aula 3 Movimento curvilíneo

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MECÂNICA DOS SÓLIDOS II 
Prof. Judas Tadeu Gomes de Sousa 
 
 Apresentar em termos vetoriais as variáveis 
cinemáticas que caracterizam o movimento 
de um ponto material no espaço; 
 Estudar o movimento de uma partícula ao 
longo de uma trajetória curva; 
 Aplicar esses conhecimentos para analisar o 
lançamento de projéteis; 
 
 
 Seguindo a notação apresentada pela maioria 
dos livros textos sobre esse assunto 
apresentaremos todas as grandezas vetoriais 
em negrito. Por exemplo: 
◦ Vetor de posição r e seu módulo r 
◦ Vetor velocidade v e seu módulo v; 
◦ Vetor aceleração a e seu módulo a; 
 Denomina-se movimento curvilíneo geral todo movimento de 
um ponto material cuja trajetória é uma curva. 
 
 
 
 
 
◦ O carrinho do brinquedo de 
 parque ao lado é um ponto 
 material movendo-se numa 
 trajetória helicoidal. 
 
 
 
 
 
 
 Trajetória: 
◦ Denomina-se trajetória a curva s no espaço que 
define o movimento completo de um ponto 
material. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Vetor de posição: 
◦ Considerando que o ponto material está localizado 
num ponto P de sua trajetória, sua posição é 
determinada pelo vetor de posição r=r(t), cuja 
origem O é o centro do sistema de coordenadas 
adotado. 
 Vetor deslocamento: 
◦ Representa a mudança de posição da partícula 
quando move-se do ponto P para o ponto P’ ao 
longo de sua trajetória, ou seja: 
rrr '
 Vetor velocidade: 
◦ Velocidade média: a velocidade média do ponto 
material num percurso é definida como: 
 
 
 
 
 
 
 
 Onde t é o tempo que o ponto material levou para ir 
do ponto P para P’. 
 
 
 
t
r
vmed
◦ Velocidade instantânea (Velocidade): Obtida 
fazendo t tender a zero é definida como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 IMPORTANTE: Observe que o vetor velocidade é 
tangente a curva da trajetória do ponto material 
 
 
 
dt
d
tt
rr
v
0
lim
◦ Velocidade escalar: módulo do vetor velocidade. 
st r0
 limlim
00 dt
ds
t
s
t
r
v
tt
 Vetor aceleração: 
◦ Aceleração média: quando a partícula move-se do 
ponto P ao ponto P’ o vetor velocidade que é 
tangente a trajetória varia de v para v’ logo 
podemos definir a aceleração média como: 
 
 
 
t
v
amed
◦ Hodógrafa: dá-se o nome de hodógrafa a curva 
definida como o lugar geométrico de todas as 
extremidades do vetor velocidade. 
 
 
 
◦ Aceleração instantânea (Aceleração): Obtida 
fazendo t tender a zero é definida como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 IMPORTANTE: Observe que a aceleração é tangente à 
hodógrafa e não a trajetória da partícula. 
 
 
 
2
2
0
lim
dt
d
dt
d
tt
rvv
a
 O movimento de uma partícula ao longo de 
uma trajetória pode ser expresso em termos 
das suas coordenadas cartesianas xyz. 
 
 
 
 
 
 
 Variáveis Cinemáticas 
 
◦ Vetor de posição 
 
 
 
 
 
 
 
 Onde x, y e z são as coordenadas do ponto P no 
sistema cartesiano 
 
 
kjir zyx
◦ Características do Vetor de posição 
 Módulo 
 
 
 
 
 Direção: 
 
 
 
 Onde ur é o vetor unitário na direção do vetor de posição 
 
222 zyxr
r
r
r
u
◦ Vetor de velocidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Onde vx, vy e vz são as derivadas no tempo das funções 
para as coordenadas do ponto P. 
kjiv
kjiv
r
v
zyx vvv
zyx
dt
d

◦ Características do Vetor de velocidade 
 Módulo 
 
 
 
 
 Direção 
 
 
 
 Onde uv é o vetor unitário na direção do vetor de 
velocidade 
 
 
222
zyx vvvv
v
v
v
u
◦ Vetor de aceleração 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Onde ax, ay e az são as segundas derivadas no tempo 
das funções para as coordenadas do ponto P. 
 
 
 
kjia
kjia
rv
a
zyx aaa
zyx
dt
d
dt
d

2
2
◦ Características do Vetor aceleração 
 Módulo 
 
 
 
 
 Direção 
 
 
 
 Onde ua é o vetor unitário na direção do vetor de 
aceleração. 
 
 
222
zyx aaaa
a
a
a
u
 Na figura observamos a fotografia estroboscópica de uma 
bolinha de ping-pong sendo projetada no ar. Onde podemos 
acompanhar sua trajetória parabólica. 
 O movimento dessa bolinha pode ser analisado em termos de 
suas componentes cartesianas no plano xy. 
 
 
 
 
 
 
◦ Hipóteses 
 Resistência do ar nula 
 Ação da gravidade 
 
 
 Movimento horizontal 
◦ Desprezada a resistência do ar o ponto material 
move-se com velocidade constante nessa direção, 
sendo assim temos: 
tvxx
vv
a
x
xx
x
00
0
0
 Movimento vertical 
◦ Com o eixo vertical apontado para cima, devido ao 
efeito da gravidade temos ay=-g e as equações do 
movimento podem ser escritas como: 
0
2
0
2
2
2
1
00
0
2 yygvv
tgtvyy
tgvv
ga
yy
y
yy
y
 Em resumo como os movimentos nas 
direções x e y são independentes o problema 
envolvendo lançamento de um projétil terá no 
máximo três incógnitas: uma na direção 
horizontal e duas na direção vertical; 
 Finamente uma vez definidas as 
componentes do movimento, os módulos e 
direções das as variáveis cinemáticas podem 
ser obtidos, mediante aplicação direta das 
propriedades dos vetores 
 Uma menina opera um brinquedo por controle remoto numa 
vaga de estacionamento vazio. A posição da menina é a 
origem dos eixos de coordenadas. O automóvel considerado 
como partícula tem coordenadas (x,y) que variam com o 
tempo conforme as equações: 
 
 
 
 
 
)(6
)(22
3
2
mty
mtx
yx jir
 Determine: 
◦ Distância entre a menina e o automóvel para t=0; 
◦ A posição do automóvel em t=2s e seu deslocamento no intervalo 
0≤t≤2s; 
◦ A distância percorrida pelo automóvel no intervalo 0≤t≤2s; 
◦ A velocidade média no intervalo 0≤t≤2s; 
◦ A expressão para a velocidade instantânea e o seu valor para t= 2s; 
◦ A aceleração média do automóvel no intervalo 0≤t≤2s; 
◦ A expressão para a aceleração instantânea e o seu valor para t= 2s; 
 
 
 
 Um saquinho sai de uma calha com velocidade horizontal de 
12m/s. Se a saída está a 6m de altura, determine o tempo 
necessário para o saquinho atingir o piso e o alcance R onde 
os saquinhos se empilham.