método, será necessário realizar o cálculo que tornará zero 
o valor presente dos fluxos de caixa. Em outras palavras, quando a Taxa Interna de Retorno (TIR)
for superior ao valor da taxa mínima de atratividade, o investimento pode ser considerado ren-
tável e viável.
Critério de decisão utilizando a TIR
Imagine que sua avaliação tenha como objetivo a análise de um investimento (portanto com sa-
ída inicial de recursos financeiros) ou de um financiamento (com uma entrada inicial de recursos 
financeiros). Segundo Motta e Calôba (2013):
14 Laureate- International Universities
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• Se TIR > TMA = projeto economicamente viável, pois a taxa de retorno é maior do que
a taxa mínima exigida;
• Se TIR < TMA = projeto economicamente inviável, pois a taxa de retorno é inferior à taxa
mínima exigida;
• Se TIR = TMA = projeto economicamente viável, pois a taxa de retorno é igual à taxa
mínima exigida. No entanto, caso a empresa disponha de projetos melhores, (com TIR >
TMA) a proposta deve ser rejeitada.
Fórmula para o cálculo da TIR:
Observe que temos a mesma fórmula do VPL, acrescida do conceito de que, em função da taxa 
de desconto utilizada (TIR), o resultado da operação será obrigatoriamente igual a zero. Ou seja, 
TIR é a taxa que torna o VPL igual a zero. 
Com o objetivo de apresentar a aplicação do cálculo da TIR em uma situação prática, imagine 
que uma empresa deseja adquirir um equipamento cujo preço é de R$ 150.000,00. Ela deverá 
apresentar fluxos de caixa no valor de R$ 70.000,00 por ano, pelo prazo de cinco anos. A taxa 
mínima de atratividade para aceitar o investimento é de 10% ao ano. Qual será a Taxa Interna 
de Retorno deste investimento?
Utilizando-se da fórmula da TIR, o cálculo resultará em 37,0%. 
Noesquema a seguir, é apresentada a forma de cálculo da Taxa Interna de Retorno na calcula-
dora financeira HP 12C:
f CLEAR = limpa todos os registros armazenados;
CHS g Cfo = armazena o valor do investimento inicial;
g CFj = corresponde aos valores respectivos ao fluxo de caixa;
i = representa a taxa;
f IRR = constará o resultado do cálculo, neste caso, a TIR.
Agora, que tal treinar esse cálculo?
15
70000 g CFj
70000 g C�
70000 g C�
70000 g C�
70000 g C�
F CLEAR re
150000 CHS g CFo
10i (a taxa i é de 10%)
f IRR (tecle f e após, tecle IRR)
Ao �nal, irá surgir no visor da calculadora o
valor 37,0%
Conforme o conceito apresentado, a TIR irá zerar o VPL. Portanto, em nosso exemplo, a TIR é 
igual a 37,0%. A empresa, neste caso, sabe que o resultado de que seu investimento é viável, 
pois o valor de sua TIR (Taxa Interna de Retorno) é superior à sua TMA (Taxa Mínima de Atrativi-
dade) de 10%.
O livro Finanças Empresariais é uma oportunidade a todas as empresas, de qualquer 
segmento, que queiram crescer e obter retornos com seus investimentos. Os autores 
Jonathan Berk e Peter Demarzo oferecem ao leitor uma visão contemporânea das fi-
nanças corporativas, ilustrada com casos que motivam o leitor a avaliar a situação 
como organização.
VOCÊ QUER LER?
3.1.5 Payback descontado
O payback permite a empresa saber em quanto tempo um investimento será recuperado pelas 
entradas de caixa geradas pelo investimento. O período de payback é o tempo que a empresa 
necessita para recuperar o investimento realizado. Ao mesmo tempo, o payback descontado é 
responsável pela verificação do valor do dinheiro nesse tempo, trazendo os fluxos de caixa ao 
valor presente. Além disso, o período de payback caracteriza-se como um ponto de equilíbrio na 
avaliação econômico-financeira. Ou seja, quando a empresa atinge o período de payback ela 
não tem nem ganhos, nem perdas: apenas recuperou o investimento realizado. Ultrapassando 
o período de payback, a empresa obtém ganhos além dos necessários para recuperar o investi-
mento realizado.
Na aplicação do payback descontado é importante haver atenção quanto ao custo de oportu-
nidade dos valores aplicados no projeto. O custo de capital refere-se à alteração do valor do 
dinheiro no tempo, ou seja, nosso dinheiro sofre alterações constantes e assim, dizemos que o 
dinheiro de hoje não se equivale ao dinheiro de ontem. Por conseguinte, no cálculo do payback 
descontado será considerado o valor deste custo de capital.
16 Laureate- International Universities
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Com base no exemplo elaborado pelo professor Roberto Cesar, um projeto possui um determina-
do fluxo de caixa para o período equivalente aos 5 anos seguintes. Destaca-se que o custo de ca-
pital é de 10% ao ano. O investimento inicial é R$ 15.000,00 Determine o payback descontado.
PERÍODOS (EM ANOS) VALORES
0 - 15.000
1 7.000
2 6.000
3 3.000
4 2.000
5 1.000
Assim, no cálculo, todos os valores serão transformados em valor presente e verificados os valo-
res das parcelas, fator determinante para a análise de transição do saldo negativo ao positivo. 
Lembre-se de que a taxa de desconto (custo de capital) é de 10% ao ano.
PERÍODOS FLUXO DE CAIXA
FLUXO DE CAIXA 
DESCONTADO SALDO
0 - 15000 - 15000
1 7000
7.000
(1+0,10)1
 = 6.363 -15.000 +6.363 = -8.637
2 6000
6.000
(1+0,10)2
 = 4959 -8.637 + 4.959 = - 3.678
3 3000
3.000
(1+0,10)3
 = 2254 -.3678 + 2.254 = - 1.424
4 2000
2.000
(1+0,10)4
 = 1366 -1.424 + 1.366 = -58
5 1000
1.000
(1+0,10)5
 = 621 -58 + 621 = 563
No ano 0 a empresa investiu R$ 15.000. Em quanto tempo ela vai conseguir recuperar seu in-
vestimento? Inicialmente, devemos trazer o fluxo de caixa gerado pelo investimento a valor pre-
sente, o que pode ser visto na terceira coluna do quadro acima. Depois, nós somamos ao valor 
do investimento (-15.000) os fluxos de caixa trazidos a valor presente, um a um, até sabermos 
em que momento o investimento inicial é totalmente recuperado pelo fluxo de caixa descontado. 
Você consegue perceber que a passagem da perda para o ganho ocorre do 4º para o 5º ano de 
andamento do projeto? Deste modo, o período previsto para obtenção de retorno nesse projeto 
é de quatro anos e um mês.
Fluxo de Caixa do Período de Equilíbrio Relação Fluxo de Caixa Descontado x Saldo
- 58 / 621 0,093
17
Ou seja, o período de payback é igual a 4,093 anos, ou ainda 4 anos e 1 mês aproximadamente 
(0,093 x 12 meses). 
2.1.5.1 Payback como critério de decisão: aceitar ou rejeitar?
Do ponto de vista da decisão de aceitar ou rejeitar determinada proposta de investimento, o 
período de payback descontado deve ser comparado com o padrão-limite estabelecido pela em-
presa. Por exemplo, se uma organização definiu que o limite-padrão para a recuperação de um 
investimento é 5 anos, a empresa do nosso exemplo deverá aceitar a proposta de investimento, 
pois, com base no período de payback calculado, a empresa recupera todo o seu investimento 
em 4,093 anos. Ou seja, a empresa recupera o investimento antes do prazo máximo definido 
pela organização.
Ou seja:
• Quando payback descontado < limite-padrão: aceitar a proposta, pois a empresa
recupera o investimento antes do limite-padrão.
• Quando payback descontado > limite padrão: rejeitar a proposta, pois a empresa não
recupera o investimento dentro do prazo máximo aceitável.
O payback é um forte indicador de nível de risco de um projeto de investimento. Em períodos 
de maior incerteza em relação ao retorno dos investimentos e quanto à conjuntura econômica, 
e em momentos de maior restrição na liquidez, o limite-padrão definido pelas organizações é, 
significativamente, reduzido. 
Conclusões: em razão das limitações quanto à fixação do limite-padrão ideal para a recupera-
ção dos investimentos e de variáveis conjunturais, o payback descontado deve ser usado em con-
junto com outros métodos de análise de investimento, evitando que uma decisão de investimento 
seja tomada, exclusivamente, por esse método. 
3.1.6 Método do custo/benefício
Entenda-o como um indicador que torna possível verificar a relação entre o valor atual dos custos 
(incluindo o investimento inicial), e o valor atual dos ingressos equiparando estes valores. Por 
meio deste método, obtemos um índice de viabilidade econômica que, por definição, deve ser 
maior do que 1. Três situações podem ocorrer com a utilização do índice B/C:
• B/C > 1: significa que os benefícios do investimento são maiores que seus custos. Quanto
maior o índice, melhor o retorno do investimento.
• B/C = 1: indica que os benefícios do investimento trazidos a valor presente são iguais ao
custo do investimento trazido a valor presente. A princípio, é indiferente aceitar ou rejeitar
a proposta.
• B/C < 1: neste caso, a empresa deve rejeitar a proposta de investimento, pois os custos
são maiores do que os benefícios gerados.
Em outras palavras, para que a análise indique um investimento viável, portanto, deve apresentar 
resultado maior do que 1.
Saiba, desde já, que esse conceito deve ser utilizado em conjunto com os demais métodos, pois 
projetos com diferentes taxas de retorno, por exemplo, poderão apresentar o mesmo resultado no 
cálculo do índice custo/benefício (nesse caso privilegia-se o projeto de investimento com melhor 
taxa de retorno).
18 Laureate- International Universities
Matemática Financeira
Fórmula para o cálculo:
1
1
1
1
(1 K)/
(1 K)
n
t
t
n
t
t
b
B C
c
=
=
+=
+
∑
∑
Em que:
B / C = índice custo/benefício. 
b1 = benefícios do período de tempo t. 
c1 = custos do período t. 
n = período de tempo do planejamento. 
K = taxa de juros. 
Utilizando os dados de nosso exemplo anterior, isto é, um investimento de R$ 150.000, fluxos de 
caixa de R$ 70.000por 5 anos e TMA de 10%, teremos a seguinte expressão:
Como o índice calculado é maior do que 1, sabemos que o projeto é economicamente viável. 
Quanto maior o índice B/C, tanto mais atraente é o investimento. 
500 perguntas (e respostas) básicas de finanças, de Hugo Azevedo, 2007, é uma leitura 
muito indicada por orientar o leitor em seus investimentos individuais. O livro dá dicas em 
relação ao mercado financeiro e de ações com conceitos que ajudam os iniciantes nesta 
área. Apresenta ainda situações práticas que podem ser úteis a todos os investidores.
VOCÊ QUER LER?
3.1.7 Método da anuidade uniforme equivalente (AE)
Para que possamos selecionar entre projetos distintos, devemos obter um parâmetro comum, que 
possa ser definido como critério de comparação, caso contrário torna-se difícil compará-los, 
certo? Deve-se, portanto, igualar o cenário desejado em um período futuro no qual os valores 
serão comuns. Entenda que o método de VPL, nos casos em que os períodos de tempo são dis-
tintos entre os projetos analisados, não apresenta uma única solução.
Laureate- International Universities
19
Figura 4 – Método da anuidade uniforme equivalente e o critério de comparação.
Fonte: Shutterstock, 2015.
Utilizamos este método quando possuimos a missão de selecionar projetos com distintos períodos 
de tempo, devendo identificar o mínimo múltiplo comum existente entre tais períodos. Nos casos 
em que os períodos de tempo forem mais amplos, precisaremos ficar, especialmente, atentos e 
utilizar um método alternativo, denominado de anuidade uniforme equivalente.
Assim, poderemos identificar de que forma seria “[…] distribuída a renda econômica gerada pelo 
projeto se a referida distribuição fosse equitativa para cada ano” (SAMANEZ, p.24). Observe os 
dois projetos apresentados no quadro a seguir.
Anuidade Equivalente
Fluxo de Caixa
Projeto 0
R$ (10,00)
R$ (10,00) R$ 5,00 R$ 5,00 R$ 5,00 R$ 23,38 R$ 2,43
R$ 1,82R$ 30,00R$ 13,00
1 2 3 TIR VPL (10%)
A
B
Quadro 3 – Anuidade equivalente.
Fonte: SAMANEZ, 2007.
Pela análise realizada por meio do VPL, o projeto B é melhor do que o A, já pela técnica da TIR 
temos, exatamente, o inverso. Com a técnica de Anuidade Equivalente “repartiremos” o VPL ao 
longo de toda a vida útil do projeto, o que equivale transformar o projeto em uma série uniforme 
de pagamentos.
A Anuidade Equivalente é calculada mediante a seguinte formulação:
20 Laureate- International Universities
Matemática Financeira
( )
( )
. .
1 1
1
n
n
VPLA E
K
K K
=
  + −
   + ×   
Assim, verificamos que:
( )
( )
( )
( )
1
1
3
3
1,82. . $2,00
1 0,10 1
1 0,10 0,10
2,43. . $0,98
1 0,10 1
1 0,10 0,10
A E
A E
= =
  + −
   + ×   
= =
  + −
   + ×   
Como AEA > AEB implica em que a alternativa A é mais adequada do que a alternativa B.
A Anuidade Uniforme Equivalente (AE) é um indicador do tipo “quanto maior melhor”. Por esse 
critério, num processo decisório, devemos escolher a proposta de investimento que apresenta a 
maior AE. 
Warren Edward Buffett é um investidor de destaque e de renome mundial, que obteve 
sucesso no mundo financeiro com investimentos e sua capacidade de multiplicar os 
valores ganhos. De aquisição em aquisição, Buffett foi construindo sua fortuna. Entre 
suas aquisições de maior destaque estão a Kraft Heinz Co., a Duracell e a Phillips 
Specialty Products.
VOCÊ O CONHECE?
3.1.8 Método do custo anual equivalente (CAE)
Trata-se de um processo pelo qual obtemos um rateio uniforme, por unidade de tempo, dos 
custos de investimentos, de oportunidade e operacionais dos diferentes projetos analisados. Em 
outras palavras, o CAE representa o valor presente líquido do investimento sendo distribuído 
21
durante sua vida útil. O cálculo do custo anual equivalente será necessário quando houver duas 
opções de investimento e, dentre estas opções, o prazo da vida útil é diferente. 
Conforme os dados de dois equipamentos (apresentados a seguir), o CAE será calculado para a 
definição da melhor alternativa. Considerando a fórmula do custo anual equivalente:
Onde:
INV = valor presente do investimento, considerando os custos operacionais.
K = TMA
CAE = Custo Anual Equivalente
Exemplo: considere que uma empresa dispõe de duas propostas de investimento: equipamento 
A e equipamento B. O equipamento A custa R$ 25.000 à vista e tem custos operacionais de R$ 
1.200 por ano. O equipamento B custa R$ 21.000 à vista e apresenta custos operacionais de 
R$1.150 ao ano. A TMA é 10% ao ano. Em qual equipamento a empresa deve investir? Naquele 
que apresentar o menor Custo Anual Equivalente. Vamos aprender a calcular o CAE?
Dados: 
Temos: Equipamento A
-$25000 –1200 -1200 -1200 -1200 -1200 -1200 -1200 -1200
0 1 2 3 4 5 6 7 8 (em anos)
Equipamento B
-$21000 –1150 -1150 -1150 -1150 -1150
0 1 2 3 4 5 (em anos)
Perceba que o equipamento A tem uma vida útil de 8 anos, ao passo que o equipamento B tem 
uma vida útil de 5 anos. 
Inicialmente, devemos calcular o valor presente do investimento. Ou seja, devemos trazer a valor 
presente os custos operacionais anuais do equipamento.
Portanto, o valor presente do investimento A é 31.401,91 e do investimento B é 25.359,40. Com 
o valor presente de cada proposta de investimento, agora podemos calcular o CAE de cada pro-
posta. A fórmula a ser usada é:
22 Laureate- International Universities
Matemática Financeira
CAE do equipamento A CAE do equipamento B
No esquema a seguir, é apresentadaa forma de cálculo do CAE na calculadora financeira HP 
12C:
CHS PV = ;
i = representa a taxa;
n = ;
PMT = .
Agora, que tal treinar esse cálculo em sua calculadora financeira HP 12C?
Equipamento A Equipamento B
31.401,91 CHS PV
10 i
8 n
PMT
Irá surgir no visor da calculadora o
valor 5.886,10
25.359,40 CHS PV
10 i
5 n
PMT
Irá surgir no visor da calculadora o
valor 6.689,74
Portanto, conforme nosso exemplo, o custo anual equivalente da alternativa A é menor do que o 
da alternativa B, caracterizando-se como a melhor das duas opções. Ou seja, por esse critério a 
empresa deve escolher os investimentos com menor custo anual equivalente (CAE). 
23
VOCÊ QUER VER?
O Lobo de Wall Street (Martin Scorsese, 2013) é um filme que nos remete ao movimen-
tado Mercado Financeiro de Wall Street, coração financeiro de Nova Iorque. O longa-
-metragem transmite mensagens que nos faz refletir sobre nosso próprio cotidiano e nos
dá ideias de como modificá-lo para o sucesso. Lições como “possuir determinação e
juntar-se a pessoas que desejem o mesmo que você” podem ser observadas.
3.2 Arrendamento Mercantil – Leasing 
A partir de agora, abordaremos um tipo de contratação também conhecida como arrendamento 
mercantil, ou simplesmente leasing. Uma operação de leasing nada mais é do que um contrato ju-
rídico de cessão do uso de um bem, por parte de seu proprietário (o arrendador), em favor de ou-
tro agente econômico (o arrendatário). A seguir, veremos os benefícios obtidos pela organização 
com a contratação dessa modalidade e do impacto sobre seu ativo circulante e não circulante.
3.2.1 Ativo Circulante e Ativo Não Circulante
Retomando critérios contábeis da análise de balanços, recordemos que o Ativo, o qual representa 
o conjunto de bens e direitos da empresa, está dividido basicamente em Circulante e Não Circu-
lante. Tenha em mente que esta divisão está relacionada ao critério de liquidez, ou seja, sempre
que um bem é adquirido será classificado em uma das duas posições.
O que são ativos circulante e não circulante? Bem, entenda ativo circulante como os 
bens e os direitos que podem ser convertidos em valores monetários no curto prazo. 
Classificam-se como ativo circulante as aplicações financeiras,os estoques, as contas 
a receber, o dinheiro em caixa e as matérias-primas.
Já o ativo não circulante representa as contas referentes aos recursos aplicados aos bens 
e direitos destinados a permanência da empresa no longo prazo. O ativo não circulante é 
classificado como ativo realizável a longo prazo, imobilizado, intangível e investimentos.
VOCÊ SABIA?
Como os itens que compõem, o não circulante encontra sempre maior dificuldade de ser trans-
formado rapidamente em dinheiro, pois nem sempre um grande volume monetário imobilizado 
em ativos permanentes é interessante para a empresa. Existe, portanto, uma interessante alter-
nativa à compra de um equipamento, por parte da empresa: a realização da operação de leasing.
Entenda que esse tipo de contrato irá prever o período de tempo do contrato e suas condições 
financeiras, englobando encargos, taxas e impostos, a remuneração do arrendador e a amor-
tização do financiamento. Esse conjunto de processos compõe a contraprestação. Ao final do 
contrato, o arrendatário possui as seguintes opções:
24 Laureate- International Universities
Matemática Financeira
• devolver o bem ao arrendador;
• renovar o contrato, renegociando ou não suas condições;
• exercer a opção de compra do bem, pagando por ele o que se denomina de valor residual
garantido.
Saiba que os contratos de leasing costumam ser classificados em dois tipos: Leasing Operacio-
nal ou operating leasing e Leasing Financeiro ou capital leasing. Outras diferentes modalidades 
estão disponíveis no mercado, tais como sale-and-leaseback, leasing imobiliário, leasing inter-
nacional etc.
Os segredos da mente milionária, de T. Harv Eker, 2006, nos apresenta uma visão dife-
rente de reconhecimento, baseada nos resultados obtidos com o trabalho realizado em 
determinada atividade e não pelo tempo investido. O autor nos faz refletir acerca de 
dezessete maneiras de pensar que diferenciam a maioria da população dos indivíduos 
mais bem-sucedidos financeiramente. Ainda somos advertidos sobre uma maneira des-
trutiva de pensar, ou seja, sobre as atitudes que podem dificultar investimentos ideais.
VOCÊ QUER LER?
3.2.2 Leasing operacional
Trata-se da operação na qual o contrato firmado entre arrendador e arrendatário prevê que o 
primeiro está obrigado a facilitar ao segundo o uso temporário de um determinado bem especi-
ficado. É obrigação do arrendador manter o bem em perfeito estado de funcionamento, por um 
período de tempo inferior à sua vida útil.
Entenda que a remuneração desse contrato é realizada por meio do pagamento de contrapres-
tações, sendo que a somatória dos valores previstos das contraprestações é, em geral, inferior 
ao valor integral necessário para a total amortização do preço do bem.O leasing operacional 
é bastante comum no mercado, especialmente no que tange a equipamentos tecnológicos que 
sofrem rápido processo de obsolescência nas áreas de informática ou telecomunicações. Não é 
incomum que o arrendador seja o próprio fabricante do equipamento.
No Brasil, a legislação apresenta duas considerações obrigatórias para que uma operação seja 
considerada como leasing operacional. Primeiramente, temos a opção de compra não poder 
constar como determinação do contrato, e sim determinada ao final do contrato, além disso, seu 
valor deve ser equivalente ao valor de mercado do bem. Depois, o montante da somatória das 
prestações pagas deve ser inferior a 75% do valor de compra. 
Visualize o seguinte exemplo: uma empresa, qualificando-se como arrendatária, pretende rea-
lizar um contrato de leasing com o fabricante (arrendador) de determinado equipamento. Para 
tomar a decisão, é preciso calcular o valor financeiro mínimo da prestação anual que pagará. 
Pesquisando as informações necessárias, verifica que:
• valor do equipamento = $ 20.000,00;
• vida útil estimada = 4 anos;
25
• prazo da operação = 4 anos;
• alíquota de IR para o arrendador = 30%;
• vusto de capital = 7% ao ano;
• gastos gerais anuais estimados = $ 2.000,00 ao ano.
Calculando o benefício fiscal utilizando os dados de gastos gerais e da alíquota de IR, obtemos:
($2000,00 0,30) $600,00Beneficio = × =
Já o efeito da depreciação é calculado utilizando os dados do investimento inicial, vida útil esti-
mada e alíquota de IR. Com essas informações, obtemos então:
$20.000,000,30 $1.500,00
4
Depreciação  = × = 
 
Com base nas informações obtidas e nos cálculos iniciais, podemos estabelecer o resumo dos 
fluxos de caixa relevantes, conforme indica o quadro a seguir.
Ano
0
R$ (20000,00)Custo inicial
Gastos Gerais
Gastos Gerais
Depreciação
Efeitos Fiscais
R$ (20000,00)Fluxo de caixa incremental
R$ (2000,00)
R$ (600,00)
R$ (1500,00)
R$ (100,00) R$ (100,00) R$ (100,00) R$ (100,00)
SAMANEZ p. 52
R$ (1500,00) R$ (1500,00) R$ (1500,00)
R$ (600,00) R$ (600,00) R$ (600,00)
R$ (2000,00) R$ (2000,00) R$ (2000,00)
1 2 3 4
Quadro 4 – Resumo dos fluxos de caixa relevantes.
Fonte: Samanez, 2007.
Para completarmos a análise do processo e o cálculo da prestação anual, determinaremos o 
V.P.L. do investimento realizado pelo arrendador, considerando o custo de capital informado de
7% ao ano.
1 4
$100,00 $100,00$20.000,00 ... $19.661,27
(1 0,07) (1 0,07)
VPL = − − − =
+ +
A prestação mínima a ser cobrada da arrendatária será igual a uma Anuidade Equivalente (AE) 
calculada sobre o VPL do arrendador.
O valor da anuidade equivalente ou prestação permite ao arrendador auferir uma rentabilidade 
compatível com seu custo de oportunidade do capital. Como essa prestação representa uma 
receita operacional na contabilidade do arrendador, sobre a qual ele deverá pagar impostos, a 
prestação mínima líquida a ser cobrada do arrendatário é: (SAMANEZ, 2007, p. 53). 
4
4
$19.661,28. . $5,804,56
(1 ) 1 (1 0,07) 1
(1 ) (1 0,07) 0,07
n
n
VPLA E
K
K K
= = =
   + − + −
   + × + ×   
26 Laureate- International Universities
Matemática Financeira
. . $5.804,56 $8.292,23
(1 ) (1 0,30)
A E
T
= =
− −
Lembre-se de que T representa a alíquota de IR da operação. Concluímos, portanto, que, levan-
do em conta exclusivamente os termos financeiros da operação, o valor monetário da prestação 
anual de equilíbrio deve ser de $ 8.292,23. Conforme registrado anteriormente, existem outras 
operações relacionadas ao conceito de leasing. Estudaremos a seguir o leasing financeiro.
Ações comuns, lucros extraordinários, de Philip Fisher, 2012, apresenta técnicas de 
análise em investimentos, que auxiliam na resolução de dúvidas. Ao não seguir o rumo 
da multidão, conforme apresentado, sugere-se seguir e traçar seu próprio caminho, 
onde é possível alcançarmos os resultados ainda não conquistados ou obtido por pou-
cos. A ideia do livro surgiu da necessidade em relação à compilação de métodos de 
investimentos em ações.
VOCÊ QUER LER?
3.2.3 Leasing financeiro
A operação de leasing financeiro possui forte semelhança com uma operação de financiamento. 
Saiba que, por meio de um contrato firmado de leasing financeiro, uma determinada empresa 
poderá, em seu vencimento, exercer as seguintes opções:
• adquirir o bem e revendê-lo, recuperando parte de seu investimento;
• renovar o contrato em vigor, inclusive podendo pretender trocar o objeto do contrato
original por outro, mais desenvolvido tecnologicamente, com os devidos acréscimos
financeiros correspondentes, caso existam.
Existe um efeito fiscal importante, que deve ser destacado: o montante do valor financeiro das 
prestações pagas durante o período de vigência do contrato poderá ser deduzido, para efeito do 
cálculo do Imposto de Renda devido, pois será deduzido do valor do lucro tributável. Acompa-
nhe a lista de componentes de um contrato de leasing financeiro.
• Contraprestação: trata-se do valor relativo ao pagamento realizadopela arrendatária ao
arrendador, durante o prazo de vigor do contrato.
• Opção de compra: trata-se do elemento que permite a clara diferenciação entre um
contrato de leasing financeiro e um contrato padrão de aluguel de equipamentos. Deve
ser estipulado de comum acordo entre os contratantes, pois será a base de negociação
futura quanto à aquisição do equipamento.
• Valor residual garantido: trata-se de uma proporção do valor do contrato.
27
O valor residual será devido ao arrendador, caso a opção de compra do equipamento 
seja exercida pelo arrendatário, ao final ou durante o período de vigência do contrato. 
Esse valor residual garantido, identificado pela sigla V.R.G., poderá ser pago em qual-
quer momento do prazo contratual.
VOCÊ SABIA?
Cálculo da taxa de arrendamento
Como o contrato de leasing financeiro pode ser pago em momentos distintos, o V.R.G. pode ser 
calculado para pagamentos antecipados, postecipados ou distribuídos ao longo do contrato. 
Para um contrato de leasing financeiro, prevendo prestações postecipadas e quitação do V.R.G. 
ao final do contrato, apresentamos a seguir a estrutura temporal.
0 1 2 3 n - 1 n
Rn
VRG
VO
Rn - 1R3R2R1
• VO = Valor da operação.
• Rt = Valor da prestação do período t.
• VRG = Valor residual garantido (% em relação a VO).
• n = prazo da operação.
Como toda operação financeira existe a questão da taxa de juros, apresentada como i. Temos 
então a equação para o cálculo de VRG ao final da operação.
11
1 1...(1 ) (1 ) (1 )
n
n n
RR VRGVO
i i i
−
−= + + ++ + +
Para o cálculo da contraprestação da mesma operação de leasing:
( )
(1 ) 1
(1 )
n
n
VO VRGR i VRG
i
i i
−
= + ×
 + −
 + × 
Para uma taxa de arrendamento, calculada em termos percentuais,
(100% %) %
(1 ) 1
(1 )
n
n
VRGTA i VRG
i
i i
−
= + ×
 + −
 + × 
28 Laureate- International Universities
Matemática Financeira
Poderemos considerar então que:
100
TAR VO= ×
Caso o valor residual esteja considerado ao longo do prazo de vigência do contrato:
(100% %) %
(1 ) 1
(1 )
n
n
VRGTA i VRG
i
i i
−
= + ×
 + −
 + × 
Caso o valor residual garantido seja cobrado no início de vigência do contrato:
100%
(1 ) 1
(1 )
n
n
TA
i
i i
=
 + −
 + × 
Imagine uma operação de leasing financeiro no valor de R$ 100.000,00, pelo período de 36 
meses e com taxa de juros mensais de 8% aplicados pelo arrendador. Agora, determine a taxa de 
arrendamento e o valor das prestações, tendo em mente que o VRG é de 20% e cobrado ao final 
do contrato. Temos, então, VO = $100.000,00, VRG = 20%, n = 36 meses e i% = 8% ao mês, 
sendo o VRG cobrado ao final da operação. Calculando a taxa de arrendamento.
(100% %) %
(1 ) 1
(1 )
n
n
VRGTA i VRG
i
i i
−
= + ×
 + −
 + × 
Portanto o valor da prestação mensal será calculado como a seguir:
$100.000,00 8,4276% $8.427,57
R VO TA
R
= ×
= × =
29
CASO
Nas aplicações de recursos pelas organizações podem, naturalmente, surgir algumas dúvi-
das quanto ao investimento ideal. Assim, os métodos de análise de investimentos são ótimas 
ferramentas,que apontam a decisão correta. Um dos métodos de análise de investimentos apli-
cáveis é o Valor Presente Líquido. 
Deste modo, verifique o caso da empresa JS Fornos, que deseja adquirir um novo forno no valor 
de R$ 80.000,00. A empresa apresenta fluxos de caixa incremental, por estar com sua capacida-
de de produção em quantidades elevadas e necessitam deste novo forno para atender a deman-
da crescente de novos pedidos. A empresa apresenta o fluxo de caixa incremental no valor de R
$ 50.000,00 por ano, pelo prazo de três anos. Se a taxa de juros considerada for igual a 8% 
ao ano, esse investimento será adequado para a empresa?
Realizando o cálculo, conforme a fórmula apresentada do VPL:
1 2
1 2, ...(1 ) (1 ) (1 )
n
n
FCFC FCVPL Investimento Inicial
i i i
= − + + + +
+ + +
O VPL resultará em R$ 48.854,85. O valor inicial investido, após o período de tempo e descon-
tado pela taxa de juros selecionada, é totalmente recuperado, restando ainda R$ 48.854,85. 
Resolvendo pela HP12C:
f REG
80000CHS g CFo
50000g CFj
3 g Nj
8 i
f NPV visor mostra 48.854,85
30 Laureate- International Universities
Síntese
Neste capítulo, abordamos os métodos de análise de investimentos, os quais são imprescindíveis 
para a tomada de decisões que envolvem a aplicação de recursos e a avaliação de sua rentabi-
lidade ao longo do tempo.
• A Taxa Mínima de Atratividade (TMA) resume o valor percentual ao qual o investidor
arrisca-se a ganhar no momento do investimento.
• Ao mesmo tempo, o Valor Presente Líquido (VPL) parte do princípio de que o valor do
dinheiro é alterado ao longo do tempo, em função da taxa de juros.
• A Taxa Interna de Retorno (TIR) representa a taxa de retorno do investimento projetado.
• O método do custo/benefício constitui um indicador que torna possível verificar a relação
entre o valor atual dos custos e o valor atual dos ingressos (incluindo o investimento
inicial).
• O método da anuidade uniforme equivalente (AE) refere-se à utilização de um parâmetro
comum, que possa ser definido como o critério de comparação.
• O método do custo anual equivalente (CAE) refere-se a um processo pelo qual obtemos
um rateio uniforme, por unidade de tempo, dos custos de investimentos, de oportunidade
e operacionais dos diferentes projetos analisados.
• Leasing Operacional e Financeiro são processos também conhecidos como arrendamento
mercantil.
Síntese
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