aula 9 Cinética de uma partícula leis de Newton

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MECÂNICA DOS SÓLIDOS II 
Prof. Judas Tadeu Gomes de Sousa 
 
 Divisões da Dinâmica: 
◦ Cinemática: ramo da dinâmica que estuda do 
movimento de um corpo sem envolver o conceito 
de força. Estuda as características geométricas do 
movimento; 
◦ Cinética: ramo da dinâmica que trata da relação 
entre o movimento de um corpo e as forças 
responsáveis por esse movimento. 
 
 Enunciar as leis de Newton para o 
movimento; 
 Usar a lei de Newton para atração 
gravitacional para definir os conceitos de 
massa e peso; 
 Apresentar o sistema de unidades utilizadas 
 Analisar as equações do movimento para um 
ponto material ou um conjunto de partículas 
 
 1ª Lei de Newton: “Na ausência de forças aplicadas, uma 
partícula originalmente em repouso ou movendo-se com 
velocidade constante em linha reta permanecerá em repouso ou 
continuará a mover-se com velocidade constante em linha reta”; 
 
 
 
 
 2ª Lei de Newton: “Se uma partícula for submetida a uma 
força, acelerará. A aceleração será na direção da força e a 
magnitude da aceleração será proporcional a força e 
inversamente proporciona à massa da partícula”; 
 
 
 
 A segunda lei do movimento de Newton é a 
base do estudo da Dinâmica. Pode se 
reduzida a expressão 
 
 
 
 Onde 
◦ F é a força resultante 
◦ a é a aceleração atuante 
◦ m é a massa da partícula 
aF m
 Observações: 
◦ Albert Einstein provou que a 2° lei de Newton não 
se aplica quando a velocidade do ponto material se 
aproxima da velocidade da luz; 
◦ Erwin Schrodinger e outros provaram que a 2° de 
Newton também não se aplica para corpos que têm 
dimensões de átomos e se movem próximos uns 
dos outros; 
◦ Para as velocidades e dimensões usuais dos corpos 
estudados na dinâmica entretanto as leis de Newton 
são perfeitamente válidas. 
 
 
 
 
 3ª Lei de Newton: “ Para cada ação, há uma reação igual e 
oposta” 
 
 
 
 Lei de Newton para a atração gravitacional: “: 
“A intensidade da força de atração entre dois pontos 
materiais de massa m1 e m2 é diretamente proporcional 
ao valor de suas massas e inversamente proporcional 
ao quadrado da distância entre eles”: 
 
 
 
 
 Lei de Newton para a atração gravitacional. 
Pode se reduzida a expressão 
 
 
 
 
 Onde 
◦ F é o módulo a força de atração mútua; 
◦ G é uma constante G=66,73.10-12 m3/(kg.s2); 
◦ r é a distância entre os pontos materiais. 
 
2
21
r
mm
GF


 Massa: 
◦ É a propriedade absoluta da matéria pela qual 
podemos comparar as respostas de um ou mais 
corpos em relação ação de uma determinada força 
que atua sobre eles 
m
F
aa
M
F
mM mM 
◦ Agora se as massas forem iguais 
aaaMM mM 
 Peso (W): 
◦ A noção de peso obtida da lei da gravitação 
universal, considerando que uma das partículas 
analisadas é a terra, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
◦ Onde g é o módulo da aceleração da gravidade 
2
2
T
T
T
T
R
M
GggmW
R
Mm
GWF



 Aceleração da gravidade 
◦ O valor da aceleração da gravidade varia conforme 
a localização do corpo, mas que para problemas 
usuais em engenharia é considerado como: 
22 /2,32ou)(/81,9 spésgSIsmg 
 Sistema Internacional (SI) 
◦ Força: newton 
◦ Massa: kilograma 
◦ Aceleração: metro por segundo ao quadrado 
 
 Sistema de Unidades Americanas (Feet Pound 
Second - FPS) 
◦ Força: libras 
◦ Massa: slug 
◦ Aceleração: pés por segundo ao quadrado 
 Adotamos normalmente um sistema 
referencial inercial 
◦ Nesse caso o referencial/observador pode ficar fixo 
ou transladar com velocidade constante. Mas não 
pode sofrer rotação. 
 
 Como resultado a aceleração de uma 
partícula medida por dois referenciais 
inerciais diferentes é idêntica; 
 
 Em Dinâmica usamos um referencial fixo na 
superfície terrestre como referencial 
newtoniano. 
 
 Quando mais de uma força age num ponto 
material, a resultante é que determina a 
aceleração do corpo: 
aFFF   mR
 Agora considere um sistema com n pontos 
materiais que ocupam uma dada região do 
espaço 
 Analisemos num dado instante t a i-ésima 
partícula de massa mi desse sistema. 
 
 
 
 
 
 Essa partícula estará submetido a um sistema 
de forças internas de resultante fi e uma força 
externa descrita como Fi. 
 Como as forças atuantes não se anulam a 
partícula sofrerá uma aceleração ai, ou seja: 
 
 
 
 
 
 Em termos de equação teríamos 
 
iiii m afF 
 Somando agora os efeitos de todos os pontos 
materiais para o conjunto teríamos 
 
 
 
 
  iiii m afF
 Pela lei de ação e reação as forças internas 
entre duas partículas quaisquer do sistema 
terão sempre valores iguais mas sentidos 
opostos, portanto se anulam: 
 
  iiii m aFf 0
 Para simplificar podemos definir rG como o 
vetor de posição que localiza o centro de 
massa sistema de partículas, calculado como: 
 
 
 
 
 
 
◦ Onde m seria a massa total do sistema 
 
 
 
Gii
i
ii
G
mm
mm
m
m
rr
r
r







 
 Derivando duas vezes a expressão anterior 
temos 
 
 
 
 
 Portanto a soma das forças externas que 
agem no sistema é igual a sua massa total 
multiplicada pela aceleração de seu centro de 
gravidade. 
 
 
GiiG mmm aFaa  
 Quando um ponto material está se movendo 
em relação a um sistema de referência 
inercial x, y e z. As forças e acelerações 
podem ser escritas em termos de seus 
componentes cartesianos: 
 Em termos de equações teríamos: 
k)jikji
aF




zyxzyx aaamFFF
m
(
 Equações do movimento da partícula em 
termo de suas coordenadas cartesianas: 
zmmaF
ymmaF
xmmaF
zz
yy
xx









 Um homem de 75kg está de pé sobre uma balança de mola 
em um elevador. Durante os três primeiros segundos do 
movimento a partir do repouso, a tração T no cabo de 
elevação é de 8300N. Encontre a leitura R da balança em 
newtons durante esse intervalo de tempo e a velocidade v 
ascendente do elevador no final de três segundos. A massa 
total do elevador, do homem e da balança é 750kg. 
 O tambor enrola o cabo a uma aceleração de 
5m/s2. Determine a tensão no cabo se o 
engradado tem massa de 800kg.