Circuitos I Santa Catarina

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
CTC - Centro Tecnológico 
Disciplina de Circuitos Elétricos I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE CIRCUITOS I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Professor: Patrick Kuo Peng 
 
 Colaboradores: Júlio Trevisan 
 Maurício Rigoni 
 Willian Hamada 
 
 
 
 
 
 
 Florianópolis 2003 (revisão 2009)
 2
Sumário 
 
Sumário ______________________________________________________________ 2 
Plano de Ensino ________________________________________________________ 3 
Análise de circuitos: Uma visão geral. ______________________________________ 4 
CAPÍTULO I – VARIÁVEIS ELÉTRICAS __________________________________ 5 
CAPÍTULO 2 – ELEMENTOS DOS CIRCUITOS ___________________________ 10 
CAPÍTULO III – CIRCUITOS RESISTIVOS _______________________________ 17 
CAPÍTULO 4 – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS __________________ 25 
CAPÍTULO V – O AMPLIFICADOR OPERACIONAL_______________________ 48 
CAPÍTULO 6 – INDUTORES E CAPACITORES ___________________________ 58 
CAPÍTULO VII – ANÁLISE DE CIRCUITOS SENOIDAIS___________________ 70 
CAPÍTULO VIII – POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS ________________ 84 
CAPÍTULO IX – CIRCUITOS TRIFÁSICOS _______________________________ 97 
CAPÍTULO X – INTRODUÇÃO AOS CIRCUITOS DE SELEÇÃO DE 
FREQÜÊNCIAS _____________________________________________________ 111 
Bibliografia__________________________________________________________ 119 
 3
Plano de Ensino 
 
Circuitos Elétricos I 
 
 
Capítulo I: Variáveis Elétricas 
 
 
Capítulo II: Elementos dos circuitos 
 
 
Capítulo III: Circuitos resistivos simples 
 
 
Capítulo IV: Técnicas de análise de circuitos 
 
 
Capítulo V: O amplificador operacional 
 
 
Capítulo VI: Indutores e Capacitores 
 
 
Capítulo VII: Análise de circuitos senoidais 
 
 
Capítulo VIII: Potência em circuitos senoidais 
 
 
Capítulo IX: Circuitos trifásicos 
 
 
Capítulo X: Respostas em freqüência 
 4
Análise de circuitos: Uma visão 
geral. 
 
 
 
 
 
Circuito elétrico = modelo matemático de um sistema elétrico real. 
 
 
 
 
Análise de circuito: permite prever o comportamento do circuito e 
de seus componentes 
 
 
 
 
Roteiro para análise de circuito: 
 
• Identificar claramente os dados e o que é pedido. 
• Simplificar ou redesenhar o circuito. 
• Escolher o método de análise mais simples. 
• Verificar se a solução encontrada é fisicamente possível. 
 5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO I 
 
VARIÁVEIS ELÉTRICAS 
 
 
 
 6
VARIÁVEIS ELÉTRICAS 
 
 
1. O Sistema Internacional de Unidades 
 
 
• Unidades de base 
 
Grandeza Unidade Símbolo 
Comprimento metro m 
Massa quilograma kg 
Tempo segundo s 
Corrente elétrica Ampère A 
Temperatura Kelvin K 
Intensidade luminosa Candela cd 
 
 
• Unidades derivadas úteis na teoria de circuitos 
 
Grandeza Nome / Símbolo Fórmula dimensional
Freqüência Hertz (Hz) s-1 
Força Newton (N) kg.m/s2 
Energia ou trabalho Joule (J) N.m 
Potência Watt (W) J/s 
Carga elétrica Coulomb (C) A.s 
Potencial elétrico Volt (V) W/A 
Resistência elétrica Ohm (Ω) V/A 
Condutância elétrica Siemens (S) A/V 
Capacitância Farad (F) C/V 
Fluxo magnético Weber (Wb) V.s 
Indutância Henry (H) Wb/A 
 
 
• Principais múltiplos e submúltiplos das unidades 
 
 
 10-12 10-9 10-6 10-3 0 103 106 109 1012 
 
 pico(p) nano(n) micro(μ) mili(m) quilo(K) Mega(M) Giga(G) 
Tera(T) 
 
 
 
 
 7
 
2. Conceitos básicos de eletricidade 
 
 
 a) Cargas elétricas 
 
 Qualquer matéria é formada por átomos. O do Hidrogênio é o átomo mais 
simples, o qual é constituído por duas partículas (prótons→ carga positiva e 
elétrons→ carga negativa). 
 
Unidade da carga elétrica = coulomb (C) 
 
Átomos normalmente neutros ⇒ N° de elétrons = N° de prótons. 
 
Retirando elétrons ⇒ átomo terá carga positiva. 
 
Adicionando elétrons ⇒ átomo terá carga negativa. 
 
• Matérias onde é fácil retirar ou adicionar elétrons são chamadas de 
condutores (cobre, alumínio, etc...). 
• Matérias onde é difícil retirar ou adicionar elétrons são chamadas 
de isolantes (borracha, porcelana, papelão, etc...). 
 
b) Corrente elétrica: movimento dos elétrons. 
 
 
 
dt
dqi =
corrente elétrica em Ampère [A] 
Relação de integral: 
carga em Coulomb 
tempo em segundos [s]
 8
 
 c) Tensão elétrica ou diferença de potencial : Energia usada para 
mover uma unidade de carga através do elemento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 d) Potencia e energia: 
 
 
• Potência = trabalho ou energia por unidade de tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Energia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dttitqtq
t
t
.)()()(
0
0 ∫=−
dq
dWv =
Energia em Joule [J] 
Carga em Coulomb [C] 
Tensão em Volt [V] 
dt
dWp =
Potência em Watt [W] 
Energia em Joule [J] 
Tempo em segundos [s] 
vi
dt
dqv
dt
dWvdqdW ==⇒= vip =∴
dttitvtwtwdttptw
t
t
).(.)()()().()(
0
0∫ ∫=−⇒= 
 9
 
 
• Convenção de sinais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Potência ou energia > 0 ⇒ o elemento absorve potência 
 
 Potência ou energia < 0 ⇒ o elemento fornece potência 
 
 
 
 10
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 2 
 
ELEMENTOS DOS 
CIRCUITOS 
 11
Elementos dos circuitos 
 
 
I. Introdução 
 
Os circuitos podem ter 5 elementos básicos: 
 
• Fontes de tensão; 
• Fontes de corrente; 
• Resistores; 
• Indutores; 
• Capacitores. 
 
II. Fontes ideais de tensão e de corrente 
 
 
Fontes = dispositivos capazes de gerar energia elétrica 
 
Existem 2 categorias de fontes: 
 
• Fontes independentes e 
• Fontes dependentes (fontes controladas). 
 
1. Fontes independentes 
 
• Fonte ideal independente de tensão: estabelece uma tensão que não 
depende das ligações externas, ou seja, v é fixa, independente de i. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Fonte ideal independente de corrente: estabelece uma corrente que 
não depende das ligações externas, ou seja, i é fixa, independente de v. 
 
 
 
 
A
B
12V
A
B
12V
i [A] 
v [V] 
12 
Característica tensão/corrente Símbolos 
ou 
 12
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Fontes dependentes ou controladas 
 
Fonte controlada é aquela que estabelece uma tensão ou uma corrente que 
depende do valor da tensão ou corrente em outro ponto do circuito. 
 
• Fonte de tensão controlada por tensão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Fonte de tensão controlada por corrente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Fonte de corrente controlada por corrente 
 
 
 
 
 
 
 
 
v [V] 
i [A] 
5 
Característica tensão/corrente 
A
B
5A
Símbolo 
1v
1v - tensão de controle 
2v - tensão controlada α - ganho de tensão (adimensional) 12
vv ⋅=α
1i
β – ganho de corrente (adimensional) 12 ii ⋅= β
1i
1i - corrente de controle 
r – transresistência (Ω) 12 irv ⋅=
 13
 
• Fonte de corrente controlada por tensão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III. Resistência elétrica (Lei de Ohm) 
 
1. Resistência elétrica 
 
Capacidade do material para impedir a circulação da corrente ou 
especificamente a circulação das cargas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resistor: elemento do circuito que possui resistência elétrica. 
 
 
 
 
 
 
Exemplos (resistor não linear): varistor ( )(vfR = ), termistor ( )(TfR = ). 
 
2. Lei de Ohm 
 
Estabelece uma relação algébrica entre tensão e corrente em um resistor. Num 
resistor linear é utilizandoa convenção passiva, esta lei pode ser escrita da 
seguinte forma: 
 
 
 
 
 
1v g – transcondutância (S) 12 vgi ⋅=
S l
S
R l⋅= ρ
R – resistência (Ω ) ρ - resistividade do material ( m⋅Ω ) 
l - comprimento (m) 
S – seção transversal ( 2m ) 
Símbolo 
 14
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∗ Condutância 
 
Gvv
RR
vi === 1 ; 
R
G 1= (condutância em mho ou S (siemens) ) 
 
 
 
∗ Potência num resistor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outras expressões usuais: Gv
G
i
R
vP 2
22
=== . 
 
∗ Observações 
 
Curto-circuito ⇔ resistência nula ⇔ tensão nula independente da 
corrente. 
 
 
 
 
 
 
 
Riv +=
v 
i 
ou 
Riv −=
v 
i 
ivP ⋅=
v 
i 
ivP ⋅−=
v 
i 
Ora, Riv = . 
 
Então, 2RiiRiP =⋅= 
Ora, Riv −= . 
 
Então, 2)( RiiRiP =⋅−−= 
0== Riv ; i∀ v 0=R
 15
Circuito aberto ⇔ resistência infinita ⇔ corrente nula, independente da 
tensão. 
 
 
 
 
 
 
 
IV. Leis de Kirchhoff 
 
1. Definições 
 
Nó: ponto de interconexão entre 2 ou mais elementos do circuito. 
 
Laço: caminho fechado passando apenas uma vez em cada nó e terminando 
no nó de partida. 
 
Malha: laço que não contém nenhum outro por dentro. 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Lei de Kirchhoff para correntes (LCK) 
 
 
“A soma algébrica das correntes em qualquer nó de um circuito é sempre 
nula” 
∑
=
=
N
n
ni
1
0 
⇔ 
Σ correntes entrando no nó = Σ correntes saindo do nó. 
 
0==
R
vi ; v∀ v ∞=R
R1 I
E R2 R3
2
1
3 4
• 4 nós 
• 3 laços 
• 2 malhas 
 16
 
Convenção 
 
Corrente entrando no nó, atribuir sinal + 
Corrente saindo do nó, atribuir sinal - 
 
 
 
3. Lei de Kirchhoff para tensões 
 
“A soma algébrica das tensões em qualquer laço de um circuito é sempre 
nula”. 
∑
=
=
N
n
nv
1
0 
 
Convenção 
 
Percorrer o caminho fechado no sentido horário, escrevendo a tensão 
com o primeiro sinal encontrado. 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
E 1
R1
R2
R3
1RV
2RV
3RV
01 321 =−++− RRR VVVE
 17
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO III 
 
CIRCUITOS RESISTIVOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 18
1. Resistores em série 
 
Associação série ⇔ mesma corrente em todos os elementos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Resistores em paralelo 
 
 
Associação paralelo ⇔ todos os elementos sujeitos à mesma tensão. 
 
IRRR
IRIRIR
VVVV
n
n
n
)....(
......
...
21
21
21
+++=
+++=
+++= IRV eq .=
neq RRRR +++= ...21 
1V 2V nV
V
1R 2R nR
⇔ V
eqR
I I
V
1R 2R nR ⇔ V eqR
I I
1I 2I nI
 19
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IRV eq .=
eq
n
n
n
R
V
RRR
R
V
R
V
R
V
IIII
1
.1...11
...
...
21
21
21
=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +++=
+++=
+++=
neq
neq
GGGG
ou
RRRR
+++=
+++=
...
1...111
21
21
 
1R
2R
3R
⇔ 
1R 2R
21
21.
RR
RR
+
21 // RR 31 // RRou
)//( 321 RRR + Å Ok! 
 20
3. Associação de fontes 
 
 
3.1. Fontes de tensão em série 
 
 
 
 3.2. Fontes de Tensão em paralelo 
 
 Fontes de tensão em paralelo só podem ser associadas se apresentarem 
o mesmo valor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3.3. Fontes de corrente em série 
 
Fontes de corrente em série só podem ser associadas se apresentarem o 
mesmo valor. 
 
A2 A2 A2A4
 
 
1 V 
2 V 
3 V 
A 
B 
⇔ 
321 V V V + − 
B 
A 
V5 V5 V5V10
 21
 3.4. Fontes de corrente em paralelo 
 
 
 
1I 2I 3I ⇔ 231 III −+
 
 
 
 
 
4. Divisão de tensão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De maneira geral 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iRV .11 =
iRRV ).( 21 +=
⇒
21
1
1
.
RR
VRV +=21
2
1
.
GG
VGV += ou 
1R
2R
1V
2V
V
i
 
 21
1
2
.
GG
VGV +=
iRV .22 =
nRRR
VRV +++= ...
.
21
1
1
1R
2R
1V
2V
V
i
nR
 22
5. O circuito divisor de corrente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mais geral 
 
 ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1R 2RI
1I 2I
V
1
1 R
VI =
2
2 R
VI =
e I
RR
RRV ..
21
21
+=
I
RRR
RRI .
)(
.
211
21
1 += e IRR
RI .
)( 21
1
2 +=
I
GG
GI .
)( 21
2
2 +=IGG
GI .
)( 21
1
1 +=
ou 
1 R 2RI 
1 I 2I
V nR
I
RR
RRRI
eq
n .
//...////
1
32
1 +=
I
GGG
GI
n
.
...21
1
1 +++=
 23
6. Transformação Δ→Υ ou Υ→Δ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resistência equivalente entre A e B 
 
ABR
ACR BCR
ABR
BCRACR
⇔
A B
C
A
C C
B
 
ABR
ACRBCR
B
A
BR AR
A
CR
C
B
C
BRAR
A B
CR
C
AR BR
⇔
A
C
B
CR
 
 24
BA
BCACAB
BCACAB RR
RRR
RRR +=++
+ )(
 (1) 
 
Resistência equivalente entre B e C 
 
CB
BCACAB
ACABBC RR
RRR
RRR +=++
+ )(
 (2) 
 
Resistência equivalente entre A e C 
 
CA
BCACAB
BCABAC RR
RRR
RRR +=++
+ )(
 (3) 
Transformação Δ → Υ 
 
 
ACBCAB
ACAB
A RRR
RRR ++=
.
 
ACBCAB
BCAB
B RRR
RRR ++=
.
 
ACBCAB
BCAC
C RRR
RRR ++=
.
 
 
Transformação Υ → Δ 
 
 
C
CBCABA
AB R
RRRRRRR ... ++= 
 
B
CBCABA
AC R
RRRRRRR ... ++= 
 
A
CBCABA
BC R
RRRRRRR ... ++= 
ABR
ACRBCR
ARBR
CR
AB
C
 
 25
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 4 
 
TÉCNICAS DE ANÁLISE DE 
CIRCUITOS 
 26
Técnicas de Análise de Circuitos 
 
I. Definições 
 
Ramo: caminho que liga 2 nós. 
 
Circuito planar: circuito que pode ser desenhado no plano sem que dois ramos de 
cruzem. 
 
Exemplo: 
 
Circuitos planares 
 
1 R 
3 R 
5 R 
2 R 
4 R 
1 R 
3 R 
5 R 
2 R 
4 R 
 
 
 
Circuito não planar 
 
 
II. Método das tensões de nó (análise nodal) 
 
É baseada na Lei de Kirchhoff para correntes (LCK). 
Incógnitas são tensões. 
No de tensões incógnitas = No de nós – 1 . 
 27
 
 
Roteiro: 
a. Converter as resistências em condutâncias; 
b. Escolher o nó de referência, atribuindo-lhe tensão nula; 
c. Associar a cada nó (exceto o nó de referência, que tem tensão nula) uma tensão 
incógnita (tensão de nó); 
d. Aplicar a LCK em cada nó (exceto no nó de referência) considerando todas as 
correntes saindo do nó (por convenção); 
e. Resolver o sistema de equações. 
 
 
1. Fontes do circuito: só fontes de corrente 
 
a. Só fontes de corrente independentes 
 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
3
6
72
24
2
1
V
V
... 
VV
VV
1
2
2
1
=
=
 
Nó 1 
0)(226 211 =−++− VVV 
Nó 2 
035)(2 212 =−+− VVV 
... 
1V 2V
Ω5,0 Ω2,0
Ω5,0
A6 A3−
0S2
S2
S5
ABV
A BG
ABV
A BG
i
i
( )AB A Bi GV G V V= = −
( ) ( )AB A B B Ai GV G V V G V V= − = − − = −
 28
b. Incluindo também fonte de corrente controlada 
 
 
2. Fontes do circuito incluem fontes de tensão (dependentes ou independentes) 
 
a. Todas as fontes de tensão estão ligadas ao nó de referência 
 
Nó 1 
1 1 26 2 2 2 ( ) 0i V V V− −+ + − = 
Nó 2 
2 1 22( ) 5 2 3 0V V V i− + + − = 
i 
25i V= − 
0,5Ω
Ω5,0
0,2Ω6A 3A−
2V1V
i2
5S
2S 2S
1 2 1
21 2
4 8 6 4 8 6
2 3 3 2 3 3
V V V
VV V
+ =⎧ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ ⇔ =⎨ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ = − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎩
... 
2
1
6
21
2
V V
V V
=
−= 
Nó 2 
2 1 2 31( ) 6 1( ) 0V V V V− − + − = 
 
Nó 3 
3 2 3 41( ) 4 2( ) 0V V V V− − + − =
 
2
3
6
2
V V
V V
=⎧⇒ ⎨ =⎩
1V 2V 3V S2S1S1
V2A4−A6V4
4V
1
4
4
2
V V
V V
=⎧⎨ = −⎩
Cada fonte de tensão 
ligada ao nó de 
referência diminui o 
número de tensões 
incógnitas em 1 
unidade 
 29
b. Nem todas as fontes de tensão estão ligadas ao nó de referência 
 
Solução: considerar a fonte de tensão e os seus 2 nós como um único grande nó 
(supernó) ⇔ curtocircuitar nós 2 e 3. 
 
 
 
 
II. Método das correntes de malha (análise de malha) 
 
É baseada na Lei de Kirchhoff para Tensões (LTK). 
Incógnitas são correntes. 
No de incógnitas = No de correntes de malha . 
 
VV 101 = 
Nó 2 
2 1 22( ) 4 1 0aV V V I− − + + = 
Nó 3 
32 2 0aI V− + + = 
Problema: não se 
conhece a corrente aI na 
fonte de tensão 
2
3
2
6
2
8
24
x
x
i
V V
V V
i A
P W
=⎧⎪ =⎪⇒ ⎨ =⎪ =⎪⎩
 
2 1 2 32( ) 4 1 2 2 0V V V V− − + + + = 
No supernó, 
232
xiVV =− 
)(2 21 VVix −= 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
− 10
22
12
23
3
2
V
V
 
1V 2V aI
2
xi
S2 A2S1A4V10
xi
S2 3V
 30
 
Roteiro: 
a. Converter as condutâncias em resistências; 
b. Associar em cada malha uma corrente de malha no sentido horário; 
c. Aplicar a LTK em cada malha; 
d. Resolver o sistema de equações, obtendo o valor das correntes de malha. 
 
 
1. Fontes do circuito: só fontes de tensão 
 
a. Só fontes de tensão independentes 
Correntes de ramo, em função das 
correntes de malha: 
1 1
2 2
3 3
4 1 2
5 3 2
i I
i I
i I
i I I
i I I
=
= −
=
= −
= −
 
Correntes de malha: 1 2 3, ,I I I . 
1I 2I 3I
1i 2i 3i
4i 5i
 31
 
b. Incluindo também fontes de tensão controladas 
 
Malha 1 
1 31 1 1 1 2 3
0 0R RV V V V R i R i− + + = ⇔ − + + = 
Malha 2 
3 32 3 2 2 2 3
0 0R RV V V R i V R i+ − = ⇔ + − = 
 
Mas 
 
1 1
1 1 1 2 1 2
2 2
2 3 2 2 2 2
3 1 2
( ) 0
( ) 0
i I
V R I R I I
i I
V R I R I I
i I I
= ⎫ − + + − =⎧⎪= ⇒⎬ ⎨ + + − =⎩⎪= − ⎭
 
 
1 2 2 1 1
2 2 3) 2 2
( )
(
R R R I V
R R R I V
+ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
 ... 
Usando correntes de ramos, 
temos 3 incógnitas e 2 
equações. 
2 equações, 
2 incógnitas 
3 malhas⇒ 3 correntes incógnitas 
⇒
1
2
3
25 5 20 50
5 10 4 0
5 4 9 0
I
I
I
− ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
 ... 
1
2
3
29,6
26
28
I A
I A
I A
=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩
1I 2I
3i
1V
1i
2V
2i 3R1R
2R2RV
2R
V
1R
V
 
2 malhas⇒ 2 correntes incógnitas 
V50 Ω20
ϕi Ω4Ω5
Ω1
ϕi15
1I 3I
2I
 
Malha 1: 1 2 1 350 5( ) 20( ) 0I I I I−− + − + = 
Malha 2: 2 2 3 2 11 4( ) 5( ) 0I I I I I+ − + − = 
Malha 3: 3 2 3 14( ) 15 20( ) 0I I i I Iϕ− + + − = 
1 3i I Iϕ = − 
 32
2. Fontes no circuito: incluindo também fontes de corrente 
 
a. Cada uma das fontes de corrente pertence a uma única malha 
 
Calcular a potência na fonte de tensão: 
 
Malha 2: 
2 2 1 1 2 3 22 2( ) 26 1 2( ) 0 4I I I I I I I A+ − − + + − = ⇒ = 
 
Potência na fonte de tensão: 
1 226( )
26(5 4) 26
P V I I I
W
= + ⋅ = − =
= − = 
 
 
 ⇒ Cada fonte de corrente que pertence a uma única malha diminui o 
número de incógnitas em 1 unidade. 
 
3 malhas⇒ 3 incógnitas 
 
Do circuito, obtém-se 
imediatamente 1 5I A= e 
3 2I A= − . 
 
1I
i
V26
Ω2
Ω3
2I
3I
Ω1
Ω2
 33
 
b. Nem todas as fontes de corrente pertencem a uma única malha 
 
Calcular 1V : 
 
Existe uma fonte de corrente que pertence a uma única malha⇒ 2 incógnitas 
apenas. 
 
1 4I A= 
 
Malha 2: 2 1 2 31 4( ) 0I v I I+ + − = 
Malha 3: 3 1 3 2 1 32( ) 4( ) 9 0I I I I v I− + − − + = 
 
Problema: não se conhece a tensão na fonte de corrente ( 1v não é incógnita 
principal do sistema). 
 
Solução: considerar a fonte de corrente como um circuito aberto e escrever a LKT 
na supermalha. 
 
3 1 2 32( ) 1 9 0I I I I− + + = 
 
No interior da supermalha temos: 
 
1 2 35V I I= − 
 
 ora 1 1 32( )V I I= − 
 
 Assim 2 184I A= e 3 16I A= − 
 
 
 
3 malhas ⇒ 3 incógnitas 
supermalha 
2I
1v
Ω4
Ω1
Ω2
1V
1I
A4 Ω9
3I
15V
 34
IV. Análise nodal ou análise de malhas? 
 
 
a) Simplificar o circuito, 
 
b) determinar o número de equações necessárias utilizando a tabela abaixo. 
 
 
 Análise Nodal Análise de Malha 
Incógnitas 
 
Tensões de nó Correntes de malha 
Número de incógnitas 
 
Número de nós –1 Número de malhas 
Critério para reduzir o 
número de incógnitas 
 
 
Fonte de tensão ligada ao nó 
de referência 
Fonte de corrente que 
pertence a uma única 
corrente de malha 
Caso especial Fonte de tensão não ligada 
ao nó de referência ⇒ 
aplicar conceito de supernó 
Fonte de corrente que 
pertence a duas correntes e 
malha ⇒ aplicar 
conceito de supermalha 
 
Obs.: o nó de referência tem que ser colocado de preferência no nó que tem o maior 
número de fontes de tensão (dependente ou independente) ligado nele. 
 
 
O método de análise mais adequado será aquele que leva a escrever o menor 
número de equações. 
 35
Exemplo 1 
 
Determinar a potência na fonte de tensão controlada 
 
Ω300
Ω100 Ω250 Ω500
Ω400 V128V256 Ω200 i50
Ω150
i
 
 
 
 
 
 36
Exemplo 2 
 
Determinar 1V e 2V . 
Ω4
Ω6
Ω5,2
141,0 V A5,0
2V
Ω5,7 Ω8
28,0 V
Ω2
V193
1V
 
 
 
 
 37
V. Transformações de fontes 
 
 
1. Fonte real de tensão 
 L s V LV V R I= − 
 
 
2. Fonte real de corrente 
 
 
1
L s L
I
I I V
R
= − 
Modelo Característica tensão-corrente 
sI LV
b
a
LR
LI
IR
fonte real
fonte ideal de corrente
LI
LV
VR
sV LV
b
a
LR
LI
fonte real
fonte ideal de tensão
LI
LV
Característica tensão-corrente Modelo 
 38
3. Equivalência de fontes 
 
Objetivo: transformar uma fonte real de tensão numa fonte real de corrente 
ou vice-versa. 
 
• Fonte de tensão Æ fonte de corrente 
VR
sV LV
b
a
LR ⇒
V
s
s R
VI =
b
a
LRVI RR =
 
• Fonte de corrente Æ fonte de tensão 
VR
sIs IRV = LV
b
a
LR⇒sI
b
a
LRIR
 
Observações: 
• A equivalência deve valer para qualquer valor de IR . 
• A seta da fonte de corrente sempre aponta do - para + da fonte de tensão 
equivalente. 
b
a1R
2R ⇔
b
a
2R
b
a1R
2R ⇔
b
a1R
 
 39
VI. Deslocamento de fontes 
 
1. Deslocamento de fonte ideal de corrente 
 
 
Nó 1: ia = I + i1 Nó 2: ib = I – i2 Nó 3: ic = i2 + i3 
 
Nó 4: id = i4 – i3 Nó 5: ie = i4 – i5 Nó 6: if = i1 – i5 
 
 
 
Nó 1: ia = I + i1 Nó 2: ib = I – i2 Nó 3: ic = i2 + i3 
 
Nó 4: id = I-I+i4 – i3 Nó 5: ie = i4 – i5 Nó 6: if =I-I+ i1 – i5 
 
As equações dos dois circuitos acima são iguais, portanto os dois circuitos são equivalentes. 
 40
2. Deslocamento de fonte ideal de tensão 
 
 
 
 
Vca = R1i1 + E Vda = R2i2 + E Vea = R3i3 + E 
 
 
 
 
 
Vca = R1i1 + E Vda = R2i2 + E Vea = R3i3 + E 
 
 
 
As equações dos dois circuitos acima são iguais, portanto os dois circuitos são equivalentes. 
 41
VII. Circuitos equivalentes de Thèvenin e Norton 
 
1. Circuito equivalente de Thèvenin 
 
A. Objetivo 
 
Obtenção de circuito equivalente simples (fonte de tensão em série com 
um resistor)a partir de redes lineares quaisquer. 
 
LV
LIa
b
⇔
a
b
LV
LI
THV
THR
 
 
Onde 
 
THV é a tensão que aparece entra (a) e (b) com a carga desconectada. 
THR é a resistência equivalente vista dos terminais (a) e (b). 
 
B. Determinação de THV e THR : 1o método 
 
THV : desconectar a carga e determinar a tensão entre os terminais (a) e (b) 
 
CCi : curtocircuitar os terminais (a) e (b) e determinar a corrente de curto-circuito 
no sentido (a) Æ (b) 
 
CC
TH
TH i
VR = 
 
C. Determinação de THR e THV : 2o método 
Objetivo: determinar os valores de THR e THV de tal forma que visto dos 
terminais (a) e (b) os dois circuitos abaixo são equivalentes. 
 42
a
b
⇔
a
b
THV
THR
Rede
linear
 
 
Então se colocamos nos terminais (a) e (b) uma fonte de corrente de teste com 
valor TI nos dois circuitos, as tensões abV nos dois circuitos devem ser 
equivalentes. 
 
Comparando as equações (1) e (2) podemos deduzir que 
XRTH = 
YVTH = 
 
Observação: se a escolha da direção da corrente na fonte de teste é 
invertida, 
 
a
b
⇔
a
b
THV
THR
Rede
linear
ABV TI ABV TI
ab TV XI Y= + (1) ab TH T THV R I V= + (2) 
a
b
THV
THR
ABV TI
a
b
ABV TIRedelinear
ab TH T THV R I V= − + TH
TH
R X
V Y
= −
=
 43
D. Caso particular: circuito contendo apenas fontes independentes 
 
a
b
cargaR
Rede
linear
 
 
• Determinação de THV : desconectar a carga e determinar a tensão 
vista dos terminais (a) e (b). 
 
• Determinação de THR : desconectar a carga e determinar a resistência 
equivalente vista dos terminais (a) e (b) com todas as fontes 
independentes em repouso. 
ƒ Fonte de tensão em repouso ⇔ 0=V (curto-circuito) 
ƒ Fonte de corrente em repouso ⇔ 0=I (circuito aberto). 
 
Exemplo: determinar o equivalente de Thèvenin que alimenta a carga LR . 
a
b
LRΩ6
Ω3 Ω7
V12
 
 
 
 
 44
2. Circuito equivalente de Norton 
 
A. Objetivo 
Obtenção de circuito equivalente simples (fonte de corrente em paralelo 
com um resistor) a partir de redes lineares quaisquer. 
 
a
b
Rede
linear
LI
LV ⇔
a
b
LV
LI
NI NR
 
 
Onde: NI é a corrente que vai de (a) para (b) através de um curto-circuito; 
NR é a resistência equivalente vista dos terminais (a) e (b). 
 
B. Determinação de NR e NI : 1o método 
Idem primeiro do Thèvenin: 
 
CCN iI = 
CC
TH
N i
VR = 
 
C. Determinação de NR e NI : 2o método 
 
 
De (1) e (2) ⇒ 
X
RN
1= e YI N = 
 
a
b
Rede
linear
abI
TV
a
b
NI NR
abI
TV
ab TI XV Y= + (1) 1ab T N
N
I V I
R
= + (2) 
 45
D. Caso particular: circuito contendo apenas fontes independentes 
 
Determinação de NR : idem a THR 
Determinação de NI : desconectar a carga, curto-circuitar (a) e (b) e determinar a 
corrente de curto-circuito que vai do terminal (a) ao terminal (b). 
 
 
E. Determinação de NR e NI : 3o método 
A partir do circuito equivalente de Thèvenin, fazer transformação de fontes. 
 
a
b
TH
TH
N R
VI = NR LR
a
b
LRTHV
THR
⇒
 
 
 
 
VIII. Transferência máxima de potência 
 
Objetivo: obter a máxima potência possível de uma rede qualquer. 
 
LR
Rede
linear LR
LI
THV
THR
 
 
⇒ Determinar LR de tal maneira que a potência dissipada nela seja máxima: 
 
2
2 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+== LTH
TH
LLLR RR
VRIRP
L
 
Maximizar 
LRP ⇔ 0=
L
R
dR
dP
L ⇔ THL RR = 
 46
Então 
TH
TH
THTH
TH
THmáxR R
V
RR
VRP
L 4
22
, =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+= 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rendimento 
LTH
L
THL
TH
TH
LTH
TH
L
V
R
RR
R
RR
VV
RR
VR
P
P
TH
L
+=
+⋅
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+==
2
η 
 
 
Máxima transferência de potência não é necessariamente vantajosa. Ex: sistemas de 
potência 
 
 
0,5
THR 
THR
2
4
TH
TH
V
R
LR
LP
LR
η 
 47
IX. O princípio da superposição 
 
Circuito linear: se o circuito é alimentado por mais de uma fonte de energia, a resposta 
total é igual ao Σ das respostas a cada uma das fontes independentes em repouso. 
 
Observações: 
ƒ Fonte de tensão em repouso ⇔ 0=V (curto-circuito) 
ƒ Fonte de corrente em repouso ⇔ 0=I (circuito aberto). 
ƒ Fontes controladas não devem ser colocadas em repouso. 
 
Rede
linear
V
I
i
Rede
linear
V
i
Rede
linear
I
i
 
Exemplo: obter XV por superposição. 
V2 Ω4
1I
12I
Ω3
XVA3
 
 48
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO V 
 
 O AMPLIFICADOR 
OPERACIONAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 49
 
 
1. Introdução 
 
 
Amplificador operacional: circuito integrado composto por uma associação de 
transistores, capacitores, resistores etc... 
 
Funções: 
• Associado aos resistores pode desempenhar operação tais 
como adição, subtração, troca de sinal e multiplicação por 
um fator constante; 
• Associado aos capacitores e/ou indutores, realiza 
operações como integração e diferenciação; 
• Comparadores; 
• Osciladores. 
 
 
2. Terminais do Amplificador Operacional 
 
 
Considerar o Amp. Op. como uma caixa preta cujos terminais são mostrados a 
seguir: 
 
 
1
2
3
4
8
7
6
5
Entrada inversora –
Entrada não inversora +
VCC–
VCC+
Saída
ua 741 
 
Símbolo 
 
 +
 _
Entrada Não
Inversora
Entrada
Inversora
Saída
Alimentação
+
_
Alimentação 
 
 
 50
3. Tensões e correntes nos terminais do Amp. Op. 
 
• Sentidos das correntes e polaridade das tensões no Amp. Op. 
 
+
_
+
_ _
+
V+
V-
+
+
_
_
Vcc
Vcc
pi
oi
ini
−ci
+ci
oV
pV
nV
 
 
• Regiões de operação do Amp. Op.: 
 
 
 
 
 
Vo = -Vcc se A(Vp - Vn) < -Vcc 
 
Vo = A(Vp - Vn) se -Vcc ≤ A(Vp - Vn) ≤ 
Vcc 
 
Vo = Vcc se A(Vp - Vn) > Vcc 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curva de transferência de tensão 
 do Amp. OP. 
 
O Amplificador operacional opera na região linear quando |Vp - Vn| < Vcc/A. 
Como A é um valor geralmente grande, então |Vp - Vn| deve ser pequeno. 
 
 
No caso ideal: Vp = Vn ⇒ A = ∞ 
 resistência de entrada elevada ⇒ ip = in = 0 
 
Saturação positiva
Saturação negativa
Re
giã
o l
ine
ar
ccV
ccV−
oV
A
Vcc−
A
Vcc )( np VV −
 51
De acordo com as leis de Kirschhoff para corrente: 
 
ip + in + io + ic- + ic+ = 0 
i0 = - (ic+ + ic-) 
ora, ip = in = 0 
 
 
Observações: 
o ip = In = 0 não significa que i0 = 0; 
o As tensões de alimentação não precisam ser simétricas. 
Ex.: V+ = 12V e V- = -8V 
 Na região linear –8V ≤ Vo ≤ 12V 
 
 
Exemplo 1: 
 
12V
-12V
22k
220k
40k4,7k
1
2
Va
Vb
Vo
 
 
o Supondo o Amplificador ideal. 
Calcule Vo para: 
a) Va = 3V e Vb = 2V; 
b) Va = 1,5V e Vb = 2,5V. 
c) para Vb = 4V, especifique o intervalo no qual deve ser mantida a tensão 
Va para que o amplificador não entre na região de saturação. 
 
 
4. Modo de operação do amplificador operacional 
 
 
4.1. Sem realimentação 
 
 Este modo é denominado “operação em malha aberta”. 
 Funciona sempre em modo saturação. 
 Utilizado como circuito comparador. 
 
 Ex. circuito de controle 
 
 52
ccV−
ccV
oVinV
pV
 
 4.2. Com realimentação positiva 
 
 Realimentação significa que uma fração da tensão de saída é reinjetada 
numa das entradas. Na realimentação positiva o sinal de saída é reinjetado na 
entrada não inversora. 
 
 Muito instável, utilizado em osciladores. 
 
 Ex. geradores de sinais.gV
oV
ccV
ccV−
 
 
 
 4.3. Realimentação negativa 
 
Este tipo é o mais importante meio de realimentação, pois estabiliza o 
sinal e tende a aproximar as características do amplificador ideal. 
 
 
5. O circuito amplificador-inversor 
 
Hipótese: Amp. op. ideal 
 Amp. op. operando na região linear 
 
 
 
 Objetivo: Vo = f(Vs) 
 
 
 
 
1
ccV
ccV−
sR
sV nV pV o
V
fR
si
fi
 53
No nó 1 temos terra virtual, pois Vn = Vp. Ora, Vp = terra ⇒ Vn = terra. 
 
 No nó 1: is + if = 0 ⇔ 0=−+−
f
no
s
ns
R
VV
R
VV 
 
Como o Amp. op. é ideal Vn = Vp, ip = in = 0 
 
 Ora, Vp = 0 ⇒ Vn =0 
 
Logo s
s
f
o VR
R
V −= ; a tensão de saída é uma reprodução invertida do sinal 
de entrada, multiplicada por uma constante ⇒ amp. inversor. 
 
 
6. O circuito amplificador-somador 
 
Hipótese: Amp. op. ideal ⇒ Vn = Vp; ip = in = 0 
 Amp. op. operando na região linear 
ccV
ccV−
oV
aV
bV
cV
aR
bR
cR
1
fR
ai
bi
ci
fi
ni
 
 ia + ib + ic + if = in = 0 
 
0=−+−+−+−
f
no
c
nc
b
nb
a
na
R
VV
R
VV
R
VV
R
VV 
 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++−= c
c
f
b
b
f
a
a
f
o VR
R
V
R
R
V
R
R
V 
 
⇒ tensão de saída = - (soma das tensões de entrada multiplicada por um 
fator de escala). 
 
 Se Ra = Rb = Rc = Rf ⇒ Vo = - (Va + Vb + Vc). 
 
 Ex. misturador de áudio. 
 
 54
7. O circuito amplificador não inversor 
 
 
 
 
 Vn = Vp 
 ip = in 0 
fs
os
n RR
VR
V += ora, Vn = Vp 
= Vg 
 
fs
os
g RR
VR
V += ⇒ 
g
s
fs
o VR
RR
V
+= 
 
A tensão de saída é uma reprodução do sinal de entrada, multiplicada por uma 
constante. 
 
 
8. O circuito amplificador diferença 
 
 
aR
cR
bR
oV
ccV
ccV−
dRa
V
bV nV pV
1
2
 
No nó 1: 
 
 0=+−+− n
b
on
a
an i
R
VV
R
VV 
 
 No amplificador operacional ideal in=0 =ip e Vn=Vp 
 
 
dc
bd
pn RR
VR
VV +== 
 
gV
sR
gR
fR
oV
ccV
ccV−
 55
 ( )( ) aa
b
b
dca
bad
o VR
R
V
RRR
RRR
V −+
+= 
 
 se 
d
c
b
a
R
R
R
R = ⇒ ( )ab
a
b
o VVR
R
V −= 
 
⇒ a tensão de saída é proporcional à diferença entre as tensões de 
entrada. 
 
Uma característica importante de uma conexão de circuito diferencial é 
sua capacidade de amplificar consideravelmente sinais opostos nas duas 
entradas, enquanto amplifica suavemente sinais comuns a ambas as 
entradas. 
Vamos escrever as tensões de entrada em função de duas outras 
tensões chamadas de tensão do modo diferencial e de tensão do 
modo comum: 
 
Vdm = Vb – Va (tensão de modo diferencial) 
Vcm = ½ (Va + Vb) (tensão de modo comum) 
Então 
 
Va = Vmc – ½ Vmd 
Vb = Vmc + ½ Vmd 
 
 
aR
cR
bR
oV
ccV
ccV−
dR
mcV 2
mdV
2
mdV
 
 
 
( )
( ) ( )
( ) mddca
dcbbad
mc
dca
cbad
o VRRR
RRRRRR
V
RRR
RRRR
V ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
++++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
−=
2
 
 
 
 56
Vo = Amc Vmc + Amd Vmd 
 
 
 
 ganho de ganho de modo 
 modo comum diferencial 
 
 
 Fator de rejeição de modo comum é um parâmetro usado para indicar até 
que ponto um amplificador diferença se aproxima de um amplificador ideal. 
 
 CMRR = 
mc
md
A
A ⇒ quanto maior CMRR, melhor o Amp. op. 
 
 No Amp. op. ideal Amc = 0 e Amd elevado. 
 
 
 
9. Modelo mais realista para o amplificador operacional 
 
 
No Amp. Op não ideal, a resistência de entrada Ri é de valor finito, o ganho A é 
de valor finito e a resistência de saída R0 ≠ 0. Assim o circuito equivalente do 
Amp. Op. mais realista é apresentado abaixo. 
 
 
 
iR
oR
ni
oV
pi
oi
( )np VVA −p
V
nV
 
 
 
Exemplo: 
 Determinar Vo = f(parâmetros do circuito) 
 Amplificador não ideal 
 
 57
sV
sR
fR
oV
ccV
ccV−
 
 
 
nó 1: 
 
 
i
n
f
no
s
ns
R
V
R
VV
R
VV =−+− 
 
 
( )
0=−+−−
f
no
o
npo
R
VV
R
VVAV
 ora Vp = 0 
então 
 ( ) s
f
o
i
s
i
o
f
s
fo V
R
R
R
R
R
RA
R
R
RRA
V
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++
+−=
11
0 
 
 
 Obs.: Ro = 0 
 
 Ri → ∞ Amp. op. ideal 
 A → ∞ 
 
 
 
⇒ s
s
f
o VR
R
V
−= 
 
 
 58
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO VI 
 
INDUTORES E 
CAPACITORES 
 59
Indutores e Capacitores 
Estudo de 2 novos elementos: indutor e capacitor (elementos capazes de 
armazenar energia). 
 
 
 
I. O Indutor 
 
 
1. Características do indutor 
 
Basicamente o Indutor é um dispositivo de 2 terminais composto de um fio 
condutor, enrolado em espiral. 
 
O comportamento dos indutores se baseia em 
fenômenos associados a campos magnéticos. 
 
A aplicação de uma corrente variável no indutor 
produz um campo magnético variável no seu redor. 
 
Um campo magnético variável induz uma tensão nos 
terminais do indutor e essa tensão é proporcional à 
taxa de variação de corrente que o atravessa. 
 
Matematicamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
div L
dt
=
Tensão em Volts Indutância em Henry [H] 
Corrente [A] 
Tempo [s] 
Li
dv
dt
Φ = ⎫⎪ ⇒⎬Φ= ⎪⎭
Fluxo magnético concatenado 
Lei de Faraday { 
)(tv
)(ti
 60
)(tv
)(ti L
dt
tdi
Ltv
)(
)( =
)(tv
)(ti L
dt
tdi
Ltv
)(
)( −=
 
Observações: 
 
ƒ Quando a corrente é constante, a tensão entre os terminais de um 
indutor ideal é nula . Assim, o indutor se comporta como um curto-
circuito para corrente contínua. 
ƒ 
ƒ A corrente que atravessa um indutor não pode variar instantaneamente, 
ou seja, existe inércia de corrente no indutor. 
ƒ 
ƒ Se a corrente variar bruscamente é porque há tensão infinita 
(imposta por um circuito externo) entre os terminais do indutor. O 
conceito de impulso é utilizado para modelar matematicamente este 
fenômeno. Neste caso temos um impulso de tensão nos terminais do 
indutor. 
 
 
2. Corrente em um indutor em função da tensão entre os terminais do indutor: 
 
0 0) 0
0
0
( )
(
0 0
( ) 1( ) ( ) ( )
1 1( ) ( )
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i tt t
t i t t
t t
t
t
di tv t L di t v t dt
dt L
di t di v t dt
L L
i t i t v t dt i t i t v t dt
L L
= ⇔ =
⇒ = =
⇒ − = ⇒ = +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
 
 
3. Potência e energia nos indutores: 
 
 61
0 0
0
0 0
( ) ( ) ( )2
0 ( )
( ) ( )
2 2
0 0
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1( ) ( )
2
1( ) ( ) ( ) ( )
2
t t
t t
W t i t i t
i t
W t i t
di tp t v t i t Li t
dt
dW tp t dW t p t dt
dt
di t di tdW t Li t dt dW t L i t dt
dt dt
dW L idi W t W t L i
W t W t L i t i t
⎧ = ⋅ =⎪⎪⎨⎪ = ⇒ =⎪⎩
⇒ = ⇒ =
⎡ ⎤⇒ = ⇒ − = ⎣ ⎦
⎡ ⎤⇒ − = −⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
 
 
Se 0( ) 0i t = , e 0( ) 0W t = , então 21( ) 2W t Li= . 
 
 
II. O Capacitor 
 
O capacitor é um dispositivo de 2 terminais composto por 2 placas condutoras 
separadas por um isolante. 
 
O comportamento do capacitor se baseia em 
fenômenos associados ao campo elétrico. 
 
Os campos elétricos são produzidos por uma 
separação de cargas elétricas, ou seja, por tensão. 
Então a carga é proporcional à diferença de 
potencial e podemos escrever que q = C v. Ora 
sabemos que i = dq/dt. Assim a relação tensão-
corrente no capacitor pode ser escrita da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dvi C
dt
=
Corrente [A] Tensão [V] 
Capacitância, em Farads [F] 
vΔ
 62
Observações: 
 
ƒQuando a tensão é constante, a corrente em um capacitor ideal é nula, 
ou seja, o capacitor se comporta como um circuito aberto para corrente 
contínua. 
ƒ 
ƒ A tensão nos terminais de um capacitor não pode variar 
instantaneamente: Existe inércia de tensão no capacitor. 
ƒ 
ƒ Se a tensão variar bruscamente, é porque há corrente infinita (imposta 
por um circuito externo) passando pelo capacitor. O conceito de impulso é 
utilizado para modelar matematicamente este fenômeno. Neste caso 
temos um impulso de corrente passando pelo capacitor. 
 
 
2. Relações integrais para o capacitor 
 
0 0
0 0 0
( )
0
( )
( ) 1( ) ( ) ( )
1 1( ) ( ) ( ) ( )
t t
t t
v t t t
v t t t
dv ti t C dv t i t dt
dt C
dv i t dt v t v t i t dt
C C
= ⇒ =
⇒ = ⇒ = +
∫ ∫
∫ ∫ ∫
 
 
3. Potência e energia nos capacitores 
 
 
0 0 0 0
( ) ( )
( ) ( )
2 2
0 0
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
1( ) ( ) ( ) ( )
2
W t v tt t
t t W t v t
dv tp t v t i t v t C
dt
dW tp t dW t p t dt
dt
dv tdW t C v t dW C vdv
dt
W t W t C v t v t
⎧ = ⋅ =⎪⎪⎨⎪ = ⇒ =⎪⎩
⇒ = ⇒ =
⎡ ⎤⇒ = + −⎣ ⎦
∫ ∫ ∫ ∫ 
 
Se 0( ) 0W t = e 0( ) 0v t = , 21( ) ( )2W t Cv t= 
 
 
 63
1 2
1 2
1 2
( ) ( ) ( ) ... ( )
( ) ( ) ( )...
( )
...
n
n
eq
eq n
v t v t v t v t
di t di t di tL L L
dt dt dt
di tL
dt
L L L L
= + + +
= + + +
=
∴ = + + +
 
Os indutores em série se associam 
como resistores em série. 
III. Associações de indutores e capacitores em série e em paralelo 
 
 
1. Associações de indutores 
 
A. Indutores em série 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B. Indutores em paralelo 
 
 
nL2L1L
)(1 ti )(2 ti )(tin
)(ti
)(tv ⇔
eqL
)(ti
)(tv
 
 
)(1 tv )(2 tv )(tvn)(tv
c
)(ti
)(tv
)(ti
1L 2L nL
eqL
 64
0 0 0
0 0
1 2
1 0 2 0 0
1 2
1 0 2 0 0
1 2 ( )
1
( ) ( ) ( ) ... ( )
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
1 1 1( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )
eq
n
t t t
n
nt t t
t
n
n t i t
L
i t i t i t i t
v t dt i t v t dt i t v t dt i t
L L L
i t v t dt i t i t i t
L L L
= + + +
= + + + + + +
⎛ ⎞⇒ = + + + ⋅ + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
∫ 14444244443
144424443
 
neq LLLL
1...111
21
+++= 
 
 
Os indutores em paralelo se associam como resistores em paralelo. 
 
 
Para 2 indutores, 
21
21
LL
LLLeq += . 
 
 
2. Associações de capacitores 
 
A. Capacitores em paralelo 
 
nC2C1C
)(1 ti )(2 ti )(tin
)(ti
)(tv
eqC
)(ti
)(tv
c
dt
tdvC
dt
tdvCCC
dt
tdvC
dt
tdvC
dt
tdvC
titititi
eq
n
n
n
)(
)()...(
)(...)()(
)(...)()()(
21
21
21
=
=+++=
=+++
=+++=
 
 
neq CCCC +++= ...21 
 
Os capacitores em paralelo se associam como 
condutâncias em paralelo. 
 65
B. Capacitores em série 
 
)(1 tv )(2 tv )(tvn)(tv
)(ti
)(tv
)(ti1C 2C eqCnC
⇔
 
4444 34444 21
444 3444 21 )(
00201
1
21
002
2
01
1
21
00
0 00
)(...)()()(1...11
)()(1...)()(1)()(1
)(...)()()(
tv
n
t
t
C
n
t
t
t
t
n
n
t
t
n
tvtvtvdtti
CCC
tvdtti
C
tvdtti
C
tvdtti
C
tvtvtvtv
eq
++++⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +++=
=++++++=
=+++=
∫
∫ ∫∫
 
neq CCCC
1...111
21
+++= . Os capacitores em série se associam como 
condutâncias em série. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 66
IV. Dualidade 
 
Definição: dois circuitos são duais se a equação de malhas que caracteriza um 
deles tem a mesma forma matemática que a equação nodal que 
caracteriza o outro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Grandeza Dual 
Tensão Corrente 
Carga Fluxo 
Resistência Condutância 
Indutância Capacitância 
Curto-circuito Circuito aberto 
Impedância admitância 
Nó (não-referência) Malha 
Nó de referência Malha externa (laço) 
Ramo de árvore Ramo de ligação 
Série Paralelo 
LKT LKC 
 
 
Exemplo: Determinação de um circuito dual utilizando a tabela acima 
 
Capacitor 
dt
dvCi = 
Indutor 
dt
diLv =
⎭⎬
⎫
↔
↔
LC
vi
Grandezas duais 
 67
 
V. Resposta natural de um circuito RL 
 
O circuito estava operando em regime permanente quando em 0=t a chave 
passa da posição A para a posição B. Determine )(til para ≥t 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
HL
R
R
R
VE
5
4
20
30
100
3
2
1
=
Ω=
Ω=
Ω=
=
 
c
1R C
2RLV
I 1G 2G
C
L
1. Colocar um nó em cada malha + 
um nó de referência 
 
2. Aplicar as regras de dualidade 
E
1R
0t =
A B
2R 3R
L
1R
2R 3R
Li
⇔ 1R 2R 3R
Li
1
E
R
eqR
 
t<0 (antes do chaveamento): regime permanente 
 68
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
3
3
3
3 3
3
( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
ln( ( )) ( )
( )
L R
L
L
L L
L L
R t kL
L
R tk L
L
V t V t
di tL R i t
dt
R Rdi t di tdt dt
i t L i t L
Ri t t k i t e e
L
K e i t Ke
−
−
+ =
+ =
= − ⇒ = −
⇒ = − + ⇒ = ⋅
⇒ =
∫ ∫
�
 
K depende das condições iniciais: 
0(0 )Li Ke K
+ = = 
 
Como há inércia de corrente no indutor, (0 ) (0 ) 2,5L Li i A K
− += = = 
4
5( ) 2,5
t
Li t e
−⇒ = 
1
3
2,5
(0 ) 2,5
eq
L
eq
L
ER
Ri A
R R
i A−
⋅
= =+
=
t= 0+ ( logo depois do chaveamento) 
E
1R
2R 3R
L
⇔ 3R
L
( )LV t
( )Li t
3
( )RV t
 
 69
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcular L
di
dt
em 0t += e 0t −= : 
 
 
a) utilizando as expressões da corrente em t = 0- e em t = 0+ 
 
0,8 0,8
0 0
(0 ) 2,5 0,8 2,5 2 /
(0 ) 0
t t
L t t
L
ddi e e A s
dt
di
dt
+ − −
= =
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − ⋅ = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
=
 
 
b) Utilizando o circuito logo depois do chaveamento 
 
(0 ) (0 ) 4 2,5(0 ) (0 ) 2 /
5
L L
L L
di div L v A s
dt dt
+ ++ + − ⋅= ⇒ = = = − 
 
Calcular 3
0
( )R
t
dV t
dt +=
: 
 
3
3
3
0,8
3 0
( )
(0 ) (0 ) 4 ( 0,8) 2,5 8 /
R L
R tL
t
V R i t
dV diR e V s
dt dt
+ + −
=
=
⇒ = = ⋅ − ⋅ = −
 
 
 
 
 
 
 
 
( )t s
( )( )Li t Ampères
2,5
0
 70
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO VII 
 
ANÁLISE DE CIRCUITOS 
SENOIDAIS 
 
 71
 
1. Fontes senoidais. 
 
Fontes de tensão (corrente) senoidal produzem uma tensão (corrente) que 
varia com o tempo. 
 
wtIti p sen)( = wtVtv p cos)( = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
obs.: 
 
• A função senoidal é uma função periódica isto é ela se repete em 
intervalos regulares. 
• Um ciclo da função é um trecho que começa em uma certa amplitude 
e termina na mesma amplitude. 
• O tempo necessário para percorrer um ciclo é chamado período. 
• A freqüência é o número de ciclo por segundo ][1 Hz
T
f = ou ciclo/s. 
• Freqüência angular ]/[22 srad
T
wwt ππ =→= 
• Função cosseno defasado )cos()( ϕ+= wtAtf 
Onde ϕ é o ângulo de fase da função cosenoidal e é geralmente 
apresentado em graus. 
 
Ex.: )302cos(20)( o+= ttv 
 
 
 
)
180
.301.2cos(20)1( π+=v
 
rad/s 
Transformação para radianos 
0 1.5708 3.1416 4.7124 6.2832 7.854 9.4248
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
wt
v(t)
Vp x
rad0 1.5708 3.1459 6.28324.7124 6.2832 7.854 9.4248
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
wt
i(t)
1 ciclo 
Ip x
rad
 72
• Para determinar a defasagem entre 2 funções senoidais. 
 
Seja 
 )cos()( 11 α+= wtVtv p e )cos()( 22 β+= wtVtv p 
então,)(1 tv está adiantado de βα − em relação à )(2 tv 
 
Ex.: 1( ) 100 (7 30 )v t sen t= − o 
 )107cos(40)(2
o+= ttv 
 
 
 
 )1207cos(100)90307cos(100)(1
ooo −=−−= tttv 
 )1007sen(40)10907cos(40)(2
ooo +=++= tttv 
 
)(1 tv está adiantada de 
ooo 13010030 −=−− em relação à )(2 tv . 
ou 
)(1 tv está atrasada de 
o130+ em relação à )(2 tv . 
 
 
2. Respostas senoidais 
 
 
 
)()(cos tvtVwtV LRp += 
Obter uma resposta em Regime Permanente senoidal corresponde a obter a 
solução particular da equação diferencial (1). 
 
A solução particular da equação diferencial tem a mesma forma que a fonte 
de excitação, então vamos supor que ( ) cos( )pi t I wt ϕ= + . 
 
Objetivo: determinar pI e ϕ . 
RV
wtV p cos
LV )(ti
LR Hipótese: circuito está em regime permanente 
dt
tdiLtiRwtVp
)()(.cos += (1) 
 73
)sen()()cos(.cos ϕϕ +−++= wtIwLwtIRwtV ppp 
ora 
o ABBABA cos.sencos.sen)sen( ±=± 
o BABABA sen.sencos.cos)cos( ±=± 
 
]cos.sencos.[sen]sen.sencos.[cos.cos wtwtLwIwtwtIRwtV ppp ϕϕϕϕ +−−=
wtwLIRIwtLwIRI pppp sen].cos.sen.[cos].sen.cos.[ ϕϕϕϕ −−+−= 
 
Por identificação de variável 
 
ppp VwLIRI =− ϕϕ sencos (2) 
 0cossen =−− ϕϕ pp wLIRI (3) 
 
 fazendo as eqs. (2)2 + (3)2, temos: 
 
 22222 )( ppp VIwLIR =+ ⇒ 22 )(LwR
V
I pp += 
 e da eq. 3 temos, 
 
 ϕϕ cossen pp wLIRI −= 
 ⇒ 
R
wLarctg−=ϕ 
 portanto, 
 
 )cos(.
)(
)(
22 R
wLarctgwt
LwR
V
ti p −+= 
 
podemos constatar que a corrente está atrasada de ϕ em relação à tensão. 
 
 
3. Fasores. 
 
 Definição: Fasor é um número complexo que representa uma tensão ou 
uma corrente alternada, cuja parte real representa uma grandeza co-senoidal 
em t=0. 
 
 O conceito fasor é baseado na identidade de Euler: 
 θθθ sencos je j ±=± 
 
 74
A transformada fasorial de uma tensão senoidal é feita da seguinte forma: 
 
{ }
{ }
{ }jwtjp
jwtjwt
p
wtj
p
p
eeVe
eeeV
eeV
wtVv
ϕ
ϕ
ϕ
ℜ=
ℜ=
ℜ=
+=
+ )(
)cos(
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⇒ Transformada fasorial transfere a função senoidal do domínio do tempo para 
o domínio da freqüência. 
 
Ex.: )502cos(100)(1 += ttv [V] o& 63202 −∠=V [V] 
 
 501001 ∠=V& [V] )63cos(20)(2 o−= wttv [V] 
 
 
4. Excitação Complexa 
 
 
v(t)
rede
linear
i(t)
 
 
 
 )cos()(1 vp wtVtv θ+= ⇒ )cos()(1 ip wtIti θ+= 
 )sen()(2 vp wtjVtv θ+= ⇒ )sen()(2 ip wtjIti θ+= 
 
Utilizando o conceito de superposição 
 [ ] )(21 )sen()cos()()()( vwtjpvvp eVwtjwtVtvtvtv θθθ +=+++=+= 
Fasor tensão 
ϕϕϕϕ sinjVVVeVV pppjp +=∠== cos&
Forma retangular 
Forma polar 
 75
 
⇒ [ ] )(21 )sen()cos()()()( iwtjpiip eIwtjwtItititi θθθ +=+++=+= 
 
 
rede
linear
)( vwtj
peV
θ+ )( iwtj
peI
θ+
 
 
 Fator jwte aparece em todos os termos, o mesmo pode então ser 
suprimido ficando subentendido. 
 
 Assim o circuito no domínio da freqüência é: 
 
rede
linear
vj
peV
θ ij
peI
θ
 
 
 
5. Elementos passivos no domínio da freqüência 
 
5.1) Para o resistor. 
 
 
)(tv
)(ti
R
 
 
 Aplicando a Lei de Ohm 
 
 )(.)( tiRtv = ⇒ )()( . iv wtjpwtjp eIReV θθ ++ = 
 
Utilizando uma excitação complexa do tipo 
)()( vwtjpeVtv
θ+= 
teremos uma corrente do tipo 
)()( iwtjpeIti
θ+= 
 76
 iv jp
j
p eIReV
θθ .= ⇒ no domínio da 
freqüência: 
 IRV && .= 
 O circuito no domínio da freqüência é 
 
 
V&
I&
R
 
 
 
5.2) Para o indutor 
 
 
)(tv
)(ti
L
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No indutor, a corrente esta atrasada de 90° em relação à tensão. 
 
 5.3) Para o capacitor 
 
 
 
 
Tensão e corrente em fase 
dt
tdiLtv )()( =
 
 
)()( iv wtj
p
wtj
p eIdt
dLeV θθ ++ = 
 )( iwtjpejLwI
θ+= 
iv j
p
j
p eIjLweV
θθ .=
o&&& 90.. ∠== ILwIjLwV
V&
I&
jLw
dt
tdvCti )()( =
)()()( ][ vvi wtjp
wtj
p
wtj
p ejCwVeVdt
dCeI θθθ +++ ==)(tv
)(ti
C
 77
 
 VjCwI && = 
 
 
I
jwC
V && 1= 
 
 o
&& 90−∠=
Cw
IV 
 
 No capacitor, a corrente está adiantada de 90° em relação à tensão. 
 
 
Exemplo: Determinar i(t) em regime permanente. 
wtV p cos
)(ti
LR
 
 
 
No domínio da freqüência: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
vj
p
j
p ejCwVeI i
θθ = V&
I&
jCw
1
o0∠pV
I&
jLwR
 
R
LwarctgwLR
V
jwLR
V
I pp
∠+
∠=+
∠=
22 )(
00 oo&
22 )(
0
wLR
R
LwarctgV
I
p
+
−∠∠
=
o
&
 
)cos(
)(
)(
22 R
Lwarctgwt
LwR
V
ti p −+=
 78
Ω
6. Impedância ( Z ) e admitância (Y ) 
 
a) Impedância( Z ) 
 
É a razão entre o fasor tensão e o fasor corrente. 
 
 
(Ω) 
 
 
 
 { }
{ } reatânciaBZm
aresistênciAZe
==Ι
==ℜ
 
 
As impedâncias se associam da mesma forma que as resistências. 
 
Série neq ZZZZ +++= ...21 
Paralelo 
neq ZZZZ
1...111
21
+++= 
 
b) Admitância (Y ) 
 
É a razão entre o fasor corrente e o fasor tensão em um elemento. 
 
 
 
 ( S ou ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I
VZ &
&=
V&
I&
Z Z é um número complexo mas não é um fasor 
jBAZZ +=∠= θ
V
IY &
&=
VYI && = ZY
1=
jBGYY y +=∠= θ
Condutância Susceptância 
V&
I&
Y
 79
 Admitâncias se associam da mesma forma que as capacitâncias. 
 
 Série 
neq YYYY
1...111
21
+++= 
 
 Paralelo neq YYYY +++= ...21 
 
Observação: jbaZ += 
 22
11
ba
jbaBjG
jbaZ
Y +
−=+=+== 
 
 aG ≠ 22 ba
aG += 
 bB ≠ 22 ba
bB += 
 
 
7. Análise de circuitos alimentados por fontes senoidais. 
 
 Determinar o circuito equivalente no domínio da freqüência do 
circuito estudado. 
 
7.1) Análise nodal 
 Mesmo procedimento que no capítulo 4. 
 
7.2) Análise de malha 
 Idem capitulo 4. 
7.3) Transformação de fontes 
 Ver capítulo 4. 
 
7.4) Teorema de Thèvenin ou Norton 
 obs.: fonte teste = fonte de amplitude TI e fase 0. 
 o& 0∠= TT II 
 
7.5) Superposição 
 80
)30
10cos(10
o+
t
)(tvR Ω20
Ω5
H2
V15 )60
20sen(20
o+
t
 
 
sradw /10= 
 
 
 
 
 
 
 
sradw /0= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
sradw /20= 
 
 
 
 
o& 3010
)20//20(5
5
1 ∠+= jV
VV o& 69,377,21 −∠=
′
1V& Ω20
Ω5
V15
 ″
1V& Ω20
Ω40j
o6020∠
o3010∠
1V& Ω20
Ω5
Ω20j
VV 151 −=′& 
o& 6020
)40//5(20
40//5
1 ∠+
−=″
j
jV
 81
″+′+≠ 111 VVVVR &&&& pois não estão na mesma freqüência. 
 
VtttvR )7,6520sen(98,315)69,310cos(77,2)(
oo −−−−= 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Diagramas fasoriais 
 
São representações no plano complexo de todos os fasores de tensão e 
de corrente que aparecem num circuito. Elas permitem visualizar a defasagem 
entre os fasores tensões e correntes.Regra para construção dos diagramas: 
 
• No resistor a corrente está em fase com a tensão. 
• 
• No indutor a corrente está atrasada de 90° em relação a V. 
• 
• No capacitor a corrente está adiantada de 90° em relação a V. 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: 
 
LI CI RI
mH2,0 RFμ8000I V&
 
 
sradw /5000= 
 
o L C RI I I I= + +& & & & 
Use um ou mais diagramas
fasoriais para determinar R para
que a corrente no resistor RI
fique atrasada de 45° em relação
à corrente da fonte 0I . 
 82
CI&
SI&
LI&
LC II && +
R
VI PR =& V
&
pV3
45
o45
 
P
P
V
R
V
tg
3
45 =o ⇒ 
R
VV PP =3 ⇒ Ω= 333.0R 
 
 
 
 
 
 
o
o&& 90
102,05000
0
3 −∠=××
∠== − pp
L
L Vj
V
Z
VI
o&& 904 ∠== p
C
C VZ
VI
R
V
I pR
o
& 0∠= 
 83
Exemplo 2: No circuito abaixo, o amperímetro indica 5 A. Adotando o fasor V& 
como referência, desenhar o diagrama fasorial e determinar SV& . 
A
Ω5
Ω10 Ω4jSV&
I&
1I&
2I&
XV&
V&
 
 
VIjV 20544 2 =×=×= && 
 
A
V
I 2
10
20
101
===
&
& AI 52 =& 
 
21 III &&& += 
 
39,525 22
2
2
2
1 =+=+= III &&& 
o
&
&
2.68
2
5
1
2 −=−== arctg
I
I
arctgiθ 
93,2639,555 =×== IVX && 
 
VVV XS &&& += 
 
Componente horizontal de 
VVVV iXS 30)2,68cos(93,2620cos =−+=+= o&&& θ 
Componente vertical de VVV iXS 25)2,68sen(93,26sen −=−== o&& θ 
 
VVS 05,39)25(30
22 =−+=& 
 
o8,39
30
25 −=−= arctg
SVθ 
][8,3905,39 VVS
o& −∠=
 84
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO VIII 
 
POTÊNCIA EM CIRCUITOS 
SENOIDAIS 
 
 85
 
1. Potência instantânea 
 
 
 
( ) ( ) ( )p t v t i t= 
 
 
 
 
 
2. Potência média 
 
 
 
0
0
1 ( )
t T
t
P p t dt
T
+
= ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Valores eficazes de corrente e tensão 
 
 
Método para comparar a potência média dissipada num resistor 
alimentada por forma de onda diferente. 
 
 
 
0I R
 
( ) cos( )pI t I tω ϕ= + R
 
 
 21 0P R I= P2 = P1 se ( ) cos( )pi t I tω ϕ= + 
 0 2pI I= 
 
Verificação: 
 
 Potência no resistor alimentado por CC 
 
rede
linear
( )i t
( )v t
( )p t
T ( )t s0t
 86
2
1 0P R I= 
 Potência no resistor alimentado por CA 
 
 
[ ]
2 2 2 2
2
1( ) ( ) cos ( ) cos (1 cos 2 )
2
1 cos2( )
2
p
p
p t Ri t R I t ora A A
R I
t
ω ϕ
ω ϕ
= = + = +
= + +
 
 
 
 1 2P P= ⇔ 
2
2
0 2
pR IR I = 
 
 0 0 22
p
p
I
I I I= → = 
 
 
Conclusão: Uma senoide com amplitude de pico igual a pI dissipa a mesma 
potência que uma corrente constante de valor 
2
pI sobre um resistor. 
 
 
Método genérico para determinar o valor eficaz de uma grandeza 
 
 
0
0
0
0
2
2 2
2
1 ( )
2
1 ( )
t Tp
rms t
t T
rms t
I
P R R I R i t dt
T
I i t dt
T
+
+
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠
=
∫
∫
 
 
 
Obs.: para senoide 
2
p
rms
I
I = , 
2
p
rms
V
V = 
 
 
 
 
 
 87
4. Potência em elementos passivos 
 
 
4.1. Caso geral (impedância qualquer) 
 v iϕ θ θ= − 
 ( ) cospv t V tω= 
 
0p p
p
V VVI I
Z ZZ
φ φϕ
°
° = = = − = − 
 ( ) cos( )pi t I tω ϕ= − 
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) cos( ) cos( )p pp t v t i t V t I tω ω ϕ= = − 
1 1( ) cos( ) cos(2 )
2 2p p
p t V I t t tω ω ϕ ω ϕ⎡ ⎤= − + + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ,ora 
[ ]1cos cos cos( ) cos( )
2
A B A B A B= − + + 
 
1 1( ) cos( ) cos(2 )
2 2p p p p
p t V I V I tϕ ω ϕ= + − 
 
( ) cos( ) cos(2 )rms rms rms rmsp t V I V I tϕ ω ϕ= + − ,ora 
 
cos( ) cos cos sin sinA B A B A B− = + 
 [ ]( ) cos( ) cos(2 )cos( ) sin(2 )sin( )rms rms rms rmsp t V I V I t tϕ ω ϕ ω ϕ= + + 
 [ ]( ) cos( ) 1 cos(2 ) sin( )sin(2 )rms rms rms rmsp t V I t V I tϕ ω ϕ ω= + + ������������������������������������ 
 
 
 
 potência instantânea na potência instantânea na 
 parte resistiva de Z parte reativa de Z 
 
• Potência média: 
0
1 ( ) cos( )
T
rms rmsP p t dt V IT
ϕ= =∫ , [ W ] 
V
ο
I
ο
Z Z φ=
 88
 
• Potência reativa: 
Valor de pico da potência instantânea da parte reativa. 
sin( )rms rmsQ V I ϕ= 
 
 4.2. Circuito resistivo 
 
 Tensão e corrente em fase. 
 
0v iθ θ ϕ= ⇒ = . 
 
 [ ]( ) 1 cos(2 )rms rmsp t V I tω= + 
 [ ]
0
1 1 cos(2 )
T
R rms rmsP V I t dtT
ω= +∫ 
 
2
2 rms
R rms rms rms
VP V I R I
R
= = = 
 0RQ = 
 
 
 4.3. Circuito exclusivamente indutivo 
 
 0 90 90v iθ θ ϕ= = − ° ⇒ = ° 
 ( ) sin(2 )rms rmsp t V I tω= 
 0LP = 
 
2
2 rms
L rms rms L rms
L
VQ V I X I
X
= = = 
 
 
4.4 Circuito exclusivamente capacitivo 
 
0 90 90v iθ θ ϕ= = ° ⇒ = − ° 
 ( ) sin(2 )rms rmsp t V I tω= − 
 0CP = 
 
2
2 rms
C rms rms C rms
C
VQ V I X I
X
= − = − = − 
 
 
 
 89
5. Potência aparente e fator de potência 
 
 
a) Potência aparente: 
 
rms rmsS V I= , [VA] potência desenvolvida pela fonte. 
 
b) Fator de potência: 
 
Fator de potência: coseno do ângulo da carga, ou coseno da defasagem 
entre a tensão e a corrente. 
cos( ) cos( )p v iF ϕ θ θ= = − [adimensional] 
Como a função coseno é uma função par, cos( ) cos( )v i i vθ θ θ θ− = − . 
Acrescenta-se “atrasado” ou “indutivo” se a corrente da carga é atrasada 
em relação à tensão nos seus terminais, e “adiantado” ou “capacitivo” se 
a corrente da carga é adiantada em relação à tensão. 
 
• Fluxo da potência num circuito: 
 
 
F
o
n
t
e
R
L
C
Carga 
 
• Relações adicionais: 
 
cos( )P S ϕ= 
sin( )Q S ϕ= 
2 2S P Q= + 
tan( ) Q
P
ϕ = 
 
 
 
 90
6. Potência complexa 
 
 
 
 
 
 v iφ θ θ= − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 cos( ) cos( )rms rms rms rms v iP V I V Iφ θ θ= = − 
 { }cos( ) sin( )rms rms v i rms rms v iP V I jV Iθ θ θ θ= ℜ − + − 
 { }( )v ijrms rmsP V I e θ θ−= ℜ 
 { }v ij jrms rmsP V e I eθ θ−= ℜ 
 { }*P V I° °= ℜ 
 { }P S= ℜ 
 Definindo a potência complexa 
*
S V I S φ° °= = 
 Portanto { }P S= ℜ 
 { }ImQ S S P jQ= = + 
 S S= 
 cos( )pF φ= 
 
rms iI I θ
° =
rmsV V vθ
° = Z Z φ=
 91
 
• Conservação da potência complexa: 
 
 
*
S V I
° °= ( )* *1 2S V I I° ° °= + 
* *
1 2S V I V I
° ° ° °= + 
1 2S S S= + 
⇒ Não importa como os elementos estão conectados entre eles, para 
determinar a potência complexa desenvolvida pela fonte, basta somar 
todas as potências complexas de cada elemento. 
 
 
• Triângulos de potência (interpretação geométrica da potência 
complexa): 
 
 
 
0ϕ > → carga indutiva 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Relações adicionais: 
 
V Z I
° °= 
2
* *
2 rms
rms
I
S V I Z I I S Z I
Y
° ° ° °= = ⇒ = = 
 
* 2
*
2
* *
rms
rms
VVV S Y V
Z Z
°
°= ⇒ = = 
I
°
V
°
1I
°
2I
°
S
P
Q
ϕ
 92
 
7. Correção do fator de potência 
 
 
Objetivo: Minimizar a troca de energia reativa entre a fonte e a carga, sem 
alterar a energia útil absorvida pela carga. 
 
 
S
P
Q
ϕ
'ϕ Q'
S'
 
 
Exemplo: Uma carga de 500 kVA com fator de potência igual a 0,6 
atrasado, é alimentado sob uma tensão de 13,8 kVrms. f = 60 Hz 
a) Determinar a corrente da carga 
b) Deseja-se corrigir o fator de potência para 0,9 atrasado, através da 
ligação de capacitores em paralelo com a carga. Determine o valor da 
capacitância requerida. 
c) Calcular a nova corrente da carga. 
 
Solução: 
a) 
3
3
500 10 36,2
13,8 10 rms
SI AV
×= = =× 
 
 
b) 31 500 10 53,13 cos( ) 0,6 53,13S VA ϕ ϕ° = × ° = ⇒ = ° 
 300 400k j k= + 
 300P kW= ' cos(0,9) 25,84Q arc= = ° 
 400Q kVAR= ' 333,33
cos( ')
PS kVAϕ= = 
 ' 'sin( ') 145,3Q S kVARϕ= = 
 
 
 
 
 
 
S
P
Q
ϕ
'ϕ Q'
S'
 93
Potência reativa do capacitor: 
' 254,7CQ Q Q kVAR= − = − 
 
 
Potência complexa no capacitor: 
 
*
CC CS V I P
° ° °= = 0C CjQ+ 
 
 
V
° C
 
 
 
 
*
CC CV I jQ
° ° = 
 
* 2
* *
C C
C C C
CC
VVV jQ jQ
ZZ
°
° = ⇒ = 
 
*1 1
C CZ Zjc jcω ω= ⇒ = − 22
C
C
QC
f Vπ= − 
 
 
 
3
3
254,7 10 3,55
2 60 13,8 10
C Fμπ
×= − =× × − × 
 
 c) 
3
3
' 333,33 10' 24,15
13,8 10
SI A
V
×= = =× 
 
 
 94
 
8. Transferência máxima de potência 
 
 Objetivo: obter LZ de modo que a potência ativa na carga seja máxima. 
SV
°
L L LZ R jX= +
S S SZ R jX= +
A
B
 
8.1 Carga puramente resistiva → L LZ R= 
 
 
SV
°
LR
SZ
LI
°
 
 
 S SL
S S LS L
V VI
R jX RZ R
° °
° = = + ++ 
 
2 2( )
S
L
S L S
V
I
R R X
= + + 
 
 Potência na carga: 
 
2
2
2 2( )
L S
L L L
S L S
R VP R I
R R X
= = + + max 0
L
L
L
dPP se
dR
= 
2 2
L S S SR R X Z= + = 
 95
8.2 Carga com RL fixo e XL variável 
 
 
SV
° LR
SZ
LI
°
A
B
LjX
 
 
( ) ( )
S
L
S L S L
VI
R R j X X
°
° = + + + 
 
 
2 2( ) ( )
S
L
S L S L
V
I
R R X X
°
° = + + + 
 
 Potência na carga: 
 
 
2
2
2 2
max
( ) ( )
L S
L L L L S L
S L S L
R V
P R I P se X X
R R X X
= = = −+ + + 
 
 
2
max 2( )
L S
L
S L
R V
P
R R
= + 
 
8.3 Carga com RL variável e XL fixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SV
LR
SZ
A
B
LjX
 96
 ( ) ( )2 2
S
L
S L S L
V
I
R R X X
=
+ + +
 
 
 ( ) ( )
2
2 2
L S
L
S L S L
R V
P
R R X X
= + + + ; max 0
L
L
L
dPP se
dR
= 
 
 então ( )22L S S LR R X X= + + 
 
 
8.4 Carga com RL variável e XL variável 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( )
2
2 2
L S
L
S L L S
R V
P
R R X X
= + + + 
 
 Fazendo LX variar: maxLP para L SX X= − . 
 Então: ( )
2
2'
L S
L
S L
R V
P
R R
= + . 
 
 Em seguida, fazendo LR variar: max
' 0LL L S
L
dPP se R R
dR
= ⇔ = . 
 Então: 
*
L S S SZ R jX Z= − = . 
 
SV
° LR
SZ
LjX
 97
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO IX 
 
CIRCUITOS TRIFÁSICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 98
1. Tensões trifásicas equilibradas 
• Um sistema de tensões trifásicas equilibradas é um conjunto de 3 
tensões senoidais com mesma a mesma amplitude, a mesma 
freqüência mas defasadas entre si de 120º. 
 
• As tensões são chamadas tensões de fase a, b, c. 
 
• Seqüência de fases (defasagem entre as tensões de fase): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seqüência abc, positiva ou direta 
0an PV V
° = ° 120bn PV V
° = − ° 120cn PV V
° = + ° 
bnV
°
cnV
°
anV
°
 
 
Seqüência acb, negativa ou indireta 
 0an PV V
° = ° 120bn PV V
° = ° 120cn PV V
° = − ° 
 
 
0an bn cnV V V
° ° °+ + = 
 
 
 
bnV
°
cnV
°
anV
°
 99
• Tipos de ligações possíveis de um gerador 3φ ideal: 
 
caV
°
bcV
°
abV
°
a
c
b
 
 
 
 tipo Y tipo Δ 
 
 
2. Análise do circuito Y-Y (equilibrado) 
 
anV
°
cnV
°
bnV
°
a
c b
A
C
B
n N
NnI
°
aAI
°
bBI
°
cCI
°
Z
Z Z
 • Tensões nas fases: 
 
Tensões entre o neutro e cada uma das linhas, ou tensões nos 
terminais de cada elemento. 
Na fonte: anV
°
, bnV
°
, cnV
°
 
Na carga: ANV
°
, BNV
°
, CNV
°
 
 
 
 
 
anV
°
cnV
°
bnV
°
a
c
b
 100
• Tensões de linhas: 
 
Tensões entre as linhas 
Na fonte = na carga : abV
°
, bcV
°
, caV
°
. 
 
• Corrente no neutro: 
 
Nn aA bB cCI I I I
° ° ° °= + + 
1 0an bn cnNn an bn cn
V V V
I V V V
Z Z Z Z
° ° °° ° ° °⎛ ⎞= + + = + + =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
Portanto, não existe corrente circulando no neutro num sistema 
equilibrado. Então: 
 
⇒ Quando existe impedância de linha no neutro, o mesmo pode 
ser considerado como um curto circuito. 
 
⇒ Quando o neutro não está disponível, o mesmo pode ser 
colocado no circuito para efeito de cálculo. 
 
 
• Relação entre as tensões de fase e de linha: 
 
Supondo seqüência ⊕ então: 
 0an PV V
° = ° 
 120bn PV V
° = − ° 
 120cn PV V
° = ° 
 Sabendo que ab an nbV V V
° ° °= + 
 0 120an bn P PV V V V
° °= − = ° − − ° 
 3 3(cos( 120 ) sin( 120 ))
2 2P P P
V V j V j
⎡ ⎤= − − ° + − ° = +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
Logo 
 3 30ab PV V
° = ° 
 3 90bc PV V
° = − ° da forma mais geral fase PV V ϕ
° = 
 3 150ca PV V
° = ° 3 30linha PV V φ
° = + ° 
 
 101
bnV
°
cnV
°
anV
°30°
abV
°
 
 
 
 
• Circuito monofásico equivalente (válido somente para sistema 
equilibrado): 
 
anV
°
Z
bnV
°
cnV
°
a,b,c A,B,C
n N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 102
3. Análise do circuito Y-Δ (equilibrado) 
 
anV
°
cnV
°
bnV
°
a
c
b
A
CB
n
aAI
°
bBI
°
cCI
°
Z Δ
ABI
°
BCI
°
CAI
°
Z Δ
Z Δ
 
 Correntes de fase: 
 
Na carga: , ,AB BC CAI I I
° ° °⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Na fonte: , ,aA bB cCI I I
° ° °⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 Correntes de linhas: 
 
Na carga = na fonte: , ,aA bB cCI I I
° ° °⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
• Determinação das correntes de linhas: 
 
 
 
 
Ex.: anaA
Y
V
I
Z
°° = cncC
Y
V
I
Z
°° = 
 
 bnbB
Y
V
I
Z
°° = 
 
 
 
Circuito monofásico equivalente 
aAI
°
3Y
ZZ = �
a,b,c A,B,C
n N
cCI
°
bBI
°
 103
• Determinação das correntes de fases nas cargas pela relação entre 
correntes de linhas e correntes de fase: 
 
aA AB CAI I I
° ° °= − 
Supondo seqüência ⊕: 0AB pI I° °= ° 
 120BC pI I
° = − ° 
 120CA pI I
° = ° 
 
0 120aA p pI I I
° = ° − ° 
(cos(120 ) sin(120 ))aA p pI I I j
° = − ° + ° 
3 3
2 2aA p
I I j
° ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 
 
3 30aA pI I
° = − ° 
3 150bB pI I
° = − ° 
3 90cC pI I
° = ° 
da forma mais geral, 
0fase pI I
° = ° 
3 30linha pI I φ
° = − ° 
 
 Observação: se o gerador estiver ligado em Δ, substitui-se o mesmo por 
um gerador equivalente ligado em Y tal que a tensão de linha senha a mesma. 
 
 
 
a
c
b
220 90
3
°
220 30
3
− °
220 150
3
− °
 
 seqüência ⊕ 
 3 30 30
3
linha
linha fase fase
V
V V V= ° ⇒ = − ° 
220120°
a
c
b
220 0°
220 120− °
 104
4. Circuitos 3φ desequilibrados 
 
4.1. Carga desequilibrada em Y com neutro 
 
A
C
B
N
NI
°
AI
°
BI
°
CI
°
AZ
BZ
CZ
 
 3 circuitos independentes. 
 0N A B CI I I I
° ° ° °= + + ≠ 
 Neste caso ANA
A
V
I
Z
°° = 
 BNB
B
V
I
Z
°° = 
 CNC
C
V
I
Z
°° = 
 
 4.2. Carga desequilibrada em Y sem neutro 
anV
°
cnV
°
bnV
°
AI
°
BI
°
CI
°
BZ
AZ
CZ
1I
2I
 
 Utiliza-se o método das malhas ou análise nodal. 
 105
 4.3. Carga desequilibrada em Δ 
 
• Caso não se conhece as tensões de linha na carga, substitui-se o 
circuito Δ por seu equivalente em Y, e utiliza-se o método das malhas.⇔ 
 
 
 
• Conhece-se as tensões de linha na carga: 
 
anV
°
cnV
°
bnV
°
A
CB
aI
°
1Z
ABI
°
2Z
3Z
 
 
1
AB
AB
VI
Z
°° = 
2
CA
CA
V
I
Z
°° = => a CA ABI I I
° ° °= − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
gZ
gZ
gZ
1Z 2Z
3Z
 106
5. Potência em sistema 3φ 
 
 
A A AZ Z φ= 
B B BZ Z φ= 
C C CZ Z φ= 
 
, , , ,, , A B C A B CA B C v iφ θ θ= − 
 Tensões de fase 
instantâneas: 
 Correntes de fase 
instantâneas: 
 ( ) cos( )
AN Ap vAv t V tω θ= + ( ) cos( )AN Ap iAi t I tω θ= + 
 ( ) cos( )
BN Bp vBv t V tω θ= + ( ) cos( )BN Bp iBi t I tω θ= + 
 ( ) cos( )
CN Cp vCv t V tω θ= + ( ) cos( )CN Cp iCi t I tω θ= + 
 
 Sabendo que [ ]1cos cos cos( ) cos( )
2
A B A B A B= + + − 
 
Potências instantâneas em cada fase: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos ( ) ( ) cos 2
A
B
C
A AN A A rms A rms A A rms A rms v A
B B B B B B B B B
C C C C C C C C C
P t v t i t V t I t V t I t tφ ω θ φ
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= = + + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
 
 
Potência instantânea total: ( ) ( ) ( ) ( )A B Cp t p t p t p t= + + 
 
Potência ativa total: 
cos cos cos
rms rms rms rms rms rmsA B C A A A B B B C C CP P P P V I V I V Iφ φ φ= + + = + + 
 
 
 5.1. Para um sistema equilibrado 
 
 
rms rms rmsA B C rmsV V V V= = = 
 A B C A B CZ Z Z Z φ φ φ φ= = = ⇒ = = = 
 
rms rms rmsA B C rmsI I I I= = = 
 
• Potência instantânea: ( ) 3 cosrms rmsp t V I ϕ= 
 
 
 
 
A
C
B
( )AI t
( )BI t
( )CI t
AZ
BZ
CZ
 107
• Potência média: 3 cosrms rmsP V I ϕ= 
 
→ Para carga ligada em Y 
 fase linhaI I= 
 3 fase linhaV V= 
 3 cos 3 cos
3
linha
Y linha Y linha linha
V
P I P V Iϕ ϕ= ⇒ = 
 
→ Para carga ligada em Δ 
 fase linhaV V= 
 3 fase linhaI I= 
 3 cos 3 cos
3
linha
linha linha linha
I
P V P I Vϕ ϕ= ⇒ =� � 
 
 
YP P= � 
 
Resumo: V e I em valores eficazes. 
 
 Por fase Total 
Potência ativa cosf f fP V I ϕ= 
 
3 cos 3 cosT f f L LP V I V Iϕ ϕ= =
Potência reativa sinf f fQ V I ϕ= 
 
3 sin 3 sinT f f L LQ V I V Iϕ ϕ= =
Potência aparente f f fS V I= 
 
3 3T f f L LS V I V I= = 
Potência complexa 
 
*
ff fS V I
° ° °= 
*
3T f fS V I
°° °= 
Fator de potência cospF ϕ= 
 
cospF ϕ= 
 
 
5.2. Para um sistema desequilibrado 
 
 Potência ativa total: T A B CP P P P= + + 
 Potência reativa total: T A B CQ Q Q Q= + + 
 Potência aparente total: 2 2T T TS P Q= + 
 Fator de potência: cos TT
T
P
S
ϕ = 
 Potência complexa total: T A B CS S S S
° ° ° °= + + 
 
 
 108
6. Medida da potência média em um circuito 3φ 
 
 
 6.1. O Wattímetro 
 
I
V
C
A
R
G
A
bobina da tensão
(resistência alta)
bobina da corrente
(resistência baixa)
 
 
 
 Observação: Bobina da corrente em série com a carga 
 Bobina da tensão em paralelo com a carga. 
 
 cos( )v iW V I θ θ= − 
 
 
 6.2. O método dos dois Wattímetros 
 
 
 
1 cos( )ac aac a v IW V I θ θ= − 
 
2 cos( )bc bbc b v IW V I θ θ= − 
 
1 2P W W= + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�
ou
Y
a
c
b
1W
2W
 109
Exemplo: Se a carga estiver ligada em Y, e o gerador ligado em Y: 
 
 Seqüência ⊕ 
 
 0anV V= ° 
 120bnV V= − ° 
 120cnV V= ° 
 
 Z Z ϕ= 
 
 3 30linha faseV V= ° 
 3 30bc bnV V
° = ° 
 3 120 30bcV V
° = − ° ° 
 3 90bcV V
° = − ° 
 
 ac caV V
° °= − 
 3 30ca cnV V
° = ° 
 3 30 120caV V
° = ° ° 
 3 150caV V
° = ° 
 
 3 150 3 330 3 30V V V V
°⇒ = − ° = ° = − ° 
 
 0ana
V VI I
ZZ
ϕϕ
°° °= = = − 
 120 120bnb
V VI I
ZZ
ϕϕ
°° − °= = = − − ° 
 
 1 3 cos( 30 ( ))W V I ϕ= − ° − − 2 3 cos( 90 ( 120 ))W V I ϕ= − ° − − ° 
 1 cos( 30 )L LW V I ϕ= − ° 2 cos( 30 )L LW V I ϕ= + ° 
 
 
Obs.: Para o sistema equilibrado é possível determinar o fator de potência 
da carga. 
 
[ ]1 cos( ) cos(30 ) sin( ) sin(30 )L LW V I ϕ ϕ= ° + ° 
[ ]2 cos( ) cos(30 ) sin( ) sin(30 )L LW V I ϕ ϕ= ° − ° 
 
 
 110
2 1( ) 2 cos( ) cos(30 )L LW W V I ϕ+ = ° 2 1
2 1
cos(30 ) cos( )
sin( ) cos(30 )
W W
W W
ϕ
ϕ
+ °= −− ° 
 
2 1( ) 2 sin( ) sin(30 )L LW W V I ϕ− = − ° 
 
 
2 1
2 1
3 cos( ) 32
1 tan( )sin( )
2
W W
W W
ϕ
ϕϕ
+ −= − =− 
1 2
1 2
tan( ) 3
W W
W W
ϕ −= + 
 
⇒ 1 2 tan( ) 0 0 cos( ) 1W W ϕ ϕ ϕ= = ⇒ = ⇒ = ⇒ carga resistiva 
 1 2W W= com sinais apostos → carga reativa pura 
 1 2 0W W ϕ> ⇒ > ⇒ carga indutiva 
 1 2 0W W ϕ< ⇒ < ⇒ carga capacitiva 
 
 
 
 
 111
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO X 
 
INTRODUÇÃO AOS 
CIRCUITOS DE SELEÇÃO 
DE FREQÜÊNCIAS 
 
 112
 
1. Introdução 
 
 
Até agora, em nossas análises de circuitos com fontes senoidais, supomos 
que a freqüência da fonte era constante. Neste capitulo, vamos estudar o 
efeito da variação da freqüência sobre as tensões e correntes do circuito ⇒ 
resposta em freqüência do circuito. 
 
 
jLω
se ω = ∞ ⇔
0se ω = ⇔
 
 
 
1
jCω
se ω = ∞ ⇔
0se ω = ⇔
 
 
Escolhendo adequadamente os valores das componentes e a forma de 
ligação entre eles, podemos montar circuitos que deixam passar apenas 
sinais cujas freqüências estejam dentro de uma certa faixa ⇒ circuitos de 
seleção de freqüência ou Filtros. 
 
Exemplos de aplicação: telefone, televisão, satélites, rádios, equalizadores, 
etc. 
 
Principais tipos de filtro: filtro passa-baixas, filtro passa-altas, filtro de banda 
de passagem, filtro de banda de rejeição. 
 
Estes filtros são chamados filtros passivos, pois são construídos a partir de 
componentes passivos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 113
2. Filtros passa-baixas 
 
 
iV oV
R
C
 
Para identificar o tipo de filtro, examina-se o gráfico da resposta de 
freqüência no domínio da freqüência. 
iV
°
oV
°
R
jLω
 
 
 ( )i oo
i
RV V RV H j
R jL R jLV
ωω ω
° °° °
°= ⇒ = =+ + 
 
 
2
2
( ) ( )
R R
L LH j H j
R Rj
L L
ω ω
ω ω
° = ⇒ =
+ ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠
 
 
 ( ) arctan Lj
R
ωθ ω = − 
 
 Gráfico de amplitude: 
 
 
 
 
 
Para freqüências 
altas o circuito deixa passar 
pouco sinal. 
 
 
iV oVR
L
0
1
1
2
( )H jω
ωcω
Banda
rejeitada
Banda
passante
 114
 Gráfico de fase: 
 
 
Tensão de saída 
atrasada de 90º em 
relação à tensão de 
entrada. 
A freqüência limite 
entre a banda rejeitada e 
a banda passante é 
chamada freqüência de 
corte cω . Ela corresponde 
à freqüência pela qual 
max
1( )
2c
H j Hω = .⇔ 
Amplitude da função de saída é igual a pelo menos 70,7% do valor máximo 
possível. 
 
Razão da escolha de max
2
H para definir cω : 
 
• Potência máxima na saída: 
2
max1
2
R
R
V
P
R
= 
 
• Potência na saída quando cω ω= : 
 
max max
1 1( ) ( )
2 2c o R c R
H j H V V j Vω ω= ⇒ ⇒ = 
 
2
2 2max
max
1
( )1 1 12
2 2 2 2c
R
R
RR c
P
V VV j
P
R R Rω
ω
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = =
123
 
 
1
2c R
P Pω = 
 
No limite entre a banda rejeitada e a banda passante a potência média 
fornecida à carga = 50% da potência média máxima. 
 
 cω = freqüência de meia potência. 
 
 ⇒ Dentro da banda passante, a potência fornecida a uma carga é pelo 
menos 50% da potência média máxima. 
0( )jθ ω
90− ° ω
 115
3. Filtros de banda de passagem 
 
 Circuitos que deixam passar sinais cujas freqüências estejam dentro de 
uma certa faixa e rejeitam sinais cujas freqüências estejam fora desta faixa. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 No domínio da freqüência: 
 
 
iV
°
R
1
jCωjLω
i
°
 
 
 
 
1