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semana13-Funções vetoriais de uma variavel real. Parametrização.Limite e continuidade

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Semana
FUNC¸O˜ES VETORIAIS DE UMA VARIA´VEL REAL.
PARAMETRIZAC¸O˜ES. LIMITE E CONTINUIDADE
13
FUNC¸A˜O DE UMA VARIA´VEL REAL A VALORES
EM R2. CURVAS EM R2.
Definic¸a˜o 13.1
Uma “func¸a˜o vetorial de uma varia´vel real a valores em R2”
e´ uma func¸a˜o α : A⊂R→R2, onde A e´ um intervalo ou uma
unia˜o de intervalos. Uma tal func¸a˜o associa a cada real t ∈ A
um u´nico vetor
α(t) = (α1(t), α2(t)), t ∈ A ou
= α1(t)~i+α2(t)~j, t ∈ A
onde ~i = (1,0), ~j = (0,1) e α1, α2 sa˜o func¸o˜es reais de
uma varia´vel real, definidas para t ∈ A, denominadas func¸o˜es
coordenadas ou func¸o˜es componentes de α . O conjunto ima-
gem de α , denotado por α(A), e´
α(A) = {α(t) ∈ R2 | t ∈ A}= {(α1(t),α2(t)) ∈ R2 | t ∈ A}
= {(x,y) ∈ R2 | x = α1(t), y = α2(t), t ∈ A}
e e´ chamado tambe´m de trac¸o, curva ou trajeto´ria da func¸a˜o
α .
Figura 13.1
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Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
� i. O vetor α(t) pode ser representado geometricamente
pelo raio vetor −→OP, onde P = (α1(t), α2(t)). Ver
Figura 13.2.
Figura 13.2
ii. Usa-se dizer que a func¸a˜o vetorial
α(t) = (α1(t), α2(t)) ∈ R2, t ∈ A
e´ uma “parametrizac¸a˜o” da curva C, que e´ imagem
da func¸a˜o α .
iii. As equac¸o˜es C :
{
x = α1(t)
y = α2(t)
, t ∈ A, sa˜o chamadas
equac¸o˜es parame´tricas da curva C ou imagem de
α . A varia´vel t e´ denominada “paraˆmetro”.
ELIMINANDO O PARAˆMETRO
Muitas vezes temos as equac¸o˜es parame´tricas de uma curva
C e queremos encontrar a equac¸a˜o cartesiana que representa o
gra´fico dessa curva.
Encontrar uma “equac¸a˜o cartesiana” que represente o gra´fi-
co de um conjunto de equac¸o˜es parame´tricas denomina-se
eliminac¸a˜o do paraˆmetro. Assim, se eliminarmos o paraˆmentro
nas equac¸o˜es dadas em (iii), obteremos uma expressa˜o cartesia-
na da curva.
� i. Note-se que as imagens de x e y dadas pelas equa-
c¸o˜es parame´tricas podem ser alteradas pela mudanc¸a
para a forma cartesiana. Neste caso, o domı´nio da
equac¸a˜o cartesiana devera´ ser ajustado de tal forma
que seu gra´fico seja igual ao gra´fico das equac¸o˜es
parame´tricas.
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ii. A eliminac¸a˜o do paraˆmetro e´ uma ferramenta usada
no esboc¸o de curvas. Se as equac¸o˜es parame´tricas
representam a trajeto´ria de um objeto em movimento,
somente o gra´fico na˜o e´ suficiente para descrever o
movimento do objeto. Precisamos ainda das equa-
c¸o˜es parame´tricas para saber a posic¸a˜o, a direc¸a˜o e a
velocidade em um dado instante.
PARAMETRIZAC¸A˜O DE CURVAS
Suponha agora que temos a equac¸a˜o cartesiana que repre-
senta o gra´fico de uma curva C e queremos encontrar uma func¸a˜o
vetorial cuja imagem seja o gra´fico da curva.
Encontrar uma func¸a˜o a valores vetoriais cuja imagem seja
o dado gra´fico de uma curva C, denomina-se parametrizar este
gra´fico ou parametrizar a curva C.
Note-se que tal representac¸a˜o na˜o e´ u´nica. Uma curva C
pode ser parametrizada de muitas maneiras diferentes, isto e´, ha´
muitas func¸o˜es vetoriais que tem a mesma curva imagem.
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Exemplo 13.1
Seja σ : A⊂ R→ R2 a func¸a˜o vetorial de uma varia´vel real
a valores em R2 definida por t → σ(t) = (t, t), t ∈ A = [0,4].
Figura 13.3
Enta˜o σ(t) = (t, t) 0≤ t ≤ 4 e´ uma parametrizac¸a˜o da curva
ou imagem de σ , onde σ1(t) = t, σ2(t) = t sa˜o as func¸o˜es com-
ponentes de σ .
C :
∣∣∣∣ x = σ1(t) = ty = σ2(t) = t , t ∈A= [0,4], sa˜o as equac¸o˜es parame´tricas
da curva C e t e´ o paraˆmetro.
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Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
Eliminando-se o paraˆmetro t das equac¸o˜es parame´tricas,
C :
{
x = t
y = t t ∈ [0,4] para obter uma expressa˜o cartesiana, re-
sulta que x = t = y ⇒ x = y. Obtemos assim uma equac¸a˜o
apenas em termos das varia´veis cartesianas: y = x.
A equac¸a˜o cartesiana y = x e´ definida para todos os valores
de x. Mas das equac¸o˜es parame´tricas sabemos que t ∈ [0,4]. Isto
implica que devemos ajustar o domı´nio da equac¸a˜o cartesiana
resultante. Como x = t ∈ [0,4]⇒ x ∈ [0,4].
Assim, obtemos C : x = y, 0 ≤ x ≤ 4 como uma equac¸a˜o
cartesiana da curva dada.
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Exemplo 13.2
Seja L a reta em R2 que passa pelo ponto P0 = (x0,y0) e e´
paralela ao vetor na˜o nulo −→V = (v1,v2),
Figura 13.4
Note-se que P = (x,y) ∈ L ⇔ P = P0 + t~V , t ∈ R. Isto e´,
(x,y) = (x0,y0)+ t(v1,v2) t ∈ R
(x,y) = (x0 + tv1,y0 + tv2) t ∈ R .
Logo, uma parametrizac¸a˜o de L e´ α(t) = (x0 + tv1,y0 + tv2)
t ∈ R. Observe que as func¸o˜es coordenadas sa˜o func¸o˜es afins.
As equac¸o˜es parame´tricas de L sa˜o
{
x = x0 + tv1
y = y0 + tv2
t ∈ R.
Eliminando o paraˆmetro nas equac¸o˜es parame´tricas de L,
com o intuito de encontrar uma expressa˜o cartesiana de L.
Suponha v1 6= 0. Isolando t na primeira equac¸a˜o, temos
x− x0
v1
= t. Substituindo o valor de t na segunda equac¸a˜o, ob-
temos y = y0 +
(
x− x0
v1
)
v2, enta˜o y = y0 +
v2
v1
(x− x0) e´ uma
expressa˜o cartesiana da reta.
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� i. Se P0 = (x0,y0) e P1 = (x1,y1) sa˜o dois pontos de L,
o vetor
−→V que e´ um vetor paralelo ao vetor que passa
por P0 e P1 pode ser determinado por
−→V = −−→P0P1 =
P1−P0 = (x1− x0,y1− y0).
ii. Na parametrizac¸a˜o α(t) = (x0 + t(x1 − x0),y0 +
t(y1− y0)), se restringirmos o domı´nio de t ao in-
tervalo [0,1] resulta a parametrizac¸a˜o do segmento
de reta que une P0 = (x0,y0) a P1 = (x1,y1).
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Exemplo 13.3
Seja L o segmento de reta que une o ponto P0 = (3,1) ao
ponto P1 = (4,4). Apresente uma parametrizac¸a˜o para L.
Soluc¸a˜o:
Figura 13.5
Do Exemplo 13.2 e das observac¸o˜es dadas em 12.3 segue que uma
parametrizac¸a˜o para o segmento dado e´
(x,y) = (x0,y0)+ t(P1−P0), t ∈ [0,1]
(x,y) = (3,1)+ t(1,3), t ∈ [0,1]
(x,y) = (3+ t,1+3t), t ∈ I = [0,1]
Logo, uma parametrizac¸a˜o para L e´ dada por L : σ(t) = (3+ t,1+3t),
t ∈ A = [0,1].
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Exemplo 13.4
Seja C : y = f (x) ∀x ∈ A o gra´fico de uma func¸a˜o contı´nua
f . Uma parametrizac¸a˜o natural (ou trivial ou simples) de C e´
dada fazendo x = t e y = f (t), isto e´, C : σ(t) = (t, f (t)), t ∈ A.
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Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
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Exemplo 13.5
Usando a parametrizac¸a˜o natural, ache uma parametrizac¸a˜o
das seguintes curvas:
a. Reta. C : 3x+4y = 2
b. Para´bola. C : y−2− x2 = 0
Soluc¸a˜o:
a. C : 3x + 4y = 2 ⇒ C : y = 1
4
(2−3x)︸ ︷︷ ︸
f (x)
. Fazendo x = t e
y = f (t) = 1
4
(2−3t) temos a seguinte parametrizac¸a˜o para C:
C : σ(t) =
(
t,
1
4
(2−3t)
)
, t ∈ R
b. C : y−2−x2 ⇒C : y= 2+ x2︸ ︷︷ ︸
f (x)
. Fazendo x= t e y= f (t) = 2+x2
temos a seguinte parametrizac¸a˜o para C:
C : σ(t) = (t,2+ t2), t ∈ R
�
�
�
�
Exemplo 13.6
Seja a circunfereˆncia no plano xy de centro na origem e raio
a > 0.
Figura 13.6
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Da Figura 13.6 e´ fa´cil ver que no triaˆngulo retaˆngulo∣∣∣∣∣∣∣
cos t =
x
a
sen t =
y
a
, 0≤ t ≤ 2pi .
Logo,
∣∣∣∣ x = acosty = asen t , 0≤ t ≤ 2pi , sa˜o as equac¸o˜es parame´-
tricas de C.
Portanto, uma parametrizac¸a˜o desta circunfereˆncia e´ dada
por:
C : σ(t) = (acost,asent) t ∈ [0,2pi ].
Eliminando o paraˆmetro t nas equac¸o˜es parame´tricas de C
resulta que
x2 + y2 = a2cos2t +a2sen2t= a2(cos2t + sen2t) = a2.
Logo, x2 + y2 = a2 representa uma equac¸a˜o cartesiana de C.
Note-se que a circunfereˆncia e´ percorrida no sentido anti-hora´rio
conforme t varia de 0 a 2pi .
�
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Exemplo 13.7
Mostre que uma parametrizac¸a˜o para a circunfereˆncia
(x−h)2 +(y− k)2 = a2, a > 0, e´ dada por α(t) = (h+a cos t,
k+a sen t), 0≤ t ≤ 2pi .
Soluc¸a˜o: Seja
C : (x−h)2 +(y− k)2 = a2 (13.1)
Fac¸a X = x− h e Y = y− k. Substituindo estas igualdades em
13.1, temos C : X2+Y 2 = a2. Isto e´, uma circunfereˆncia com equac¸o˜es
parame´tricas:
C :
∣∣∣∣ X = a cos tY = a sen t t ∈ [0,2pi] ⇒ C :
∣∣∣∣ x−h = a cos ty− k = a sen t t ∈ [0,2pi]
⇒ C :
∣∣∣∣ x = h+a cos ty = k+a sen t t ∈ [0,2pi].
Logo, uma parametrizac¸a˜o de C e´ α(t) = (h+a cos t,k+a sen t),
0≤ t ≤ 2pi .
Note-se que a circunfereˆncia e´ percorrida no sentido anti-hora´rio
conforme t varia de 0 a 2pi .
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Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
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Exemplo 13.8
Deˆ uma parametrizac¸a˜o da elipse C : x
2
a2
+
y2
b2 = 1 (a > 0 e
b > 0).
Soluc¸a˜o:
C : x
2
a2
+
y2
b2 = 1 ⇒ C :
( x
a
)2
+
(y
b
)2
= 1 (13.2)
Seja X = x
a
e Y =
y
b . Substituindo estas igualdades em 13.2, temos
C : X2+Y 2 = 1, isto e´, uma circunfereˆncia com equac¸o˜es parame´tricas:
C :
∣∣∣∣ X = 1 cos tY = 1 sen t t ∈ [0,2pi] ⇒ C :
∣∣∣∣∣∣∣
x
a
= 1 cos t
y
b = 1 sen t
t ∈ [0,2pi]
⇒ C :
∣∣∣∣ x = a cos ty = b sen t t ∈ [0,2pi].
Finalmente, uma parametrizac¸a˜o da elipse C : x
2
a2
+
y2
b2 = 1 (a > 0
e b > 0) e´ dada por C : σ(t) = (a cos t,b sen t), t ∈ [0,2pi]. Note-se que
a elipse e´ percorrida no sentido anti-hora´rio conforme t varia de 0 a
2pi .
�
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�
�
Exemplo 13.9
Mostre que uma parametrizac¸a˜o para a elipse
(
x−h
a
)2
+(
y− k
b
)2
= 1 (a > 0 e b > 0) e´ dada por α(t) = (h+a cos t,
k+b sen t), 0≤ t ≤ 2pi . (Exercı´cio)
�
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Exemplo 13.10
No Exemplo 31.13 do seu caderno dida´tico prova-se que
uma parametrizac¸a˜o do ramo direito da hipe´rbole dada por
C : x2− y2 = 1 e´ α(t) = (cosht,senht), t ∈ R, e do outro ramo
e´ β (t) = (−cosh t,senht), t ∈ R.
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FUNC¸A˜O DE UMA VARIA´VEL REAL A VALORES
EM R3. CURVAS EM R3.
Definic¸a˜o 13.2
Uma “func¸a˜o vetorial de uma varia´vel real a valores em R3”
e´ uma func¸a˜o α : A⊂R→R3, onde A e´ um intervalo ou uma
unia˜o de intervalos. Uma tal func¸a˜o associa a cada real t ∈ A
um u´nico vetor
α(t) = (α1(t),α2(t),α3(t)) t ∈ A ou
= α1(t)~i+α2(t)~j+α3~k, t ∈ A
onde~i = (1,0,0), ~j = (0,1,0),~k = (0,0,1) e α1, α2, α3 sa˜o
func¸o˜es reais de uma varia´vel real definidas para t ∈ A, de-
nominadas func¸o˜es coordenadas ou func¸o˜es componentes de
α . O conjunto imagem de α denotado por α(A) e´
α(A) = {α(t) ∈ R3 | t ∈ A}= {(α1(t),α2(t),α3(t) | t ∈ A}
= {(x,y,z) ∈ R3 | x = α1(t),y = α2(t), z = α3(t), t ∈ A}
e e´ chamado tambe´m de trac¸o, curva ou trajeto´ria da func¸a˜o
α .
� i. O vetor α(t) pode ser representado geometricamente
pelo raio vetor −→OP, onde P = (α1(t), α2(t), α3(t)).
Ver Figura 13.7.
Figura 13.7
ii. Usa-se dizer que a func¸a˜o vetorial α(t) = (α1(t),
α2(t), α3(t)) t ∈ A e´ uma “parametrizac¸a˜o” da
curva C que e´ imagem da func¸a˜o α .
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Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
iii. As equac¸o˜es C :


x = α1(t)
y = α2(t)
z = α3(t)
, t ∈ A, sa˜o chamadas
equac¸o˜es parame´tricas da curva C ou imagem de
α; a varia´vel t e´ denominada “paraˆmetro”.
iv. Note-se que uma curva C em R3 pode ser parametri-
zada de muitas maneiras diferentes, isto e´, ha´ muitas
func¸o˜es vetoriais que tem a mesma curva imagem.
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Exemplo 13.11
Seja L a reta em R3 que passa pelo ponto P0 = (x0,y0,z0) e
paralela ao vetor −→V = (v1,v2,v3) na˜o nulo.
Note-se que P = (x,y,z) ∈ L⇔ P = P0 + t−→V , t ∈ R.
Isto e´, (x,y,z) = (x0,y0,z0)+ t(v1,v2,v3) t ∈ R
(x,y,z) = (x0 + tv1,y0 + tv2,z0+ tv3) t ∈ R
Logo, uma parametrizac¸a˜o de L e´
α(t) = (x0 + tv1,y0 + tv2,z0 + tv3) t ∈ R.
As equac¸o˜es parame´tricas de L sa˜o


x = x0 + tv1
y = y0 + tv2
z = z0 + tv3
t ∈R.
Eliminando o paraˆmetro nas equac¸o˜es parame´tricas, obtemos
isolando t em cada equac¸a˜o: x− x0
v1
= t,
y− y0
v2
= t e
z− z0
v3
= t,
com v1, v2, v3 6= 0. Igualando os valores de t, obtemos a ex-
pressa˜o cartesiana da reta L : x− x0
v1
=
y− y0
v2
=
z− z0
v3
.
� i. Se P0 = (x0,y0,z0) e P1 = (x1,y1,z1) sa˜o dois pon-
tos de L, o vetor −→V que e´ um vetor paralelo ao ve-
tor que passa por P0 e P1 pode ser determinado por−→V =−−→P0P1 = P1−P0 = (x1− x0,y1− y0,z1− z0).
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ii. Na parametrizac¸a˜o α(t) = (x0 + t(x1 − x0),y0 +
t(y1−y0),z0+t(z1−z0)), se restringirmos o domı´nio
de t ao intervalo [0,1] resulta a parametrizac¸a˜o
do segmento de reta que une P0 = (x0,y0,z0) a
P1 = (x1,y1,z1).
�
�
�
�
Exemplo 13.12
Seja L o segmento de reta no espac¸o que une o ponto
P0 =(3,1,2) ao ponto P1 =(4,3,5). Apresente uma parametrizac¸a˜o
para L.
Soluc¸a˜o:
Figura 13.8
Das observac¸o˜es dadas em 13.11 segue que
P = P0 + t(P1−P0), t ∈ [0,1]
(x,y,z) = (3,1,2)+ t(1,2,3), t ∈ [0,1]
(x,y,z) = (3+ t,1+2t,2+3t), t ∈ [0,1]
Logo, uma parametrizac¸a˜o para L e´ dada por
L : σ(t) = (3+ t,1+2t,2+3t), t ∈ A = [0,1].
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Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
�
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Exemplo 13.13
A curva α(t) =
(√
3
2
cos t,1,
√
3
2
sen t
)
, t ∈ A = [0,pi ], toma
valores no espac¸o tridimensional, mas e´ uma curva plana. Isso
porque satisfaz a equac¸a˜o y = 1. A projec¸a˜o dessa curva no
plano corresponde a` curva β (t) =
(√
3
2
cos t,
√
3
2
sen t
)
, t ∈ A =
[0,pi ]. Sua imagem no plano citado e´ a semicircunfereˆncia
x2 + z2 =
3
4
, z ≥ 0. Observe que α(0) =
(√
3
2
,1,0
)
e
α(pi) =
(
−
√
3
2
,1,0
)
.
O esboc¸o da curva e o sentido de percurso quando o paraˆmetro
aumenta e´ mostrado na Figura 13.9. Note-se que a curva C e´ a
intersec¸a˜o do semi-elipso´ide x2 + y
2
4
+ z2 = 1 z ≥ 0 com o
plano y = 1.
Figura 13.9
�
�
�
�
Exemplo 13.14
A curva α(t) = (2 cos t,2 sen t,3), t ∈ I = [0,2pi ], toma va-
lores no espac¸o tridimensional, mas e´ uma curva plana. Isso por-
que satisfaz a equac¸a˜o z = 3. A projec¸a˜o dessa curva no plano
XY corresponde a` curva β (t) = (2 cos t,2 sen t), t ∈ I = [0,2pi ].
Sua imagem no plano citado e´ a circunfereˆncia x2 +y2 = 4. Ob-
serve que α(0)= (2,0,3), α(pi)= (−2,0,3) e α(2pi)= (2,0,3).
O esboc¸o da curva e´ mostrado na Figura 13.10. Note-se que o
sentido de percurso quando visto de cima e´ anti-hora´rio na me-
dida que o paraˆmetro aumenta. Observe tambe´m que neste caso
a curva C e´ a intersec¸a˜o do cilindro x2 + y2 = 4 com o plano
z = 3.
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Figura 13.10
DEFINIC¸A˜O DE LIMITE DE UMA FUNC¸A˜O DE UMA
VARIA´VEL REAL A VALORES EM R2 E R3
a. Se α(t)= (α1(t),α2(t)). Definimos limite de α(t) quando
t se aproxima de a como: lim
t→aα(t)=
(
lim
t→a α1(t), limt→aα2(t)
)
,
se lim
t→aα1(t) e limt→aα2(t) existem.
b. Se α(t) = (α1(t),α2(t),α3(t)). Definimos limite de α(t)
quando t se aproxima de a como: lim
t→aα(t) =
(
limt→aα1(t),
lim
t→aα2(t), limt→aα3(t)
)
, se lim
t→aα1(t), limt→aα2(t) e limt→aα3(t)
existem.
Lembremos que o domı´nio de α e´ a intersec¸a˜o dos domı´nios
das func¸o˜es coordenadas.
DEFINIC¸A˜O DE CONTINUIDADE DE UMA FUNC¸A˜O
DE UMA VARIA´VEL REAL A VALORES EM R2 E
R
3
a. Seja α(t) = (α1(t),α2(t)) ∈ R2, α(t) e´ contı´nua em
t = a ∈ A ⇔ lim
t→aα(t) = α(a)⇔ α1(t) e α2(t) sa˜o contı´-
nuas em t = a.
b. Se α(t) = (α1(t),α2(t),α3(t)) ∈ R3, α(t) e´ contı´nua em
t = a ∈ A ⇔ lim
t→aα(t) = α(a)⇔ α1(t), α2(t) e α3(t) sa˜o
contı´nuas em t = a.
Dizemos que a func¸a˜o α(t) e´ contı´nua em A se α(t) e´
contı´nua para todo t ∈ A.
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Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
EXERCI´CIOS RESOLVIDOS
Exercı´cio 13.1
Descreva a imagem das seguintes func¸o˜es vetoriais:
a. α(t) = (2+ cost,3+ sent), t ∈ [0,2pi ]
b. β (t) = (3 cos t +1,2 sen t +5), t ∈ [0,2pi ]
Soluc¸a˜o:
a. As func¸o˜es coordenadas de α(t) sa˜o x= 2+cos t e y= 3+sent.
Neste caso, podemos facilmente eliminar o paraˆmetro t, isto e´,
(x−2)2 = cos2t e (y−3)2 = sen2t obtendo a equac¸a˜o (x−2)2+
(y− 3)2 = sen2t + cos2t = 1 apenas em termos das varia´veis
cartesianas, ou seja, (x−2)2 +(y−3)2 = 1 que e´ a equac¸a˜o de
uma circunfereˆncia de centro (2,3) e raio 1.
Observe que para t = 0: x(0) = 2+ cos0 = 3 e y(0) = 3+
sen0 = 3⇒ P0 = (3,3).
Para t =
pi
2
x
(pi
2
)
= 2+ cos pi
2
= 2 e y
(pi
2
)
= 3+ sen pi
2
=
3+1 = 4⇒ P1 = (2,4).
Para t = 2pi x(2pi) = 2+cos 2pi = 3 e y(2pi) = 3+sen 2pi = 3
⇒ P2 = (3,3).
A medida que t aumenta de 0 para 2pi , o ponto comec¸a em
P0 = (3,3) e termina no ponto P2 = (3,3). Note-se enta˜o que a
circunfereˆncia e´ percorrida no sentido anti-hora´rio conforme t
varia de 0 a 2pi .
b. As func¸o˜es coordenadas de β (t) sa˜o x = 3cos t + 1 e
y = 2sen t + 5. Neste caso, podemos facilmente eliminar o
paraˆmetro t. Note-se que
(
x−1
3
)2
= cos2t e
(
y−5
2
)2
=
sen2t, assim obtemos a equac¸a˜o (x−1)
2
9 +
(y−5)2
4
= 1, que e´ a
equac¸a˜o de uma elipse de centro (1,5), semi-eixo maior 3 e
semi-eixo menor 2.
Observe que para t = 0: x(0) = 3cos 0+1 = 4 e
y(0) = 2sen 0+5 = 5⇒ P0 = (4,5).
Para t =
pi
2
x
(pi
2
)
= 3cos pi
2
+1 = 1 e
y
(pi
2
)
= 2sen
pi
2
+5 = 7⇒ P1 = (1,7).
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Para t = 2pi x(2pi) = 3cos 2pi +1 = 4 e
y(2pi) = 2sen 2pi +5 = 5⇒ P2 = (4,5).
A medida que t aumenta de 0 para 2pi , o ponto comec¸a em
P0 = (4,5) e termina no ponto P2 = (4,5). Note-se enta˜o que a
elipse e´ percorrida no sentido anti-hora´rio conforme t varia de
0 a 2pi .
Exercı´cio 13.2
Determine uma parametrizac¸a˜o para as curvas seguintes:
a. a reta 5x+3y = 6;
b. a para´bola y−4 =−(x+5)2;
c. a para´bola x−4 =−(y+5)2;
d. a circunfereˆncia (x−1)2 +(y+2)2 = 9;
e. a circunfereˆncia x2 + y2 +2x−4y+1 = 0;
f. a elipse (x+3)
2
4
+
(y−2)2
1
= 1.
Soluc¸a˜o: Lembremos do Exemplo 13.5 que se C e´ uma curva no
plano xy, gra´fico de uma func¸a˜o contı´nua y= f (x), x∈ I, enta˜o fazendo
x = t e y = f (t) obtemos uma parametrizac¸a˜o natural de C, isto e´,
α(t) = (t, f (t)) t ∈ I. Usando este fato para os itens a e b, temos:
a. Como 5x+ 3y = 6, enta˜o y = 13(6− 5x). Fazendo x = t, enta˜o
y =
1
3
(6−5t). Portanto, uma parametrizac¸a˜o da reta e´ dada por
α(t) =
(
t,
1
3(6−5t)
)
, t ∈ R.
b. Como y− 4 = −(x + 5)2, enta˜o y = 4− (x + 5)2. Fazendo
x = t, enta˜o y = 4− (t + 5)2. Portanto, uma parametrizac¸a˜o
da para´bola e´ dada por β (t) = (t,4− (t +5)2), t ∈ R.
Analogamente, sabemos que se C e´ uma curva no plano xy, gra´fico
de uma func¸a˜o contı´nua x = g(y), y ∈ I, enta˜o fazendo y = t e x = g(t)
obtemos uma parametrizac¸a˜o natural de C, isto e´, γ(t) = (g(t), t) t ∈ I.
Usando este fato para o item c, temos:
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Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
c. Como x− 4 = −(y + 5)2, enta˜o x = 4− (y + 5)2. Fazendo
y = t, enta˜o x = 4− (t + 5)2. Portanto, uma parametrizac¸a˜o
da para´bola e´ dada por γ(t) = (4− (t +5)2, t), t ∈ R.
d. Sabemos que uma parametrizac¸a˜o para a circunfereˆncia
(x−h)2+(y−k)2 = a2 e´ dada por α(t)= (h+a cos t,k+a sen t),
0≤ t ≤ 2pi . Assim, para a circunfereˆncia (x−1)2+(y+2)2 = 9,
temos h = 1, k = −2 e a = 3. Logo, α(t) = (1+ 3cos t,−2+
3sen t), 0≤ t ≤ 2pi , e´ uma parametrizac¸a˜o para a circunfereˆncia
dada.
e. Dada a equac¸a˜o da circunfereˆncia x2 + y2 + 2x− 4y + 1 = 0,
completando quadrados temos (x2 +2x+1)+(y2−4y+4) = 4
ou (x+1)2 +(y−2)2 = 22. Sabemos que uma parametrizac¸a˜o
para a circunfereˆncia (x − h)2 + (y − k)2 = a2 e´ dada por
α(t) = (h + acos t,k + asen t), 0 ≤ t ≤ 2pi . Assim h = −1,
k = 2, a = 2 e uma parametrizac¸a˜o da circunfereˆncia dada re-
sultam α(t) = (−1+2cos t,2+2sen t), 0≤ t ≤ 2pi .
f. Sabemos que uma parametrizac¸a˜o para a elipse
(
x−h
a
)2
+(
y− k
b
)2
= 1 e´ dada por α(t) = (h + acos t,k + bsen t),
0 ≤ t ≤ 2pi . Na elipse (x+3)
2
4
+
(y−2)2
1
= 1 ou(
x+3
2
)2
+
(
y−2
1
)2
= 1, temos h =−3, k = 2, a = 2, b = 1.
Portanto, uma parametrizac¸a˜o para a elipse dada e´:
α(t) = (−3+2cos t,2+ sen t), 0≤ t ≤ 2pi .
Exercı´cio 13.3
Determine os pontos de continuidade das seguintes func¸o˜es ve-
toriais:
a. α(t) =
(
cos t
t−1 , ln(t
2+1), 3
√
t−4
)
b. β (t) = (cos2t + sen2t,esent ,senet)
c. γ(t) =
(√
t, 3
√
t−3, t
2−1√
t−1
)
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Soluc¸a˜o: No´s sabemos que uma func¸a˜o vetorial α(t)= (x(t),y(t),z(t))
e´ contı´nua em a se, e somente se, cada uma das func¸o˜es componentes
x(t), y(t) e z(t) sa˜o contı´nuas em a. Assim, os pontos de continuidade
de α(t) sa˜o os pontos de continuidade que sa˜o comuns a todas suas
func¸o˜es componentes. Logo,
a. Como α(t) =
(
cos t
t−1︸ ︷︷ ︸
x(t)
, ln(t2 +1)︸ ︷︷ ︸
y(t)
, 3
√
t−4︸ ︷︷ ︸
z(t)
)
e
x(t) =
cos t
t−1 e´ contı´nua em R−{1}
y(t) = ln(t2 +1) e´ contı´nua em todo R
z(t) = 3
√
t−4 e´ contı´nua em todo R.
Lembrando que o domı´nio de α e´ a intersec¸a˜o dos domı´nios das
func¸o˜es coordenadas, resulta que α(t) e´ contı´nua em R−{1}.
b. Como β (t) = (cos2t + sen2t︸ ︷︷ ︸
x(t)
,esen t︸︷︷︸
y(t)
,sen et︸ ︷︷ ︸
z(t)
)
e
x(t) = cos2t + sen2t = 1 e´ contı´nua em todo R
y(t) = esen t e´ contı´nua em todo R
z(t) = senet e´ contı´nua em todo R.
Lembrando que o domı´nio de β e´ a intersec¸a˜o dos domı´nios das
func¸o˜es coordenadas, resulta que β (t) e´ contı´nua em todo R.
c. Como γ(t) =
( √
t︸︷︷︸
x(t)
, 3
√
t−3︸ ︷︷ ︸
y(t)
,
t2−1√
t−1︸ ︷︷ ︸
z(t)
)
e
x(t) =
√
t e´ contı´nua em todos os pontos t ∈ [0,+∞)
y(t) = 3
√
t−3 e´ contı´nua em todos os pontos t ∈ R
z(t) =
t2−1√
t−1 e´ contı´nua em todos os pontos t ∈ (1,+∞).
Lembrando que o domı´nio de γ e´ a intersec¸a˜o dos domı´nios
das func¸o˜es coordenadas, resulta que γ(t) e´ contı´nua em todo
t ∈ (1,+∞).
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Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
PASSO A PASSO DOS EXERCI´CIOS PROPOSTOS
NO CADERNO DIDA´TICO
Exercı´cio 13.4
Fac¸a um esboc¸o das seguintes curvas:
a. α(t) = (2t,3t+1) t ∈ [0,1]
b. γ(t) = (5cos2t,−2sen2t) t ∈
[
0, pi
2
]
c. δ (t) = (t2−1, t3+1) t ∈ [−2,2]
(Aula 31 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no8: a, c modifi-
cado e d, respectivamente)
� Do seu caderno dida´tico voceˆ conhece as func¸o˜es vetoriais
cujasfunc¸o˜es coordenadas sa˜o func¸o˜es afins. Ou seja, as
func¸o˜es coordenadas sa˜o do tipo αi(t) = ait +bi, onde ai
e bi sa˜o nu´meros reais. Sabemos tambe´m de la´ que “se
existe pelo menos um i, tal que ai 6= 0, o trac¸o da func¸a˜o
sera´ uma reta”.
Soluc¸a˜o:
a. α(t) = (2t,3t +1) t ∈ [0,1]
Observe, neste caso, que as func¸o˜es coordenadas x(t) = 2t e
y(t) = 3t +1 sa˜o func¸o˜es afins e basta que um dos coeficientes
a1 e a2 seja diferente de zero (neste caso, os dois coeficientes
a1 = 2 e a2 = 3 sa˜o diferentes de zero). Assim, o trac¸o da func¸a˜o
e´ uma reta. Como t ∈ [0,1], α(0) = (0,1) e α(1) = (2,4), pode-
mos afirmar que a curva e´ um segmento de reta de ponto inicial
α(0) = (0,1) e ponto final α(1) = (2,4), como mostrado na
Figura 13.11.
Figura 13.11
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Outra forma de esboc¸ar a curva e´ por eliminac¸a˜o do paraˆmetro.
As func¸o˜es coordenadas como sabemos sa˜o x(t) = 2t e
y(t) = 3t + 1. Neste caso, podemos facilmente eliminar o
paraˆmetro t:
x
2
= t e y = 3t +1.
Obtemos assim uma equac¸a˜o apenas em termos das varia´veis
cartesianas: y = 3
2
x+1.
A equac¸a˜o cartesiana y = 3
2
x+1 e´ definida para todos os valo-
res de x. Mas das equac¸o˜es parame´tricas sabemos que t ∈ [0,1].
Isto implica que devemos ajustar o domı´nio da equac¸a˜o cartesiana
resultante.
Note-se que t ∈ [0,1], isto e´, 0 ≤ t ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 2t︸︷︷︸
x
≤ 2 ⇒
0≤ x≤ 2. Assim, resulta a equac¸a˜o cartesiana da curva
C :

 y =
3
2
x+1
0≤ x≤ 2
A qual corresponde ao segmento (de reta) acima indicado.
b. γ(t) = (5cos 2t,−2sen 2t) t ∈
[
0, pi
2
]
As func¸o˜es coordenadas sa˜o x(t) = 5cos2t e y(t) = −2sen2t
t ∈
[
0, pi
2
]
.
Para determinar o trac¸o desta curva, podemos usar o mesmo
expediente que foi usado no exemplo anterior: “eliminar o
paraˆmetro”.
As func¸o˜es coordenadas como sabemos sa˜o x(t) = 5cos2t e
y(t) =−2sen 2t t ∈
[
0, pi
2
]
.
Neste caso, para eliminar o paraˆmetro t fazemos o seguinte:
x
5 = cos2t e
y
−2 = sen2t ⇒
( x
5
)2
= cos22t e
(
y
−2
)2
= sen22t,
assim ⇒
(x
5
)2
+
(
y
−2
)2
= cos22t + sen22t = 1.
Obtemos assim uma equac¸a˜o apenas em termos das varia´veis
cartesianas: x
2
25 +
y2
4
= 1 que e´ a equac¸a˜o de uma elipse cen-
trada em (0,0) com eixo maior de ve´rtices em (−5,0) e (5,0)
e eixo menor de comprimento 2b = 4. Mas das equac¸o˜es pa-
rame´tricas podemos ver que a curva esta´ definida apenas para
t ∈
[
0, pi
2
]
. Por outro lado, do Ca´lculo I, sabemos que a func¸a˜o
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Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
sen2t e´ uma compressa˜o horizontal da func¸a˜o sen t, logo pode-
mos ver que para t ∈
[
0, pi
2
]
resulta que 0 ≤ sen2t ≤ 1. Assim,
0 ≥ −2sen 2t︸ ︷︷ ︸
y
≥ −2, isto e´, −2 ≤ y ≤ 0. Isso implica que o
gra´fico da curva esta´ restrito somente a` parte inferior da elipse.
Ou seja, a semi-elipse C :


x2
25 +
y2
4
= 1
−2≤ y≤ 0
.
Observe que para t = 0: x(0) = 5cos 0= 5 e y(0) =−2sen0= 0
⇒ P0 = (5,0).
Para t =
pi
4
x
(pi
4
)
= 5cos 2pi
4
= 0 e y
(pi
4
)
=−2sen 2pi
4
=−2
⇒ P1 = (0,−2).
Para t =
pi
2
x
(pi
2
)
= 5cos 2pi
2
=−5 e y
(pi
2
)
=−2sen2pi
2
= 0
⇒ P2 = (−5,0).
A medida que t aumenta de 0 para pi
2
, o ponto comec¸a em
P0 = (5,0), passa pelo ponto P1 = (0,−2) e termina no ponto
P2 = (−5,0). Note-se enta˜o que a semi-elipse e´ percorrida no
sentido hora´rio conforme t varia de 0 a pi
2
, como mostrado na
Figura 13.12.
Figura 13.12
c. δ (t) = (t2−1, t3 +1) t ∈ [−2,2]
As func¸o˜es coordenadas sa˜o x(t) = t2 − 1 e y(t) = t3 + 1
t ∈ [−2,2].
Para determinar o trac¸o desta curva, podemos usar o mesmo
expediente que foi usado no exemplo anterior: “eliminar o
paraˆmetro” e apo´s a eliminac¸a˜o do paraˆmetro ajustaremos o
domı´nio da equac¸a˜o cartesiana resultante.
Neste caso, para eliminar o paraˆmetro t fazemos o seguinte:
x = t2−1⇒ x+1 = t2 t ∈ [−2,2] (13.3)
y = t3 +1⇒ y−1 = t3 ⇒ t = (y−1) 13 t ∈ [−2,2] (13.4)
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Substituindo 13.4 em 13.3, temos a equac¸a˜o cartesiana
x+1 = (y−1) 23 ou (x+1)3 = (y−1)2 (13.5)
Observe que a equac¸a˜o cartesiana x+ 1 = (y− 1) 23 e´ definida
para todos os valores de x ≥ −1 (de fato, note que como
(x+1)3 = (y−1)2 e o segundo membro desta igualdade sempre
sera´ maior que zero, resulta que (x+ 1) ≥ 0 ⇔ x ≥ −1). Mas
da definic¸a˜o da curva δ (t) = (t2 − 1, t3 + 1) sabemos que ela
esta´ definida apenas para t ∈ [−2,2]. Isto implica que devemos
restringir o domı´nio para os valores de x, tal que t ∈ [−2,2].
De fato, −2≤ t ≤ 2⇔ |t| ≤ 2⇔ 0≤ |t|2 ≤ 4 ⇔ 0 ≤ t2 ≤ 4 ⇔
−1≤ t2−1︸ ︷︷ ︸
x
≤ 3. Assim, x ∈ [−1,3].
De 13.5 segue enta˜o que (x+1) 32 = (y−1) ou y = 1+(x+1) 32 ,
para x ∈ [−1,3].
Por outro lado, note-se que:
Para t = −2: x(−2) = (−2)2 − 1 = 4− 1 = 3 e y(−2) =
(−2)3 +1 =−8+1 =−7⇒ P0 = (3,−7).
Para t = 0: x(0) = 0 − 1 = −1 e y(0) = 0 + 1 = 1 ⇒
P1 = (−1,1).
Para t = 2: x(2) = (2)2 − 1 = 4− 1 = 3 e y(2) = (2)3 + 1 =
8+1 = 9⇒ P2 = (3,9).
Ou seja, a medida que t aumenta de −2 para 2, o ponto comec¸a
em P0 = (3,−7) e termina no ponto P2 = (3,9). Note-se que a
curva e´ percorrida no sentido anti-hora´rio conforme t varia de
−2 a 2, como mostrado na Figura 13.13.
Figura 13.13
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Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
Exercı´cio 13.5
Determine uma parametrizac¸a˜o para cada uma das seguintes
curvas:
a. x−3 =−(y+1)2;
b. (x+3)2 +(y−2)2 = 4;
c. 9(x−1)2 +4(y+2)2 = 36.
(Aula 31 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no 10: a, b e d,
respectivamente)
Soluc¸a˜o:
a. Como x− 3 = −(y + 1)2, enta˜o x = 3− (y + 1)2. Fazendo
y = t, enta˜o x = 3− (t + 1)2. Portanto, uma parametrizac¸a˜o da
para´bola x−3 =−(y+1)2 e´ dada por γ(t) = (3− (t +1)2, t),
t ∈ R.
b. Sabemos que uma parametrizac¸a˜o para a circunfereˆncia
(x−h)2+(y−k)2 = a2 e´ dada por α(t)= (h+acos t,k+asen t),
0≤ t ≤ 2pi . Assim, para a circunfereˆncia (x+3)2+(y−2)2 = 4,
temos h = −3, k = 2 e a = 2. Logo, α(t) = (−3 + 2cos t,
2+ 2sen t), 0 ≤ t ≤ 2pi , e´ uma parametrizac¸a˜o para a circun-
fereˆncia dada.
c. Dada 9(x−1)2+4(y+2)2 = 36, enta˜o 9(x−1)
2
36 +
4(y+2)2
36 =
1⇔ (x−1)
2
4
+
(y+2)2
9 = 1⇔
(
x−1
2
)2
+
(
y+2
3
)2
= 1.
Sabemos que uma parametrizac¸a˜o para a elipse
(
x−h
a
)2
+(
y− k
b
)2
= 1 e´ dada por α(t) = (h + acos t,k + bsen t),
0 ≤ t ≤ 2pi . Assim, para a elipse
(
x−1
2
)2
+
(
y+2
3
)2
= 1,
temos h = 1, k =−2, a = 2 e b = 3. Portanto, uma parametriza-
c¸a˜o desta elipse, e´ dada por α(t) = (1+ 2cos t,−2+ 3sen t),
0≤ t ≤ 2pi .
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Exercı´cio 13.6
Ache uma parametrizac¸a˜o para a reta que e´ a intersec¸a˜o dos
planos x− y+ z =−3 e 2x+ y−2z = 6.
(Aula 31 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no6)
Soluc¸a˜o: A reta L e´ a intersec¸a˜o dos planos
{
x− y+ z =−3
2x+ y−2z = 6 .
Consideremos separadamente as equac¸o˜es dos planos:
x− y+ z =−3 (13.6)
2x+ y−2z = 6 (13.7)
De 13.6 segue que
z =−3− x+ y (13.8)
Substituindo 13.8 em 13.7, resulta 2x+ y−2(−3− x+ y) = 6, ou
seja, 2x+ y+6+2x−2y = 6 de onde simplificando, temos
4x− y = 0 (13.9)
De 13.8 e 13.9 temos enta˜o um novo sistema que representa L
L :
{
z =−3− x+ y
4x− y = 0 ou L :
{
z =−3− x+ y
y = 4x (13.10)
Nesteu´ltimo sistema fica mais fa´cil escolher uma parametrizac¸a˜o
para a reta L.
Fac¸a x = t, y = 4t e z =−3− t +4t =−3+3t com t ∈R.
Assim, uma parametrizac¸a˜o para a reta L e´ dada por
α(t) = (t,4t,−3+3t), t ∈ R.
Exercı´cio 13.7
Fac¸a um esboc¸o da curva β (t) = (1− t,3−2t, t) t ∈ [0,1].
(Aula 31 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no8-b)
Soluc¸a˜o: As equac¸o˜es parame´tricas correspondentes sa˜o


x = 1− t
y = 3−2t
z = t
com t ∈ [0,1], que sa˜o reconhecidas como as equac¸o˜es parame´tricas
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Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
do segmento de reta de ponto inicial β (0) = (1− 0,3− 2(0),0) =
(1,3,0) = P0 e ponto final β (1) = (1−1,3−2(1),1) = (0,1,1) = P1.
O segmento e´ mostrado na Figura 13.14.
Figura 13.14
Exercı´cio 13.8
Trace a curva α(t) = (t,2cos2pit,2sen2pit) t ≥ 0.
(Aula 31 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no 9)
Soluc¸a˜o: As equac¸o˜es parame´tricas da curva ou imagem de α sa˜o

x = t
y = 2cos2pit
z = 2sen2pit
.
Das duas u´ltimas equac¸o˜es parame´tricas obtemos y2+z2 = 4. Isso
quer dizer que a curva esta´ sobre o cilindro circular reto de raio 2,
centrado no eixo x. Para localizar a curva sobre este cilindro podemos
usar a primeira equac¸a˜o parame´trica x = t, com t ≥ 0. Note-se na
Figura 13.15 que a medida que t varia de 0 ate´ 1, o ponto (x,y,z)
gira sobre o cilindro y2 + z2 = 4 produzindo uma volta na curva C,
denominada “he´lice circular ou helico´ide”; observe que na medida que
t varia, o ponto α(t) se afasta do plano x = 0. Observe tambe´m que
na Figura 13.15 esta´ desenhada so´ uma parte da curva pedida. A
forma de saca-rolhas da he´lice circular deste exemplo e´ a mesma das
molas espirais. Elas tambe´m aparecem no modelo do DNA (a´cido
desoxirribonucle´ico, material gene´tico de ce´lulas vivas).
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Figura 13.15
So´ para conferir, verifiquemos uma volta da he´lice, calculando os
valores de α a medida que t varia de 0 ate´ 1:
Se t = 0, α(0) = (0, 2cos 0, 2sen 0) = (0,2,0).
Se t = 1
4
, α
(
1
4
)
=
(
1
4
, 2cos 2pi
(
1
4
)
, 2sen2pi
(
1
4
))
=(
1
4
,2cos
(pi
2
)
,2sen pi
2
)
=
(
1
4
,0,2
)
.
Se t = 1
2
, α
(
1
2
)
=
(
1
2
, 2cos 2pi
(
1
2
)
, 2sen2pi
(
1
2
))
=(
1
2
,2cos pi,2sen pi
)
=
(
1
2
,−2,0
)
.
Se t = 3
4
, α
(
3
4
)
=
(
3
4
, 2cos 2pi
(
3
4
)
, 2sen2pi
(
3
4
))
=(
3
4
,2cos
(
3pi
2
)
,2sen 3pi
2
)
=
(
3
4
,0,−2
)
.
Se t = 1, α(1) = (1, 2cos 2pi, 2sen 2pi) = (1,2,0).
Exercı´cio 13.9
Calcule os limites das seguintes func¸o˜es:
a. lim
t→0
(
t2−2
t +1
,
sent
t
)
b. lim
t→1
(
t3−1
t2−1 ,
t−1
3√t−1 ,
tgpi(t−1)
t−1
)
(Aula 33 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no2: a e d)
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Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
Soluc¸a˜o:
a. Observe que lim
t→0
t2−2
t +1
=
−2
1
= −2 e lim
t→0
sen t
t
= 1. Portanto,
lim
t→0
(
t2−2
t +1
,
sen t
t
)
= (−2,1).
b. Lembre que
lim
t→1
t3−1
t2−1
L′H
= lim
t→1
3t2
2t
= lim
t→1
3t
2
=
3
2
lim
t→1
t−1
3
√
t−1
L′H
= lim
t→1
1
1
3 t
−2/3 = limt→1 3
3√
t2 = 3
lim
t→1
tgpi(t−1)
(t−1) = pi limt→1
tgpi(t−1)
pi(t−1) = pi . Lembre que limu→0
tgu
u
= 1.
Portanto, lim
t→1
(
t3−1
t2−1 ,
t−1
3√t−1 ,
tgpi(t−1)
t−1
)
=
(
3
2
,3,pi
)
Exercı´cio 13.10
Calcule os valores de a e b, tais que a func¸a˜o
α(t) =
{
(at +b,4t−3), se t ≥ 1
(2t +3,2at2−b), se t < 1 seja contı´nua.
(Aula 33 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no3)
Soluc¸a˜o: Observe que α e´ uma func¸a˜o vetorial contı´nua para t > 1
e para t < 1. Note-se que as func¸o˜es componentes sa˜o polinoˆmios e
sabemos que as func¸o˜es polinomiais sa˜o contı´nuas, assim para que α
seja contı´nua em todo R so´ falta verificar a continuidade em t = 1. Isto
e´, precisamos provar que lim
t→1
α(t) = α(1).
Lembre que lim
t→1
α(t) existe se, e somente se, existem lim
t→1+
α(t) e
lim
t→1−
α(t) e, ale´m disso, lim
t→1+
α(t) = lim
t→1−
α(t).
Note-se que
lim
t→1+
α(t) = lim
1+
(at +b,4t−3) = (a(1)+b,4(1)−3) = (a+b,1)
lim
t→1−
α(t) = lim
t→1−
(2t +3,2at2−b) = (2+3,2a(1)2−b) = (5,2a−b)
Logo, como queremos que lim
t→1+
α(t) = lim
t→1−
α(t), enta˜o
(a+b,1) = (5,2a−b)⇔
{
a+b = 5
2a−b = 1 ⇔
{
a = 2
b = 3
Assim, se a= 2 e b= 3, temos que lim
t→1
α(t)=α(1) = (5,1). Logo,
temos a continuidade de α em t = 1, portanto α e´ contı´nua.
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Exercı´cio 13.11
Encontre uma parametrizac¸a˜o para a reta que conte´m os pontos
(1,−1) e (−3,4).
(Aula 31 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no4)
Soluc¸a˜o: Da Aula 31, pa´gina 166 do caderno dida´tico, sabemos que
a equac¸a˜o α(t) = (1− t)A+ tB t ∈ R, onde A e B sa˜o dois vetores
dados, tem por trac¸o a reta determinada por esses vetores, caso A 6= B.
Portanto, uma parametrizac¸a˜o da reta neste caso e´
α(t) = (1− t)(1,−1)+ t(−3,4) = (1− t,−1+ t)+ (−3t,4t)
= (1−4t,−1+5t) t ∈ R.
Exercı´cio 13.12
Encontre uma parametrizac¸a˜o para a reta que e´ paralela ao vetor
~v = (−2,5) e que conte´m o ponto (2,1).
(Aula 31 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no5)
Soluc¸a˜o: Observe que, neste caso, podemos utilizar a parametrizac¸a˜o
α(t) = t~v+A, t ∈R que e´ a parametrizac¸a˜o da reta que conte´m o ponto
A e e´ paralela ao vetor na˜o nulo~v. Portanto,
α(t) = t(−2,5)+ (2,1) = (−2t +2,5t +1) = (2−2t,1+5t) t ∈ R.
Exercı´cio 13.13
Encontre a parametrizac¸a˜o α(t) da reta r, tal que α(1)= (−3,2,1)
e α(0) = (0,0,−2).
(Aula 31 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no7)
Soluc¸a˜o: Novamente da Aula 31, pa´gina 166 do caderno dida´tico,
sabemos que a equac¸a˜o α(t) = (1− t)A+ tB, t ∈ R, onde A e B sa˜o
dois vetores dados, tem por trac¸o a reta determinada por esses vetores,
caso A 6= B. Ale´m disso, α(0) = A e α(1) = B. Neste exercı´cio,
sabemos que α(0) = (0,0,−2) = A e α(1) = (−3,2,1) = B, assim a
parametrizac¸a˜o que satisfaz as condic¸o˜es pedidas e´
α(t) = (1− t)(0,0,−2)+ t(−3,2,1) t ∈ R
Isto e´, α(t) = (0,0,−2(1− t))+ t(−3,2,1) = (−3t,2t,−2+2t + t)
= (−3t,2t,−2+3t) t ∈ R.
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Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
Exercı´cio 13.14
Determine uma parametrizac¸a˜o para a coˆnica y2−4x2 = 1 (ramo
superior).
(Aula 31 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no10-c)
Soluc¸a˜o: Observemos que a coˆnica dada e´ a hipe´rbole
y2− (2x)2 = 1 (13.11)
Fac¸a Y = y e X = 2x, substituindo estas igualdades em 13.11, temos
Y 2−X2 = 1 (13.12)
Por outro lado, sabemos que as func¸o˜es trigonome´tricas hiperbo´licas
satisfazem a identidade hiperbo´lica
cosh2t− senh2t = 1 (13.13)
Portanto, a imagem da curva α(t) = (senh t,cosh t) certamente esta´ na
hipe´rbole 13.12
C :
∣∣∣∣ X = senh tY = cosh t t ∈R ⇒ C :
∣∣∣∣ 2x = senh ty = cosh t t ∈ R
⇒ C :
∣∣∣∣∣ x =
1
2
senh t
y = cosh t
t ∈R
Finalmente, uma parametrizac¸a˜o da hipe´rbole y2 − (2x)2 = 1 e´ dada
por
C : α(t) =
(
1
2
senh t,cosh t
)
t ∈ R.
Observe que cosh t = e
t + e−t
2
≥ 1, ∀t ∈ R, logo y ≥ 1; assim, α e´
somente o ramo superior da hipe´rbole, onde y ≥ 1 ∀t ∈ R, e por ou-
tro lado, senh t = e
t − e−t2
∀t ∈ R e´ uma func¸a˜o bijetora e pode-se
verificar que x = 1
2
senh t ≥ 0 ∀t ≥ 0 e x = 1
2
senh t < 0 ∀t < 0.
Assim, α(t) recobre toda a extensa˜o do ramo superior da hipe´rbole.
Note que a hipe´rbole e´ percorrida no sentido anti-hora´rio conforme t
varia de −∞ a +∞.
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Exercı´cio 13.15
Calcule os seguintes limites
a. lim
t→+∞
(
t
t2+1
,
2t−3√
t2 +4
)
b. lim
t→√2
(
t2−2
t−√2 ,
e
√
2− et
t3−2√2
)
(Aula 33 do caderno dida´tico, exercı´cio proposto no2: b e c, res-
pectivamente)
c. lim
t→−∞
(
t
t2+1
,
2t−3√
t2 +4
)
Soluc¸a˜o:
a. lim
t→+∞
(
t
t2 +1
,
2t−3√
t2 +4
)
Observe que quando t → +∞, t
t2 +1
e´ uma forma indetermi-
nada da forma ∞
∞
. Assim, estamos nas condic¸o˜es de aplicar a
regra de L’Hoˆpital e temos
lim
t→+∞
t
t2 +1
L′H
= lim
t→+∞
1
2t
= 0.
Analogamente, quando t →+∞, 2t−3√
t2 +4
e´ uma forma indeter-
minada da forma ∞
∞
. Assim, estamos nas condic¸o˜es de aplicar
a regra de L’Hoˆpital, pore´m algumas vezes a aplicac¸a˜o da regra
de L’Hoˆpital para calcular uma forma indeterminada nos leva a
situac¸o˜es estranhas.
(
Tente calcular lim
t→+∞
2t−3√
t2 +4
usando a re-
gra de L’Hoˆpital e descreva o que acontece!
)
Por outro lado, do
Ca´lculo I, sabemos que este limite pode ser facilmente calcu-
lado por me´todos alge´bricos. De fato,
lim
t→+∞
2t−3√
t2 +4
= lim
t→+∞
2t−3
t√
t2+4
t
(∗)
= lim
t→+∞
2− 3t√
t2+4√
t2
= lim
t→+∞
2− 3t√
1+ 4t2
= 2
(∗) Lembre-se que quando t →+∞⇒ t > 0 e t = |t|=
√
t1.
Assim, lim
t→+∞
(
t
t2 +1
,
2t−3√
t2 +4
)
= (0,2).
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Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
b. lim
t→√2
(
t2−2
t−√2 ,
e
√
2− et
t3−2√2
)
Observe que quando t →√2, t
2−2
t−√2 e´ uma forma indetermi-
nada da forma 00 . Assim, estamos nas condic¸o˜es de aplicar a
regra de L’Hoˆpital e temos
lim
t→√2
t2−2
t−√2
L′H
= lim
t→√2
2t
1
= 2
√
2
Analogamente, quando t →√2, e
√
2− et
t3−2√2 e´ uma forma indeter-
minada da forma 00. Assim, estamos nas condic¸o˜es de aplicar a
regra de L’Hoˆpital e temos
lim
t→√2
e
√
2− et
t3−2√2
L′H
= lim
t→√2
−et
3t2 =
−e
√
2
3(2) =−
1
6e
√
2
Portanto,
lim
t→√2
(
t2−2
t−√2 ,
e
√
2− et
t3−2√2
)
=
(
2
√
2,−16e
√
2
)
c. lim
t→−∞
(
t
t2 +1
,
2t−3√
t2 +4
)
Observe que quando t →−∞, t
t2 +1
e´ uma forma indetermi-
nada da forma ∞
∞
. Assim, estamos nas condic¸o˜es de aplicar a
regra de L’Hoˆpital e temos
lim
t→−∞
t
t2 +1
L′H
= lim
t→−∞
1
2t
= 0
Analogamente, quando t →−∞, 2t−3√
t2 +4
e´ uma forma indeter-
minada da forma ∞
∞
. Assim, estamos nas condic¸o˜es de aplicar
a regra de L’Hoˆpital, pore´m, como ja´ foi mencionado acima,
algumas vezes a aplicac¸a˜o da regra de L’Hoˆpital para calcular
uma forma indeterminada nos leva a situac¸o˜es estranhas. Por
outro lado, do Ca´lculo I, sabemos que este limite pode ser facil-
mente calculado por me´todos alge´bricos. De fato,
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lim
t→−∞
2t−3√
t2 +4
= lim
t→−∞
2t−3
t√
t2+4
t
(∗)
= lim
t→−∞
2− 3t√
t2+4
−
√
t2
= lim
t→−∞−
2− 3t√
1+ 4t2
=−2
(∗) Lembre-se que quando t →−∞⇒ t < 0 e t =−|t|=−
√
t2.
Assim, lim
t→−∞
(
t
t2 +1
,
2t−3√
t2 +4
)
= (0,−2).
Exercı´cio 13.16
Encontre uma parametrizac¸a˜o para a curva C : x2 = y−2, onde
−1
2
≤ x≤ 1. Uma vez parametrizada a curva esboce a mesma e
indique o sentido de percurso quando o paraˆmetro aumenta.
Soluc¸a˜o: Sabemos que sendo C : y = f (x), ∀x ∈ I o gra´fico de uma
func¸a˜o contı´nua f , uma parametrizac¸a˜o natural (ou trivial ou sim-
ples) de C e´ dada fazendo x = t e y = f (t), isto e´, C : α(t) = (t, f (t)),
t ∈ I.
Neste exercı´cio vamos usar a parametrizac¸a˜o natural. Note-se
que x2 = y− 2 ⇔ y = x2 + 2. Seja x = t e y = f (t) = t2 + 2 para
todo −1
2
≤ t ≤ 1, logo α(t) = (t, t2 + 2), t ∈
[
−1
2
,1
]
. Observe que
α
(
−1
2
)
=
(
−1
2
,
1
4
+2
)
=
(
−1
2
,
9
4
)
e α(1) = (1,1+2) = (1,3). O
esboc¸o da curva e´ mostrado na Figura 13.16. Note-se que a para´bola
e´ percorrida no sentido anti-hora´rio conforme t varia de −1
2
a 1.
2
Figura 13.16
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Caderno de Ca´lculo II | Func¸o˜es Vetoriais de uma Varia´vel Real. Parametrizac¸o˜es. Limite e Continuidade
Exercı´cio 13.17
Encontre uma parametrizac¸a˜o para a coˆnica
3x2 +4y2 +12x−8y+4 = 0.
Uma vez parametrizada a curva esboce a mesma e indique o
sentido de percurso quando o paraˆmetro aumenta.
Soluc¸a˜o: Dada a equac¸a˜o da coˆnica 3x2 + 4y2 + 12x− 8y+ 4 = 0,
completando quadrados temos (3x2+12x+ )+(4y2−8y+ )+4= 0,
isto e´, 3(x2 + 4x + 4) + 4(y2 − 2y + 1) = 12 + 4 − 4 ou
3(x + 2)2 + 4(y − 1)2 = 12, enta˜o (x+2)
2
4
+
(y−1)2
3
= 1 ⇔(
x+2
2
)2
+
(
y−1√
3
)2
= 1.
Sabemos que uma parametrizac¸a˜o para a elipse(
x−h
a
)2
+
(
y− k
b
)2
= 1
e´ dada por α(t) = (h+ acos t,k+ bsen t), 0 ≤ t ≤ 2pi . Assim, para a
elipse
(
x+2
2
)2
+
(
y−1√
3
)2
= 1, temos h=−2, k= 1, a= 2, b=√3.
Portanto, uma parametrizac¸a˜o desta elipse, e´ dada por
α(t) = (−2+2cos t,1+
√
3sen t), 0≤ t ≤ 2pi.
Observe que a elipse e´ percorrida no sentido anti-hora´rio conforme t
varia de 0 a 2pi .
Com efeito, note-se que α(0) = (0,1), α
(pi
2
)
= (−2,1+√3) e
α(2pi) = (0,1). O esboc¸o da curva e´ mostrado na Figura 13.17.
( +2
)
x
( -1)y
Figura 13.17
206 C E D E R J

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