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Mecânica I - Poli - Breve resumo - Eixo Central

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Uma dedução para a equação do Eixo Central 
(Baseada na demonstração presente em França, L. N. F. Matsumura, A. Z. - Mecânica Geral, 2ª 
Edição, Edgard Blücher, 2004, Pág. 16). 
 
Considere o sistema de forças aplicado a um corpo rígido qualquer (Fig. 1). 
 ⃗ 
 ⃗ 
 
 
 
 ⃗ 
 ⃗ 
 
Figura 1 – Sistema de forças . 
 
Efetuando-se a sua redução ao polo , obtemos o sistema equivalente de resultante ⃗⃗ 
e binário ⃗⃗⃗ (Fig. 2). 
 
 ⃗⃗⃗ 
 
 
 ⃗⃗ 
 
 
 
 
Figura 2 – Sistema equivalente reduzido ao polo . 
 Fixemos um sistema ortogonal de referência de modo que tenhamos ⃗⃗⃗ 
pertencente ao plano e ⃗⃗ sobre o eixo . 
Se deslocarmos a resultante ⃗⃗ do ponto para pontos arbitrários do plano , 
encontraremos alguns para os quais o momento resultante do sistema tornar-se-á paralelo a 
 ⃗⃗. O conjunto dos pontos que possuem essa propriedade define uma reta, que denominamos 
eixo central (Fig. 3). 
 
 
 
 
 
 
 ⃗⃗ ⃗⃗⃗ 
 Eixo Central 
Figura 3 – Eixo Central. 
 
Dessa forma, sendo 
 ⃗⃗ 
a reta que representa o eixo central do sistema, temos que para todo o ponto será válida a 
relação 
 ⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
onde ⃗⃗⃗ é o momento do binário que resulta da aplicação da resultante ⃗⃗ sobre um ponto 
qualquer sobre a reta. 
 Para obtermos a equação geral do eixo central, basta que encontremos o ponto , 
intersecção do eixo com o eixo central, ponto que corresponde a na equação da 
reta, em função de ⃗⃗ e ⃗⃗⃗ . Para tanto, podemos começar igualando a relação com a 
fórmula de mudança de polo: 
 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
 ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
 ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
 O valor de pode ser encontrado a partir da relação anterior. Para isso, façamos o 
produto escalar de ambos os lados da equação por ⃗⃗: 
 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
 ⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
 
 
 
 
 
 ⃗⃗ 
 Observe que o produto misto ⃗⃗ ⃗⃗ por conta de o vetor ⃗⃗ estar 
presente em duplicidade (produtos mistos nos quais ocorrem vetores paralelos são nulos). 
Note também que ⃗⃗⃗ ⃗⃗ é o invariante escalar. 
 Substituindo-se o valor encontrado para na equação original, obtemos 
 ⃗⃗ ⃗⃗⃗ 
 
 
 ⃗⃗ 
Como o vetor é simultaneamente ortogonal a ⃗⃗ e a ⃗⃗⃗ 
 
 
 ⃗⃗, podemos 
estabelecer também a relação 
 ⃗⃗ ( ⃗⃗⃗ 
 
 
 ⃗⃗) 
 A substituição de em permite nos encontrar o valor de : 
 ⃗⃗ ⃗⃗⃗ 
 
 
 ⃗⃗ 
 [ ⃗⃗ ( ⃗⃗⃗ 
 
 
 ⃗⃗)] ⃗⃗ ⃗⃗⃗ 
 
 
 ⃗⃗ 
 {( ⃗⃗ ⃗⃗) ( ⃗⃗⃗ 
 
 
 ⃗⃗) [( ⃗⃗⃗ 
 
 
 ⃗⃗) ⃗⃗] ⃗⃗} ⃗⃗⃗ 
 
 
 ⃗⃗ 
 ( ⃗⃗⃗ 
 
 
 ⃗⃗) ⃗⃗⃗ 
 
 
 ⃗⃗ 
 
 
 
 
 Observe que para a resolução do produto vetorial duplo usamos a relação 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
 Substituindo-se o valor encontrado para em e isolando-se , obtemos 
 
 
 
 ⃗⃗ ( ⃗⃗⃗ 
 
 
 ⃗⃗) 
 
 ⃗⃗ ⃗⃗⃗ 
 
 
 
 ⃗⃗ ⃗⃗⃗ 
 
 
 Substituindo-se em , obtemos finalmente 
 
 ⃗⃗ ⃗⃗⃗ 
 
 ⃗⃗ 
 
 
 
 
 
 ⃗⃗ ⃗⃗⃗ 
 
 
 
 ⃗⃗ 
 ⃗⃗⃗ 
 ⃗⃗ 
 Eixo Central 
Figura 4 – Equação do Eixo Central. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
*Trabalho elaborado pela equipe de monitores de PME 2100, sob a supervisão do Professor Flávio Celso Trigo.

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