aula 10 Equações do movimento em outros sistemas de coordenadas

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MECÂNICA DOS SÓLIDOS II 
Prof. Judas Tadeu Gomes de Sousa 
 
 As leis de Newton podem ser usadas para 
explicar o movimento de uma partícula no 
espaço; 
 A 2ª lei de Newton pode ser decomposta em 
três equações se usarmos um sistema de 
eixos cartesianos. 
 Agora estudaremos essas mesmas equações 
considerando outros sistemas de 
coordenadas. 
 
 2ª Lei de Newton: “Se uma partícula for submetida a uma 
força, acelerará. A aceleração será na direção da força e a 
magnitude da aceleração será proporcional a força e 
inversamente proporciona à massa da partícula”; 
 
 
 
 
 
 Para uma partícula sob ação de várias 
forças, 2ª lei de Newton pode ser resumida 
pela expressão: 
 
 
 
 
◦ Onde: 
 SF é a resultante das forças atuante sobre a partícula; 
 m é a massa da partícula; 
 a é a aceleração resultado da ação da força; 
aF  m
 Uma partícula normalmente apresenta uma 
trajetória curvilínea no espaço: 
 
 
 
 
 
 Se inicialmente considerarmos o movimento 
da partícula em um plano, e usarmos 
coordenadas cartesianas, podemos 
escrever: 
 
 
 
 
 
◦ Onde SFx e SFy são as componentes da resultante 
das forças atuantes nas direção x e y, 
respectivamente. 
j)iji
aF




yxyx aamFF
m
(
 Separando as componentes obtemos duas 
equações: 
 
 
 
 
 
 
◦ Onde: 
 ax é a componente da aceleração na direção x; 
 ay é a componente da aceleração na direção y; 
 
ymamF
xmamF
yy
xx






 Se a trajetória da partícula é conhecida, 
podemos também escrever a 2ª Lei de 
Newton no sistema normal-tangente: 
 
 
 
 
 
◦ Onde SFn e SFt são as componentes da resultante 
das forças nas direção dos eixos n e t, 
respectivamente. 
)uuuu
aF
nnttnntt aamFF
m




(
 Separando as componentes temos: 
 
 
 
 
 
◦ Onde: 
 an é a componente da aceleração na direção do eixo n; 
 at é a componente da aceleração na direção do eixo t; 
 v é a velocidade escalar; 
 r é o raio de curvatura da curva da trajetória. 
 
vaamF
vaamF
ttt
nnn



 r2
 Finalmente em termos de coordenadas 
polares a 2ª Lei de Newton pode ser escrita 
como: 
 
 
 
 
 
◦ Onde SFr e SFq são as componentes da resultante 
das forças nas direção dos eixos r e q, 
respectivamente. 
)uuuu
aF
qqqq 



aamFF
m
rrrr (
 Separando as componentes temos: 
 
 
 
 
 
 
 
◦ Onde: 
 ar é a componente da aceleração na direção do eixo r; 
 aq é a componente da aceleração na direção do eixo q; 
 
qq
q
qqq


rraamF
rraamF rrr
2
2




 No espaço a equação do movimento de uma 
partícula, em coordenadas cartesianas, pode ser 
escrita como: 
 
 
 
 
 
 
 
◦ Onde SFx, SFy e SFz representam a resultante das forças nas 
direções x, y e z, respectivamente. 
 
k)jikji
aF




zyxzyx aaamFFF
m
(
 Separando as componente temos: 
 
 
 
 
 
 
 
◦ Onde ax, ay e az são as componentes da aceleração 
nas direções x, y e z, respectivamente. 
 
 
 
zmmaF
ymmaF
xmmaF
zz
yy
xx









 Se a trajetória da partícula é conhecida no espaço, 
a equação do movimento pode ser escrita como: 
 
 
 
 
 
 
 
◦ Onde SFt, SFn e SFb representam a resultante das forças 
nas direções tangencial, normal e binormal respectivamente 
 
 
 
)uuuuu
aF
nnttbbnntt aamFFF
m




(
 Observe pela figura que como não há movimento 
da partícula na direção binormal então: 
 
 
 
 
 
 
 
◦ Onde at e an são as componentes da aceleração nas direções 
tangencial e normal, respectivamente. 
 
 
 
0
2


















b
nn
tt
F
v
mmaF
dt
dv
mmaF
r
 Em termos de coordenadas cilíndricas as equações 
do movimento podem ser escritas como : 
 
 
 
 
 
 
 
◦ Onde SFr, SFq e SFz representam a resultante das forças 
nas direções dos eixos r, q e z, respectivamente. 
 
 
 
)uuuuuu
aF
zzrrzzrr aaamFFF
m




qqqq (
 Separando as componentes temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
◦ Onde ar, aq e az são as componentes da aceleração 
nas direções r, q e z, respectivamente. 
 
 
 
 
 
zmmaF
rrmmaF
rrmmaF
zz
rr









qq
q
qq 2
2
 Observações: 
◦ A escolha do sistema de coordenadas apropriado 
depende das condições do problema e é uma das 
decisões fundamentais a serem tomadas. 
◦ Escolhido o sistema de coordenadas, deve-se 
desenhar o diagrama de corpo livre do ponto 
material e em seguida aplicar a segunda lei de 
Newton. 
 
 
 
 Determine a velocidade máxima v que o bloco 
pode ter quando passa pelo ponto A sem que 
perca o contato com a superfície. 
 Um carro de 1500kg entra em um trecho sinuoso de uma 
estrada no plano horizontal e diminui a velocidade em uma 
taxa uniforme a partir de uma velocidade de 100km/h em A 
para uma velocidade de 50km/h quando passa por C. O raio 
de curvatura r da estrada em A é de 400m e em C de 80m. 
Determine a força horizontal total exercida pelas estrada 
sobre os pneus nas posições A, B e C. O ponto B é o ponto de 
inflexão onde a curvatura muda de direção. 
 O tubo A gira em torno do eixo vertical O com uma velocidade 
angular constante dq/dt=w e contém um pequeno tampão cilíndrico B 
de massa m cuja posição radial é controlada pelo cordão que passa 
livremente através do tubo e do eixo e é enrolado em torno do 
tambor de raio b. Determine a tração T no cordão e o componente 
transversal da força Fq exercida pelo tubo sobre o tampão se a 
velocidade angular do tambor é w0 em primeiro lugar na direção do 
caso (a) e em seguida do caso (b); Despreze o atrito.