Análise de Variância (ANOVA)

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Análise de Variância
ANOVA
1Profª Lisiane Selau
ANOVA
� Os testes de hipótese para média apresentados até
aqui limitaram-se à comparação de duas médias.
� Contudo, há situações em que se deseja comparar
várias médias, cada uma oriunda de um grupo
diferente.
� Esses grupos, também chamados tratamentos,
poderiam ser:
� o desempenho em Km/l de carros consumindo 4 marcas de
combustíveis,
� a eficiência de 3 métodos de treinamento,
� comparação da produtividade entre 5 máquinas.
2Profª Lisiane Selau
One Way ANOVA
� One Way ANOVA - Analisa experimentos que
envolvem:
� 1 Variável de resposta
� 1 Fator controlável a vários níveis (vários grupos)
� Os ensaios (repetições) realizados em cada nível
do fator controlável configuram um grupo
� O objetivo é identificar se os valores da variável de
resposta medidos nos diversos níveis do fator
controlável diferem entre si.
3Profª Lisiane Selau
Exemplo: Um profissional deseja estudar se a
temperatura ambiente influencia na produtividade dos
funcionários. Para isso realizou três medidas de
produtividade (peças/hora) em três temperaturas
diferentes.
Fator controlável: temperatura
Níveis do fator controlável: 15, 25, 35
Variável de resposta: produtividade 
Repetições: 3 valores para cada nível
Fator controlável
T em p era tu ra
1 5 2 5 3 5
1 2 2 0 1 7
1 3 1 9 1 6
1 1 1 8 1 8
Níveis do fator 
controlável
Variável de resposta
4Profª Lisiane Selau
Disposição dos dados
Fator A A1 A2 ... Ak 
 y11 y21 ... yk1 
 y12 y22 ... yk2 
 : : : : 
 : : yij : 
 : : : : 
 y1,n1 y2,n2 ... yk,nk 
Totais Ti . T1. T2. ... Tk. T.. = 
No.Obs. ni n1 n2 ... nk N = 
Médias 
.iY .1Y .2Y ... .kY =
..
Y 
5
Teste de Hipótese
H0: não há diferenças significativas entre os grupos
H1: há diferenças significativas entre os grupos
kµµµ === ....21
'ii µµ ≠
Profª Lisiane Selau
Modelo Estatístico
� Os resultados poderiam ser representados por 
um modelo aditivo:
onde:
Yij é a observação j medida no tratamento i;
µ média geral de todas as observações;
τi. efeito do tratamento i;
εij erro aleatório;
j
ijiij
nj
kiY
 ..., ,1= 
,.....,1 ; 
.
=++= ετµ
6Profª Lisiane Selau
Exemplo 
20 = 16 + 3 + 1
 Temperatura 
 15 25 35 
 12 20 17 
 13 19 16 
 11 18 18 
=.iT 36 57 51 144T.. = 
=in 3 3 3 9N = 
=
.iY 12 19 17 16.. =Y 
 ijiijY ετµ ++=
Modelo Estatístico
Níveis do fator
controlável
7Profª Lisiane Selau
Decomposição da variabilidade
� A Análise de Variância se baseia na decomposição
da variabilidade total.
� Mais especificamente, os desvios das observações
individuais em relação a média global podem ser
escritos como:
( )
.iij YY −
é o desvio da média do tratamento i
em relação à média global
é o desvio da observação individual em 
relação a média do tratamento i correspondente
( )
..
.
YY i −
( ) ( ) ( )
 
.
..
.
..
iijiij YYYYYY −+−=−
8Profª Lisiane Selau
� Elevando ao quadrado ambos os termos e efetuando o
somatório, resulta:
� Identificamos as seguintes somas quadradas:
SQT = SQG + SQR
� SQT soma dos quadrados totais, decomposta em:
� SQG soma dos quadrados dos grupos (tratamentos),
associada exclusivamente a um efeito dos grupos;
� SQR soma dos quadrados dos resíduos, devida
exclusivamente ao erro aleatório, medida dentro dos
grupos.
( ) ( ) ( )∑∑∑ −+−=− 2.iij2...i
i
i
ij
2
..ij YYYYnYY
9Profª Lisiane Selau
Tabela ANOVA
� Os cálculos associados à Análise de Variância são
apresentados em uma tabela, chamada de Tabela
de Análise de Variância ou Tabela ANOVA
(Analysis of Variance):
Fonte de Variação SQ GDL MQ Teste F
Entre Grupos SQG k-1 MQG MQG/MQR
Dentro Grupos SQR N-k MQR
Total SQT N-1
10Profª Lisiane Selau
� MQG = SQG/(k-1)⇒ Média de Quadrados dos Grupos
� MQR = SQR/(N-k) ⇒ Média de Quadrados dos
Resíduos
Média de Quadrados e Teste F
� Se não há diferença significativa entre os grupos:
E(MQG) = E (MQR)
� Para testar a hipótese referente ao efeito dos grupos
usamos a distribuição F que é o modelo adequado para
a distribuição do quociente de duas variâncias.
MQR
MQGFcalc =
Estima a variância 
entre os grupos
Estima a variância 
dentro dos grupos
11Profª Lisiane Selau
� Verifica-se que, se não há efeito dos grupos, esse
quociente é próximo de 1
� Se há efeito dos grupos esse quociente será
significativamente maior do que 1
� O limite de decisão é estabelecido usando os valores
tabelados da distribuição F :
kN,1k,F −−α
αααα : nível de significância
k-1 : graus de liberdade do numerador 
N-k : graus de liberdade do denominador
Teste de hipóteses
12Profª Lisiane Selau
� A hipótese nula µ1 = µ2 = ... = µk será rejeitada
se
F calculado > F tabelado =
Logo há diferença significativa entre os grupos
� Caso contrário, não há diferenças significativas
entre os grupos
kN,1k,F −−α
Teste de hipóteses
13Profª Lisiane Selau
Formulário para cálculo
onde:
T.. é a soma de todas as observações
Ti. é a soma das observações no grupo i
N..)T(TC 2= (Term o de C orreção)( )∑ −= TCYSQT 2ij( )∑ −= TCnTSQG i2.i( ) ( )∑ ∑ −=−= SQGSQTnTYSQR i2.i2ij
14Profª Lisiane Selau
Exemplo
Agente 0 5 10 15 20
43 47 55 50 52
47 53 50 54 49
46 52 54 54 54
45 50 55 55 55
45 49 52 56 55
46 51 53 52 56
47 55 55 57 56
44 48 56 57 53
42 49 59 55 57
48 50 56 60 60
49 47 57 56 57
44 49 54 58 55
Totais 546 600 656 664 659 T..= 3125
No.Obs. 12 12 12 12 12 N = 60
Médias 45,5 50,0 54,7 55,3 54,9 08,52Y
..
=
Os dados a seguir representam o alongamento de um
composto de borracha, em função da quantidade de
agente de processo adicionado durante a mistura.
15Profª Lisiane Selau
Tabela ANOVA
TC = T.. 2 / N = (3125) 2 / 60 = 162.760,42
SQT = Σ (Y
ij )
2
- TC = 163.971,00 - 162.760,42 = 1210,58
SQG = Σ (Ti.2 / ni) - TC
= [(546) 2 / 12] + ... + [(659) 2 / 12] - 162.760,42 = 875,33
SQR = SQT - SQG = 1210,58 - 875,33 = 335,25
Fonte SQ GDL MQ Teste F
Entre Grupos
(Agente de processo)
875,33 4 218,83 35,9
Dentro Grupos (Residual) 335,25 55 6,09
Total 1210,58 59
16Profª Lisiane Selau
Teste de Significância
� Como Fcalculado > Ftabelado = F 0,05; 4,55
35,9 > 2,55
� Conclui-se que existe diferença significativa de
alongamento entre os grupos, ou seja, a quantidade de
agente na mistura influencia significativamente o
alongamento
� Qual a melhor quantidade considerando qualidade 
e economia?
17Profª Lisiane Selau
Comparação múltipla de médias
� Calcular o desvio padrão das médias
� Calcular o limite de decisão
� Escrever as médias em ordem crescente ou 
decrescente e compará-las duas a duas. 
cx n/MQRs = = 2,47 / 3,46 = 0,71
onde nc = (n1 + n2 + ... + nk) / k
xd s3L ×= = 3 x 0,71 = 2,13
45,5 50,0 54,7 54,9 55,3
Y(1) Y(2) Y(3) Y(5) Y(4)
18Profª Lisiane Selau
� A diferença entre as médias será significativa se 
for maior que o Ld
� Usar barras contínuas sobre as médias que não 
diferem entre si
Y(2) - Y(1) = 50,0 - 45,5 = 4,5 > Ld = 2,13 Dif. Signif.
Y(3) - Y(2) = 54,7 - 50,0 = 4,7 > Ld = 2,13 Dif.Signif.
Y(5) - Y(3) = 54,9 - 54,7 = 0,2 < Ld = 2,13 Dif. Não Signif.
Y(4) - Y(5) = 55,3 - 54,9 = 0,4 < Ld = 2,13 Dif. Não Signif.
Y(1) Y(2) Y(3) Y(5) Y(4)
Comparação múltipla de médias
19Profª Lisiane Selau
Otimização
� A análise técnica deve acompanhar e complementar a
análise estatística.
� Na otimização devemos considerar o binômio qualidade
e custo. Os resultados estatísticos, em conjunto com a
análise gráfica dão suporte à tomada de decisão a
respeito do processo. Via deregra, o experimento revela
opções para a redução de custos e melhoria da
qualidade, simultaneamente.
� Como não existe diferença significativa entre as
quantidades de agente 10, 15 e 20, a quantidade ótima
de agente é 10 (dez) pois otimiza simultaneamente
qualidade e custos.
20Profª Lisiane Selau
Existem dois tipos de experimentos
� Fatores Controláveis a níveis fixos
� quando o efeito de cada nível é fixo, como no caso
em que os tratamentos são diferentes máquinas ou
diferentes temperaturas.
� Fatores Controláveis a níveis aleatórios
� quando o efeito de cada nível é aleatório, como no
caso em que os tratamentos são diferentes lotes de
produção, ou diferentes operadores escolhidos
aleatoriamente.
21Profª Lisiane Selau
Exemplo a níveis aleatórios
� Uma fábrica de embalagens de papel recebe a
matéria prima (papel) em rolos. É desejável que as
características dos rolos sejam homogêneas, de
modo a fornecerem papel com a mesma resistência
à tração.
� O engenheiro suspeita que além da variabilidade
inerente (dentro dos rolos) também possa haver uma
variação significativa entre os rolos. Medições de
resistência feitas em embalagens produzidas com
material proveniente de cinco rolos aleatoriamente
indicaram:
22Profª Lisiane Selau
Rolo Resistência
1 72 73 70 74 74 75 78 77 80 76
2 63 70 69 65 66 66 62 65 67 63
3 78 74 82 76 76 73 75
4 75 74 73 78 75 71 67 73
5 85 82 80 86 83 92 89 86
Cálculos iniciais:
Hipóteses
Ho: não há diferenças significativas entre os rolos σσσσττττ= 0
H1: há diferenças significativas entre os rolos σσσσττττ> 0
Rolo Ti. ni
.iY
1 749 10 74,90
2 656 10 65,60
3 534 7 76,29
4 586 8 73,25
5 683 8 85,38
T.. = 3208 N = 43 6074..Y ,=
Exemplo a níveis aleatórios
23Profª Lisiane Selau
Tabela ANOVA
TC = (T
..
)2 / N = (3208)2/43 = 239331,7
SQT = Σ( 2ijY ) - TC = 241476,0 - 239331,7 = 2144,28
SQG = Σ( 2
.iT /ni) - TC = [(749)2/10] + ... + [(683)2/8] - 239331,7
 = 1774,18
SQR = SQT - SQG = 2144,28 - 1774,18 = 370,10
Fonte SQ GLD MQ Teste F
Rolos 1774,18 4 443,54 45,54
Resíduos 370,10 38 9,74
Total 2144,28 42
Há diferenças significativas entre os rolos
F
calculado = 45,54 > F 0,05,4,38 = 2,618
24Profª Lisiane Selau
Estimativa dos componentes de variação
Variabilidade devida ao erro aleatório
Variabilidade devida aos tratamentos
(grupos)
� Conhecidos os componentes de variação, podemos
calcular a contribuição percentual de cada termo na
composição da variabilidade total:
( ) 222TOTALijYVar σ+σ=σ= τ
Percentual correspondente aos tratamentos:
2
TOTAL
2
 x 100
σ
στ
Percentual correspondente ao erro aleatório:
2
TOTAL
2
 x 100
σ
σ
σ2 = MQR
cc
2
2
n
MQRMQG
n
MQG −
=
σ−
=στ
25Profª Lisiane Selau
Os resultados indicam que 50,44 / 60,18 = 83,81 % da
variabilidade total se deve a diferenças entre rolos.
As causas dessas diferenças deveriam ser
investigadas e, na medida do possível, eliminadas.
Estimativa dos componentes de variação
σ 2 = MQR = 9,74
44,50
6,8
74,954,443
n
MQRMQG
c
2
=
−
=
−
=σ τ
18,6074,944,50222TOTAL =+=σ+σ=σ τ
26Profª Lisiane Selau
� Via de regra, a variabilidade devida aos grupos se deve a
causas especiais que podem e devem ser eliminadas.
� Por exemplo, diferenças entre máquinas podem ser devidas
a falta de manutenção apropriada ou diferenças de setup.
� Da mesma forma, diferenças entre lotes de produção podem
ser devidas à qualidade da matéria prima usada na produção
de cada lote. Nesse caso, deveriam ser investigados os
fornecedores ou as condições de estocagem.
� Já a variabilidade devida ao erro aleatório deve-se a causas
comuns, inerentes ao sistema em estudo.
� Para eliminar as causas comuns é preciso modificar o
sistema como um todo, o que pode não se justificar
economicamente
Otimização
27Profª Lisiane Selau
Exercício Proposto:
Quatro concentrações de catalisadores que podem afetar o
tempo de processo de uma mistura química estão sendo
investigados. Os seguintes tempos de misturas foram
obtidos:
28Profª Lisiane Selau
RESPOSTAS
� TC = T..2 / N = 59995,05
� Σ (Yij2) = 60085,8
� SQT = Σ(Yij2) - TC = 90,75
� SQG = Σ(Ti.2 / ni) - TC = 66,69
� SQR = SQT - SQG = 24,06
Fcalculado = 14,8 > Ftabelado= 3,24
⇓
O efeito dos 
catalisadores é 
significativo
⇒ O catalisador ótimo é o 3
(3 e 4 não dif. sig.), pois
otimiza o processo com relação
a qualidade e custos (menor
tempo de reação e menor
quantidade do catalisador.
Y(4) Y(3) Y(2) Y(1)
52,72 52,9 55,8 56,86
Sx = 0,55 nc = 5 Ld = 1,65
Y(3) - Y(4) = 0,18 < Ld � Dif. Ñ Signif.
Y(2) - Y(3) = 2,9 > Ld � Dif. Signif.
Y(1) - Y(2) = 1,06 < Ld � Dif. Ñ Signif.
29Profª Lisiane Selau
Exercício Proposto:
Com o objetivo de comparar um determinado índice
inflacionário em três regiões metropolitanas em um período
de cinco meses, você obteve os resultados apresentados a
seguir. Verifique, por meio de uma análise de variância, se
as médias são estatisticamente iguais ou não.
30Profª Lisiane Selau