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semana13-Funções vetoriais de uma variavel real. Parametrização.Limite e continuidade

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t→aα1(t),
lim
t→aα2(t), limt→aα3(t)
)
, se lim
t→aα1(t), limt→aα2(t) e limt→aα3(t)
existem.
Lembremos que o domı´nio de α e´ a intersec¸a˜o dos domı´nios
das func¸o˜es coordenadas.
DEFINIC¸A˜O DE CONTINUIDADE DE UMA FUNC¸A˜O
DE UMA VARIA´VEL REAL A VALORES EM R2 E
R
3
a. Seja α(t) = (α1(t),α2(t)) ∈ R2, α(t) e´ contı´nua em
t = a ∈ A ⇔ lim
t→aα(t) = α(a)⇔ α1(t) e α2(t) sa˜o contı´-
nuas em t = a.
b. Se α(t) = (α1(t),α2(t),α3(t)) ∈ R3, α(t) e´ contı´nua em
t = a ∈ A ⇔ lim
t→aα(t) = α(a)⇔ α1(t), α2(t) e α3(t) sa˜o
contı´nuas em t = a.
Dizemos que a func¸a˜o α(t) e´ contı´nua em A se α(t) e´
contı´nua para todo t ∈ A.
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Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
EXERCI´CIOS RESOLVIDOS
Exercı´cio 13.1
Descreva a imagem das seguintes func¸o˜es vetoriais:
a. α(t) = (2+ cost,3+ sent), t ∈ [0,2pi ]
b. β (t) = (3 cos t +1,2 sen t +5), t ∈ [0,2pi ]
Soluc¸a˜o:
a. As func¸o˜es coordenadas de α(t) sa˜o x= 2+cos t e y= 3+sent.
Neste caso, podemos facilmente eliminar o paraˆmetro t, isto e´,
(x−2)2 = cos2t e (y−3)2 = sen2t obtendo a equac¸a˜o (x−2)2+
(y− 3)2 = sen2t + cos2t = 1 apenas em termos das varia´veis
cartesianas, ou seja, (x−2)2 +(y−3)2 = 1 que e´ a equac¸a˜o de
uma circunfereˆncia de centro (2,3) e raio 1.
Observe que para t = 0: x(0) = 2+ cos0 = 3 e y(0) = 3+
sen0 = 3⇒ P0 = (3,3).
Para t =
pi
2
x
(pi
2
)
= 2+ cos pi
2
= 2 e y
(pi
2
)
= 3+ sen pi
2
=
3+1 = 4⇒ P1 = (2,4).
Para t = 2pi x(2pi) = 2+cos 2pi = 3 e y(2pi) = 3+sen 2pi = 3
⇒ P2 = (3,3).
A medida que t aumenta de 0 para 2pi , o ponto comec¸a em
P0 = (3,3) e termina no ponto P2 = (3,3). Note-se enta˜o que a
circunfereˆncia e´ percorrida no sentido anti-hora´rio conforme t
varia de 0 a 2pi .
b. As func¸o˜es coordenadas de β (t) sa˜o x = 3cos t + 1 e
y = 2sen t + 5. Neste caso, podemos facilmente eliminar o
paraˆmetro t. Note-se que
(
x−1
3
)2
= cos2t e
(
y−5
2
)2
=
sen2t, assim obtemos a equac¸a˜o (x−1)
2
9 +
(y−5)2
4
= 1, que e´ a
equac¸a˜o de uma elipse de centro (1,5), semi-eixo maior 3 e
semi-eixo menor 2.
Observe que para t = 0: x(0) = 3cos 0+1 = 4 e
y(0) = 2sen 0+5 = 5⇒ P0 = (4,5).
Para t =
pi
2
x
(pi
2
)
= 3cos pi
2
+1 = 1 e
y
(pi
2
)
= 2sen
pi
2
+5 = 7⇒ P1 = (1,7).
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SE
M
A
N
A
13
2
M
´ O
D
U
LO
2
Para t = 2pi x(2pi) = 3cos 2pi +1 = 4 e
y(2pi) = 2sen 2pi +5 = 5⇒ P2 = (4,5).
A medida que t aumenta de 0 para 2pi , o ponto comec¸a em
P0 = (4,5) e termina no ponto P2 = (4,5). Note-se enta˜o que a
elipse e´ percorrida no sentido anti-hora´rio conforme t varia de
0 a 2pi .
Exercı´cio 13.2
Determine uma parametrizac¸a˜o para as curvas seguintes:
a. a reta 5x+3y = 6;
b. a para´bola y−4 =−(x+5)2;
c. a para´bola x−4 =−(y+5)2;
d. a circunfereˆncia (x−1)2 +(y+2)2 = 9;
e. a circunfereˆncia x2 + y2 +2x−4y+1 = 0;
f. a elipse (x+3)
2
4
+
(y−2)2
1
= 1.
Soluc¸a˜o: Lembremos do Exemplo 13.5 que se C e´ uma curva no
plano xy, gra´fico de uma func¸a˜o contı´nua y= f (x), x∈ I, enta˜o fazendo
x = t e y = f (t) obtemos uma parametrizac¸a˜o natural de C, isto e´,
α(t) = (t, f (t)) t ∈ I. Usando este fato para os itens a e b, temos:
a. Como 5x+ 3y = 6, enta˜o y = 13(6− 5x). Fazendo x = t, enta˜o
y =
1
3
(6−5t). Portanto, uma parametrizac¸a˜o da reta e´ dada por
α(t) =
(
t,
1
3(6−5t)
)
, t ∈ R.
b. Como y− 4 = −(x + 5)2, enta˜o y = 4− (x + 5)2. Fazendo
x = t, enta˜o y = 4− (t + 5)2. Portanto, uma parametrizac¸a˜o
da para´bola e´ dada por β (t) = (t,4− (t +5)2), t ∈ R.
Analogamente, sabemos que se C e´ uma curva no plano xy, gra´fico
de uma func¸a˜o contı´nua x = g(y), y ∈ I, enta˜o fazendo y = t e x = g(t)
obtemos uma parametrizac¸a˜o natural de C, isto e´, γ(t) = (g(t), t) t ∈ I.
Usando este fato para o item c, temos:
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Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
c. Como x− 4 = −(y + 5)2, enta˜o x = 4− (y + 5)2. Fazendo
y = t, enta˜o x = 4− (t + 5)2. Portanto, uma parametrizac¸a˜o
da para´bola e´ dada por γ(t) = (4− (t +5)2, t), t ∈ R.
d. Sabemos que uma parametrizac¸a˜o para a circunfereˆncia
(x−h)2+(y−k)2 = a2 e´ dada por α(t)= (h+a cos t,k+a sen t),
0≤ t ≤ 2pi . Assim, para a circunfereˆncia (x−1)2+(y+2)2 = 9,
temos h = 1, k = −2 e a = 3. Logo, α(t) = (1+ 3cos t,−2+
3sen t), 0≤ t ≤ 2pi , e´ uma parametrizac¸a˜o para a circunfereˆncia
dada.
e. Dada a equac¸a˜o da circunfereˆncia x2 + y2 + 2x− 4y + 1 = 0,
completando quadrados temos (x2 +2x+1)+(y2−4y+4) = 4
ou (x+1)2 +(y−2)2 = 22. Sabemos que uma parametrizac¸a˜o
para a circunfereˆncia (x − h)2 + (y − k)2 = a2 e´ dada por
α(t) = (h + acos t,k + asen t), 0 ≤ t ≤ 2pi . Assim h = −1,
k = 2, a = 2 e uma parametrizac¸a˜o da circunfereˆncia dada re-
sultam α(t) = (−1+2cos t,2+2sen t), 0≤ t ≤ 2pi .
f. Sabemos que uma parametrizac¸a˜o para a elipse
(
x−h
a
)2
+(
y− k
b
)2
= 1 e´ dada por α(t) = (h + acos t,k + bsen t),
0 ≤ t ≤ 2pi . Na elipse (x+3)
2
4
+
(y−2)2
1
= 1 ou(
x+3
2
)2
+
(
y−2
1
)2
= 1, temos h =−3, k = 2, a = 2, b = 1.
Portanto, uma parametrizac¸a˜o para a elipse dada e´:
α(t) = (−3+2cos t,2+ sen t), 0≤ t ≤ 2pi .
Exercı´cio 13.3
Determine os pontos de continuidade das seguintes func¸o˜es ve-
toriais:
a. α(t) =
(
cos t
t−1 , ln(t
2+1), 3
√
t−4
)
b. β (t) = (cos2t + sen2t,esent ,senet)
c. γ(t) =
(√
t, 3
√
t−3, t
2−1√
t−1
)
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SE
M
A
N
A
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2
M
´ O
D
U
LO
2
Soluc¸a˜o: No´s sabemos que uma func¸a˜o vetorial α(t)= (x(t),y(t),z(t))
e´ contı´nua em a se, e somente se, cada uma das func¸o˜es componentes
x(t), y(t) e z(t) sa˜o contı´nuas em a. Assim, os pontos de continuidade
de α(t) sa˜o os pontos de continuidade que sa˜o comuns a todas suas
func¸o˜es componentes. Logo,
a. Como α(t) =
(
cos t
t−1︸ ︷︷ ︸
x(t)
, ln(t2 +1)︸ ︷︷ ︸
y(t)
, 3
√
t−4︸ ︷︷ ︸
z(t)
)
e
x(t) =
cos t
t−1 e´ contı´nua em R−{1}
y(t) = ln(t2 +1) e´ contı´nua em todo R
z(t) = 3
√
t−4 e´ contı´nua em todo R.
Lembrando que o domı´nio de α e´ a intersec¸a˜o dos domı´nios das
func¸o˜es coordenadas, resulta que α(t) e´ contı´nua em R−{1}.
b. Como β (t) = (cos2t + sen2t︸ ︷︷ ︸
x(t)
,esen t︸︷︷︸
y(t)
,sen et︸ ︷︷ ︸
z(t)
)
e
x(t) = cos2t + sen2t = 1 e´ contı´nua em todo R
y(t) = esen t e´ contı´nua em todo R
z(t) = senet e´ contı´nua em todo R.
Lembrando que o domı´nio de β e´ a intersec¸a˜o dos domı´nios das
func¸o˜es coordenadas, resulta que β (t) e´ contı´nua em todo R.
c. Como γ(t) =
( √
t︸︷︷︸
x(t)
, 3
√
t−3︸ ︷︷ ︸
y(t)
,
t2−1√
t−1︸ ︷︷ ︸
z(t)
)
e
x(t) =
√
t e´ contı´nua em todos os pontos t ∈ [0,+∞)
y(t) = 3
√
t−3 e´ contı´nua em todos os pontos t ∈ R
z(t) =
t2−1√
t−1 e´ contı´nua em todos os pontos t ∈ (1,+∞).
Lembrando que o domı´nio de γ e´ a intersec¸a˜o dos domı´nios
das func¸o˜es coordenadas, resulta que γ(t) e´ contı´nua em todo
t ∈ (1,+∞).
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Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
PASSO A PASSO DOS EXERCI´CIOS PROPOSTOS
NO CADERNO DIDA´TICO
Exercı´cio 13.4
Fac¸a um esboc¸o das seguintes curvas:
a. α(t) = (2t,3t+1) t ∈ [0,1]
b. γ(t) = (5cos2t,−2sen2t) t ∈
[
0, pi
2
]
c. δ (t) = (t2−1, t3+1) t ∈ [−2,2]
(Aula 31 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no8: a, c modifi-
cado e d, respectivamente)
� Do seu caderno dida´tico voceˆ conhece as func¸o˜es vetoriais
cujas

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