03 Transformadas de Laplace

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03 – TRANSFORMADAS DE 
LAPLACE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6
TRANSFORMADAS DE LAPLACE 
 
O uso das transformadas de Laplace oferece um método simples e eficiente para 
resolver equações diferenciais lineares. 
As transformadas de Laplace também permitem: 
- Desenvolvimento de modelos de entrada-saída que são muito úteis para 
propósitos de controle. 
- Fazer uma análise qualitativa de como os processos químicos reagem às várias 
influências externas. 
 
 
Definição da Transformada de Laplace 
Considere a função f(t). A transformada de Laplace ( )sF da função f(t) é definida 
como: 
( )[ ] ( ) ( )∫∞ −== 0 stdtetfsFtfL 
Observações: 
1 – A transformada de Laplace é uma transformação de uma função do domínio 
tempo (onde o tempo é a variável independente) para o domínio s (onde s é a variável 
independente). s é uma variável definida no plano complexo, isto é, s = a + jb. 
2 – A transformada de Laplace é uma operação linear (Princípio da 
Superposição): ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]tfatfatfatfa 22112211 LLL +=+ 
onde a1 e a2 são constantes. 
 
 
 
Transformada de Laplace de Algumas Funções Básicas 
 
Função Exponencial: 
( ) atetf −= 
 
[ ]
as
1e at +=
−L 
 
 
 
Função Rampa: 
 
 
 
 
 
 
 ( ) attf = 
 
[ ] 2s
aat =L 
f(t) 
t0 
a
 
 
7
 
Função Degrau: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥=
0tpara0
0tparaA
tS 
 
( )[ ]
s
AtS =L 
 
A função degrau também pode ser definida como: ( ) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥=−
0
0
0
ttpara0
ttpara1
ttS 
 
 
 
Funções Trigonométricas: (ω = frequência = [radianos/tempo]) 
 ( ) tsentf ω= 
[ ] 22stsen ω+
ω=ωL 
 
 ( ) tcostf ω= 
[ ] 22s
stcos ω+=ωL 
 
 
 
Identidades de Euler: 
 
j2
eesen
jj α−α −=α 
 
2
eecos
jj α−α +=α 
 
 
A 
t = 0
f(t) 
t
0 
 
 
8
 
Função Pulso: 
Considere a função da figura a seguir 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta função é chamada de função pulso de duração tw e é definida por: 
 
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
<≤
<
=
w
w
ttpara0
tt0parah
0tpara0
tf 
 
A transformada de Laplace desta função é: 
 
( )[ ] ( )st we1
s
htf −−=L 
 
 
Função Impulso: 
Considere que a duração de uma função pulso possa diminuir, tendendo à zero, 
enquanto a altura tende à infinito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta função é chamada de função impulso, ou função de Dirac, e é representada 
por δ(t). Ela é definida como sendo igual a zero em qualquer tempo, exceto para t = 0. 
A transformada de Laplace desta função é: 
 
 ( )[ ] 1t =δL 
 
 
Pulso 
t = tw
h 
t = 0
f(t) 
t
0 
Impulso 
(Função de Dirac)
t = 0
f(t) 
t
0 
 
 
9
Transformada de Laplace de Derivadas 
 ( ) ( ) ( )0fssF
dt
tdf −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡L 
 
( ) ( ) ( ) ( )0'f0sfsFs
dt
tfd 2
2
2
−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
L 
 
Generalizando: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0f0sf...0'fs0fssFs
dt
tfd 1n2n2n1nn
n
n
−−−− −−−−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
L 
 
Das equações anteriores podemos observar que para encontrar a Transformada de 
Laplace de qualquer derivada é necessário termos as condições iniciais. Para o cálculo 
da transformada de Laplace de uma derivada de na ordem, necessitamos n condições 
iniciais, f(0), f´(0), f´´(0), ..., fn-1(0). 
 
 
 
Transformada de Laplace de Integrais 
 
( ) ( )sF
s
1dttf
t
0
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∫L onde ( ) ( )[ ]tfsF L= 
 
 
Teorema do Valor Final: ( ) ( )[ ]ssYlimtylim
0st →∞→ = onde ( ) ( )[ ]tysY L= 
 
Exemplo: Seja ( ) ( )( )( )3s2s1ss
4ssF +++
+= encontre o valor de f(t) quando t → ∞ 
 
Solução: ( ) ( )[ ] ( )( )( ) 3
2
3s2s1ss
4sslimssFlimtflim
0s0st
=+++
+== →→∞→ 
 
 
Teorema do Valor Inicial: ( ) ( )[ ]ssYlimtylim
s0t ∞→→ = onde ( ) ( )[ ]tysY L= 
 
Exemplo: Seja ( ) ( )( )( )( )4s3ss
1s1ssF −+
+−= , encontre f(t = 0) 
 
Solução: ( ) ( )[ ] ( )( )( )( ) 14s3ss
1s1sslimssFlimtflim
ss0t
=−+
+−== ∞→∞→→ 
 
 
 
10
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES USANDO 
TRANSFORMADAS DE LAPLACE 
 
 
Etapas para a solução de EDL usando TL: 
1 – Encontrar a transformada de Laplace de ambos os lados da equação 
diferencial. As condições iniciais dadas para a ED são incorporadas nesta etapa. 
2 – Resolver a equação algébrica resultante em termos da transformada de 
Laplace da função desconhecida. 
3 – Encontrar a função que tem como transformada de Laplace a equação obtida 
na etapa 2. Esta função é a solução desejada, já que satisfaz a equação diferencial e as 
condições iniciais. 
 
 
 
Inversão de Transformadas de Laplace: Expansão de Heaviside 
 
Estudaremos agora um método desenvolvido por Heaviside para a inversão de TL 
conhecido como expansão de Heaviside, ou expansão em frações parciais. 
Considere que a TL de uma função desconhecida x(t) é dada por: 
 
( ) ( )( )sP
sQsX = (1) 
 
onde Q(s) e P(s) são polinômios. 
A inversão de TL usando a expansão em frações parciais é feita em três etapas: 
1 – Expandir Q(s)/P(s) em uma série de frações, 
 
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )sR
C
...
sR
C
sR
C
sP
sQsX
n
n
2
2
1
1 +++== (2) 
 
onde R1(s), R2(s), ... , Rn(s) são polinômios de menor ordem. 
2 – Calcular os valores das constantes C1, C2, ..., Cn da equação. 
3 – Encontrar a inversa da TL de cada fração parcial. Então a função desconhecida 
x(t) será dada por: 
 
( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= −−−
sR
C...
sR
C
sR
Ctx
n
n1
2
21
1
11 LLL 
 
onde 1−L representa a inversa da TL da expressão entre colchetes. 
 
Quando ( )sX é dado como razão de dois polinômios (Eq. 1), sua expansão em 
série de frações é determinada pelas raízes do polinômio no denominador, P(s). Em 
geral, podemos distinguir dois casos: 
1 – O polinômio P(s) tem n raízes distintas (todas diferentes), reais ou complexas. 
2 – O polinômio P(s) tem raízes múltiplas. 
Vamos estudar cada caso usando exemplos. 
 
 
 
11
Raízes Reais Distintas do Polinômio P(s) 
Considere a TL da função x(t) dada por 
 
( ) ( )( )sP
sQ
2ss2s
6sssX 23
2
=+−−
−−= (3) 
 
O polinômio no denominador é de terceira ordem, 
 
( ) 2ss2ssP 23 +−−= 
 
e tem três raízes, p1 = 1 p2 = –1 p3 = 2 
Portanto, 
( ) ( )( )( )2s1s1s2ss2ssP 23 −+−=+−−= 
 
e a equação 3 fica 
( ) ( )( )( )2s1s1s
6sssX
2
−+−
−−= (4) 
 
Expandindo em frações parciais, 
 
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )2s
C
1s
C
1s
C
2s1s1s
6sssX 321
2
−+++−=−+−
−−= (5) 
 
onde C1, C2 e C3 são constantes desconhecidas e devem ser calculadas. 
A partir da equação 5 temos que: 
 
( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=
−−−
2s
C
1s
C
1s
Ctx 312111 LLL 
 
e usando uma tabela de TL encontramos: 
 ( ) t23t2t1 eCeCeCtx ++= − (6) 
 
que é a inversa da TL da equação 3. 
Vamos agora calcular as constantes C1, C2 e C3: 
Multiplicando ambos os lados da equação 5 por (s – 1)(s + 1)(s – 2), temos 
 
( )( ) ( )( ) ( )( )1s1sC2s1sC2s1sC6ss 3212 +−+−−+−+=−− (7) 
 
Cálculo de C1: fazendo s = 1 na equação 7 ⇒ C1 = 3 
Cálculo de C2: fazendo s = –1 na equação 7 ⇒ C2 = –2/3 
Cálculo de C3: fazendo s = 2 na equação 7 ⇒ C3 = –4/3 
 
Portanto, a equação 6 fica: 
( ) t2tte
3
4e
3
2e3tx −−= − 
 
 
12
Raízes Complexas Distintas do Polinômio P(s) 
Considere a TL 
( )
5s2s
1ssX 2 +−
+= 
 
O polinômio P(s) tem duas raízes distintas que são complexos conjugados: 
 
p1 = 1 + 2j e p2 = 1 – 2j 
 
Portanto, 
( ) ( )[ ] ( )[ ]j21sj21s5s2ssP 2 −−+−=+−= 
 
Expandindo em frações parciais, 
 
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )j21s
C
j21s
C
j21sj21s
1s
5s2s
1ssX 212 −−++−=−−+−
+=+−
+= (8) 
 
Usando uma tabela de TL encontramos: 
 
( ) ( ) ( )tj212tj211 eCeCtx −+ += (9) 
 
Multiplicando ambos os lados da equação 8 por [s – (1 + 2j)][s – (1 – 2j)]: 
 ( )[ ] ( )[ ]j21sCj21sC1s 21 +−+−−=+ (10) 
 
Cálculo de C1: fazendo s = 1 + 2j na equação 10 ⇒ 
2
j1C1
−= 
Cálculo de C2: fazendo s = 1 – 2j na equação 10 ⇒ 
2
j1C2
+= 
 
Substituindo C1 e C2 na equação 9 
 
( ) ( ) ( )tj21tj21 e
2
j1e
2
j1tx −+ ++−= 
ou 
( ) ( ) ( )[ ]jt2jt2t ej1ej1
2
etx −++−= (11) 
 
Usando a identidade de Euler, 
 
α+α=α senjcose j (12) 
temos, 
t2senjt2cose jt2 += 
e 
( ) ( ) t2senjt2cost2senjt2cose jt2 −=−+−=− 
 
 
 
13
Substituindo na equação 11: 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]{ }
( )t2sent2cosjt2senjt2cost2sent2cosjt2senjt2cos
2
e
t2senjt2cosj1t2senjt2cosj1
2
etx
t
t
++−++−+=
=−+++−=
 
ou 
( ) [ ]t2sent2cosetx t += (13) 
 
Usando a identidade trigonométrica 
 ( )φ+=+ bsenabsenabcosa 321 
onde 
2
2
2
13 aaa += e ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=φ −
2
11
a
atg 
na equação 13 obteremos 
( ) ( )φ+= t2sen2etx t 
 
Portanto, sempre que o polinômio P(s) tiver raízes complexas: 
1 – Elas serão sempre pares complexos. 
2 – Os coeficientes dos termos correspondentes na expansão por frações parciais 
serão também complexos conjugados um do outro. 
3 – No polinômio sempre haverá um termo periódico (p.e., uma onda senoidal). 
 
 
 
 
Raízes Múltiplas do Polinômio P(s) 
A expansão em frações parciais e o cálculo dos coeficientes muda quando o 
polinômio P(s) tem raízes múltiplas. Considere a TL, 
( ) ( ) ( )2s1s
1sX 3 ++= (14) 
 
O polinômio P(s) tem três raízes iguais e a quarta diferente: 
 
p1 = p2 = p3 = –1 e p4 = –2 
 
Expandindo 14 em frações parciais, 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2s
C
1s
C
1s
C
1s
C
2s1s
1sX 43
3
2
21
3 +++++++=++= (15) 
 
Usando uma tabela de TL encontramos: 
 
( ) t24t23t2t1 eCet2
C
teCeCtx −−−− +++= (16) 
 
 
14
Multiplicando ambos os lados da equação 15 por (s+1)3(s+2): 
 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )343221 1sC2sC2s1sC2s1sC1 +++++++++= (17) 
 
Cálculo de C4: fazendo s = –2 na equação 17 ⇒ C4 = –1 
Cálculo de C3: fazendo s = –1 na equação 17 ⇒ C3 = 1 
Cálculo de C2: derivamos a equação 17 em relação à s e fazemos s= –1 ⇒ C2 = –1 
Cálculo de C1: derivamos novamente em relação à s e fazemos s = –1 ⇒ C1 = 1 
 
Substituindo as constantes na equação 16: 
 
( ) t22t e
2
tt1etx −− −⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−= 
 
 
 
 
Solução de Equações Diferenciais Lineares Usando Transformada de Laplace 
 
Exemplo 1 [Exercício 3.13-c]: 
 
t
2
2
ex25
dt
dx6
dt
xd −=++ com ( ) ( ) 00x
dt
0dx == 
 
 
Solução: Aplicando TL: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
1s
1sX250xssX60'x0sxsXs2 +=+−+−− 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1s
1sX25s6ssX25ssX6sXs 22 +=++=++ 
 
( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]j43sj43s1s 125s6s1s 1sX 2 −−−+−−+=+++= 
 
Raízes: 1s −= , ( )j43s +−= e ( )j43s −−= 
 
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ]j43s
C
j43s
C
1s
C
j43sj43s1s
1sX 321 −−−++−−++=−−−+−−+= (*) 
 
Multiplicando ambos os lados por ( ) ( )[ ] ( )[ ]j43sj43s1s −−−+−−+ 
 ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]j43s1sCj43s1sCj43sj43sC1 321 +−−++−−−++−−−+−−= (**) 
 
 
 
 
15
Fazendo 1s −= em (**): 
 ( )[ ] ( )[ ] ( )( ) ( )164Cj42j42Cj431j431C1 111 +=+−=−−−−+−−−= 
 
20
1C1 = 
 
Fazendo ( )j43s +−= em (**): 
 ( ) ( )[ ] ( ) ( )32j16Cj8j42Cj43j431j43C1 222 −−=+−=−−−+−++−= 
 
2561024
j1632
j1632
j1632
j1632
1C2 +
−−=−
−
+−= 80
j2C2
−−= 
 
Fazendo ( )j43s −−= em (**): 
 ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )32j16Cj8j42Cj43j431j43C1 333 −=−−−=+−−−−+−−= 
 
2561024
j1632
j1632
j1632
j1632
1C3 +
+−=+
+
−−= 80
j2C3
+−= 
 
Substituindo as constantes em (*): 
 
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]j43s
1
80
j2
j43s
1
80
j2
1s
1
20
1sX −−−
+−+−−
−−+= 
 
Calculando a TL inversa: 
 
( ) ( ) ( )tj43tj43t e
80
j2e
80
j2e
20
1tx −−+−− +−−−= 
 
( ) ( ) ( )[ ]jt4jt4t3t ej2ej2e
80
1e
20
1tx −−− ++−−= (***) 
 
Usando a identidade de Euler, 
 
α+α=α jsencose j 
 
temos ( ) ( )t4jsent4cose jt4 += e ( ) ( ) t4jsent4cost4jsent4cose jt4 −=−+−=− 
 
Substituindo em (***): 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]{ }t4jsent4cosj2t4jsent4cosj2e
80
1e
20
1tx t3t −+++−−= −− 
 
 
 
16
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]t4sent4cosjt4jsen2t4cos2t4sent4cosjt4jsen2t4cos2e
80
1e
20
1tx t3t ++−++−+−= −−
 
( ) ( ) ( )[ ]t4sen2t4cos4e
80
1e
20
1tx t3t +−= −− 
 
( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−= −− t4sen
40
1t4cos
20
1ee
20
1tx t3t 
 
 
 
 
Exemplo 1 [Exercício 3.13-b]: 
 
t3senx12
dt
dx =− com ( ) 00x = 
 
 
Solução: 
Aplicando TL: ( ) ( ) ( )
9s
3sX120xssX 2 +=−− 
 
( ) ( )
9s
3sX12ssX 2 +=− 
 
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )j3s Cj3sC12s Cj3sj3s12s 39s12s 3sX 3212 ++−+−=+−−=+−= (*) 
 
Raízes: 12s = , j3s = e j3s −= 
 
Multiplicando ambos os lados por ( )( )( )j3sj3s12s +−− 
 ( )( ) ( )( ) ( )( )j3s12sCj3s12sCj3sj3sC3 321 −−++−++−= (**) 
 
Fazendo 12s = em (**): 
 
( )( ) ( )9144Cj312j312C3 11 +=+−= 51
1C1 = 
 
Fazendo j3s = em (**): 
 
( ) ( )j7218Cj612j3C3 22 +−=−= 5184324
j21654
j7218
j7218
j7218
3C2 +
−−=−
−
+−= 
 
102
j41C2
−−= 
 
 
17
Fazendo j3s −= em (**): 
 
( )( ) ( )j7218Cj612j3C3 33 −−=−−−= 5184324
j21654
j7218
j7218
j7218
3C3 +
+−=+
+
−−= 
102
j41C3
+−= 
 
 
Substituindo as constantes em (*): 
 
( ) ( ) ( ) ( )j3s
1
102
j41
j3s
1
102
j41
12s
1
51
1sX +
+−−
−−−= 
 
Calculando a TL inversa: 
 
( ) jt3jt3t12 e
102
j41e
102
j41e
51
1tx −+−−−= 
 
( ) ( ) ( )[ ]jt3jt3t12 ej41ej41
102
1e
51
1tx −++−−= (***) 
 
Usando a identidade de Euler, 
 
α+α=α jsencose j 
 
temos ( ) ( )t3jsent3cose jt3 += e ( ) ( ) t3jsent3cost3jsent3cose jt3 −=−+−=− 
 
Substituindo em (***): 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]{ }t3jsent3cosj41t3jsent3cosj41
102
1e
51
1tx t12 −+++−−= 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]t3sen4t3cosj4t3jsent3cost3sen4t3cosj4t3jsent3cos
102
1e
51
1tx t12 ++−++−+−=
 
( ) ( ) ( )[ ]t3sen8t3cos2
102
1e
51
1tx t12 +−= 
 
( ) ( ) ( )[ ]t3sen4t3cos
51
1e
51
1tx t12 +−= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18
TEMPO MORTO 
 
Funções que apresentam tempo morto representam um caso importante em 
modelagem e controle de processos. Estas funções são encontradas em problemas de 
controle por causa do tempo necessário para que um fluido percorra uma tubulação ou 
um equipamento. 
Considere, por exemplo, um termopar localizado na saída de um tanque aquecido, 
e um segundo termopar colocado na tubulação à uma distância de 10 metros. 
Considerando que não ocorre mistura de fluido dentro da tubulação, e nem há perda de 
calor entre osdois pontos, o formato da resposta da temperatura dos dois sensores deve 
ser idêntico. Se o fluido escoa a 1 m/s, o tempo morto será de 10 s. 
Na figura a seguir é mostrado o comportamento da função f(t) (sem tempo morto) 
e de fd(t) (com tempo morto). A função fd(t) é igual a zero para t < t0, portanto podemos 
escrevê-la como: 
 
fd(t) = f(t –t0)S(t –t0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19
Transformada Inversa de Funções com Tempo Morto 
 
Para encontrar a transformada inversa de funções com tempo morto, partimos da 
TL 
 ( ) ( ) ( )[ ] ( )sFettSttfsF 0st00d −=−−= L 
 
1 – Inverter ( )sF da maneira usual, ou seja, aplicar a expansão em frações parciais 
e obter f(t). 
2 – Obter y(t) = f(t –t0)S(t –t0) pela substituição do argumento t por (t – t0), e 
multiplicando toda a função pela função degrau. 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: Encontrar a transformada inversa de 
 
( ) ( )( )1s31s4
e1sY
s2
++
+=
−
 
 
 
 
Solução: 
Esta equação pode ser dividida em duas partes: 
 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )1s31s4
e
1s31s4
1sYsYsY
s2
21 +++++=+=
−
 
 
Com uma tabela de TL, encontramos a inversa de ( )sY1 : 
 
( ) 3t4t1 eety −− −= 
 
Como ( ) ( )sYesY 1s22 −= , sua inversa pode ser encontrada substituindo-se t por 
(t – 2) em ( )ty1 e multiplicando-se pela função degrau: 
 
( ) ( ) ( )[ ] ( )2tSeety 32t42t2 −−= −−−− 
 
Portanto, a transformada inversa completa fica: 
 
( ) ( ) ( )[ ] ( )2tSeeeety 32t42t3t4t −−+−= −−−−−− 
 
 
 
 
 
 
 
20
Esta equação pode ser dividida para dois intervalos de tempo: 
 
( ) 3t4t eety −− −= 0 ≤ t < 2 
e 
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )323t424t32t42t3t4t e1ee1eeeeety +−+=−+−= −−−−−−−− 
3t4t e9477,2e6487,2 −− −= t ≥ 2 
 
 
♠ 
 
 
 
Exemplo de Resposta Transiente 
 
Considere dois tanques de mistura mostrados a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados: 
 Volume do estágio 1: 4 m3 
 Volume do estágio 2: 3 m3 
 Vazão q: 2 m3/min 
 Concentração na entrada ci: 1 kgmol/m3 
 
Neste sistema é aplicado uma perturbação na forma de pulso, com magnitude de 
5 kgmol/m3, durante 0,25 min. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21
O balanço de massa para os tanques é dado por: 
 
( )ccq
dt
dcV i −= 
 
Deseja-se saber: 
a) A magnitude que teria uma perturbação na forma de impulso equivalente a 
esta perturbação pulso. 
b) A resposta da concentração na saída do primeiro estágio para as 
perturbações pulso e impulso. 
c) A resposta da concentração na saída do segundo estágio para as 
perturbações pulso e impulso. 
 
 
Solução: 
Os balanços de massa para os dois estágios ficam 
 
i1
1 c2c2
dt
dc4 =+ (1) 
12
2 c2c2
dt
dc3 =+ (2) 
 
No instante inicial c2(0) = c1(0) = ci(0) = 1 Kgmol/m3 
 
 
a) A perturbação na forma de pulso pode ser descrita como 
 
( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥
<≤
<
=
25,0t1
25,0t06
0t1
tcpi (3) 
 
A magnitude da perturbação é dada por: 
 
33 m
minKgmol25,1min25,0
m
Kgmol5M == 
 
A perturbação impulso pode ser descrita como: 
 ( ) ( )t25,11tci δ+=δ (4) 
 
Para determinar a quantidade adicional de reagente introduzido pelas 
perturbações, fazemos: 
 
Kgmol5,2
m
minKgmol25,1
min
m2qM 3
3
== 
 
 
 
22
b) A resposta à pertubação impulso no estágio 1 é obtida pela TL da equação (1), 
usando c1(0) = 1 
 ( ) ( ) ( ) ( )sC2sC214ssC4 i11 =+− 
ou 
 ( ) ( )sC
2s4
2
2s4
4sC i1 +++= (5) 
 
 
A TL da função impulso (4) é: 
 
( ) 25,1
s
1sCi +=δ (6) 
Substituindo (6) em (5): 
( ) ( ) 2s4
5,6
2s4s
2sC1 +++=
δ (7) 
 
Calculando a transformada inversa: 
 ( ) 2t1 e625,01tc −δ += (8) 
 
A resposta à perturbação pulso pode ser obtida da mesma forma. A TL da função 
pulso da equação (3) é: 
( ) ( )
s
e15
s
1sC
s25,0
p
i
−−+= (9) 
Substituindo (9) em (5) e isolando ( )sCp1 temos: 
 
( ) ( ) ( ) ( )2s4s
e10
2s4s
12
2s4
4sC
s25,0
p
1 +−+++=
−
 (10) 
 
Cuja transformada inversa fica: 
 ( ) ( ) ( )[ ] ( )25,0tSe15e16etc 225,0t2t2tp1 −−−−+= −−−− 
 
Esta solução pode ser dividida em duas partes: 
 ( ) ( ) 2t2t2tp1 e56e16etc −−− −=−+= t < 0,25 min 
 ( ) ( ) ( )( ) 2t225,0t2t2tp1 e6657,01e15e16etc −−−−− +=−−−+= t ≥ 0,25 min 
 
 
 
23
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) A resposta à pertubação impulso no estágio 2 é obtida pela TL da equação (2), 
usando c2(0) = 1 
 ( ) ( ) ( ) ( )sC2sC213ssC3 122 =+− 
ou ( ) ( )sC
2s3
2
2s3
3sC 12 +++= (11) 
 
Como ( )sC1 representa a saída do estágio 1, substituímos a equação (7) em (11): 
 
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++++++=
δ
1s2
25,3
1s2s
1
2s3
2
2s3
3sC2 
 
Cuja transformada inversa nos dá: 
 ( ) 2t5,1t2 e5,2e5,21tc −−δ +−= 
 
Para obter a resposta à perturbação pulso na saída do estágio 2, substituímos a 
equação (10) na equação (11): 
 
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1s21s5,1s
e5
1s21s5,1s
6
1s21s5,1
2
1s5,1
5,1sC
s25,0
p
2 ++−+++++++=
−
 
 
Calculando a transformada inversa obtemos: 
 ( ) 2t5,1tp2 e20e156tc −− −+= t < 0,25 min 
 ( ) 2t5,1tp2 e663,2e7204,21tc −− +−= t ≥ 0,25 min 
 
 
 
24
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
♠