aula 5 Componente normal e tangencial

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MECÂNICA DOS SÓLIDOS II 
Prof. Judas Tadeu Gomes de Sousa 
 
 Até agora estudamos o movimento de um 
ponto material para um sistema de eixos 
coordenados fixos (CARTESIANOS). 
 
 
 Algumas vezes, no entanto, a trajetória de 
um ponto material é conhecida. Como por 
exemplo a curva s da figura abaixo: 
 Nesses casos muitas vezes é melhor descrever o movimento 
da partícula usando um sistema de eixos, nas direções 
normal e tangencial a sua trajetória, com origem no ponto 
material e ajustados a todo instante. 
 
 Definições do sistema de coordenadas 
◦ Origem: que coincide em cada instante com a posição 
do ponto material P; 
◦ Eixos: para o movimento plano serão dois: 
 O eixo t, tangente a curva s em P no sentido de seu 
crescimento; 
 O eixo n, perpendicular ao eixo tangente t, no sentido da 
concavidade da curva s 
 
◦ Vetores unitários: seguindo o procedimento comum a 
álgebra vetorial definimos dois vetores unitários nas 
direções dos eixos coordenados: 
 Vetor ut, na direção do eixo t, tangente a curva s no 
sentido de seu crescimento; 
 Vetor un, na direção do eixo n, perpendicular ao eixo t, no 
sentido da concavidade da curva s. 
 
◦ Raio de curvatura: cada segmento curvo da trajetória 
da partícula pode ser aproximado por uma série de 
arcos elementares ds e cada segmento ds é formado a 
partir de arco de uma circunferência associado que 
tem raio de curvatura r e centro no ponto O no plano. 
 
 Observações: 
◦ Se a trajetória é expressa como y=f(x), o raio de 
curvatura r em qualquer ponto da trajetória é 
determinado pela equação: 
 
 
 
 
◦ O plano que contém os eixos normais e tangencial 
é denominado plano osculador, no caso 
bidimensional o plano osculador coincide com o 
plano do movimento 
  
22
2/32
1
dxyd
dxdy
r
 Posição 
◦ A posição de um ponto material a cada instante, 
quando conhecida sua trajetória, é determinada 
pela distância s da partícula P ao ponto O, na 
origem, medido ao longo da curva. 
 
 
 Velocidade 
◦ O vetor velocidade é sempre tangente a trajetória 
da partícula. Já seu módulo é dado pela derivada 
temporal da função de posição s(t). 
s
dt
ds
vv t  uv
 Aceleração 
◦ A aceleração é definida como a taxa de variação 
temporal da velocidade. Como o vetor ut varia ao 
longo da trajetória da partícula temos: 
 
 
 
 
 
◦ Onde o ponto sobre os vetores é uma forma 
simplificada de representar a derivada temporal. 
 
tt
t vv
dt
vd
dt
d
uu
uv
a  


 Pergunta: Como determinar dut/dt ? 
◦ Verifique na figura abaixo que conforme o ponto 
material se move ao longo do arco ds da curva, num 
intervalo de tempo dt o vetor ut torna-se u’t 
 
 
 
 
 
◦ Observe agora que se colocarmos a origem dos 
vetores unitários num mesmo ponto podemos 
calcular o valor de u’t, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 Sendo dut é a variação infinitesimal do vetor ut, quando 
a partícula se move, e dq o ângulo entre ut e u’t. 
 
 
 
ttt duuu '
◦ Lembre-se que os vetores ut e u’t são unitários 
portanto o módulo do vetor du será função apenas 
do ângulo dq entre esses vetores e sua direção, para 
ângulos pequenos, será a mesma do eixo normal. 
 
 
 
 
 nt ddddu uu  qq)1(
◦ Se dividirmos na expressão anterior tudo por dt 
teremos. 
 
 
 
 
◦ Em função do raio de curvatura r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
nnt
t
dt
d
dt
d
uuu
u
 qq 
nt
v
v
dt
d
dt
ds
dds
uu
r
r
qrqqr




◦ Em resumo a aceleração, em termos das 
componentes normal e tangencial, pode ser escrita 
como: 
 
 
 
 
◦ onde. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
nntt aa uua 
r
2
2
2
;
v
avdvdsa
dt
sd
dt
dv
a ntt  e
 Pergunta: Se o ponto se move ao longo de 
uma curva espacial, como serão definidos os 
vetores que compõe a base do sistema de 
coordenadas para o movimento? 
 Resposta: 
◦ O eixo “t” permanece definido como tangente a 
trajetória da curva do movimento da partícula; 
◦ Já eixo normal será considerado orientado 
positivamente de “P” para o centro de curvatura 
“O” da curva espacial; 
◦ O terceiro eixo, chamado binormal, que compõe a 
base do sistema de coordenadas será dado pela 
expressão: 
ntb uuu 
 Quando o esquiador alcança o ponto A de sua trajetória ele 
tem uma velocidade escalar de 6m/s que está aumentando à 
taxa de 2m/s2. Determine a direção de sua velocidade e a 
aceleração no instante considerado 
 Para antever a depressão e a elevação na estrada o 
motorista de um automóvel aplica os freios para 
produzir uma desaceleração uniforme. Sua velocidade é 
de 100km/h na parte inferior A da depressão e de 
50km/h na parte superior C da elevação que está 120m 
a frente de A na estrada. Se os passageiros 
experimentam uma aceleração total de 3m/s2 em A e 
se o raio de curvatura da elevação em C é de 150m 
calcule 
◦ O raio de curvatura r em A 
◦ A aceleração no ponto B de inflexão 
◦ A aceleração total em C.