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05 Comportamento Dinamico de Processos de Primeira e Segunda Ordem

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41
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
05 – COMPORTAMENTO DINÂMICO 
DE PROCESSOS DE PRIMEIRA E 
SEGUNDA ORDEM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42
ENTRADAS PADRÕES DE PROCESSOS 
 
A palavra saída geralmente se refere à variável controlada do processo. A palavra 
entrada se refere às variáveis que influenciam a saída do processo, que podem ser 
variáveis manipuladas ou distúrbios. 
Existem seis tipos de mudanças na entrada usados para propósito de modelagem e 
controle. 
 
1 – Entrada Degrau 
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
<=
0tM
0t0
tuS (4) 
 
( )
s
MsUS = (6) 
 
2 – Entrada Rampa 
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
<=
0tat
0t0
tuR (7) 
 
( ) 2R s
asU = (8) 
 
3 – Pulso Retangular 
 
( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥
<≤
<
=
w
wR
tt0
tt0h
0t0
tu (9) 
 
( ) ( )stRP we1shsU −−= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43
O pulso também pode ser descrito como a soma de dois degraus, um degrau de 
magnitude 1 ocorrendo em t = 0, combinado com um segundo degrau de magnitude –1 
ocorrendo em wtt = . Matematicamente esta combinação pode ser expressa como: 
 ( ) ( ) ( )[ ]wRP ttStShtu −−= 
 
Como a TL é definida somente para 0t ≥ , 
 ( ) ( )[ ]wRP ttS1htu −−= 0t ≥ (10) 
Aplicando TL 
( ) ( )stRP we1shsU −−= (11) 
 
Vários tipos de entradas podem ser representados como combinações de entradas 
degrau e rampa. Por exemplo, um pulso triangular de duração wt e altura 1 pode ser 
obtido usando-se três entradas rampa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A expressão para esta função será: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ww
w
ww
ww
TP ttSttt
22ttS2tt
t
4ttS
t
2tu −−+−−−= 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]wwww
w
TP ttStt2ttS2tt2ttSt
2tu −−+−−−= 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]wwww
w
TP ttStt2ttS2tt2tt
2tu −−+−−−= (12) 
 
 
 
 
 
44
Aplicando TL: 
 
( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−=
−−
2
st2st
w
TP s
ee21
t
2sU
ww
 (13) 
 
 
 
4 – Entrada Senoidal 
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥ω
<=
0ttAsen
0t0
tusen (14) 
 
( ) 22sen s
AsU ω+
ω= (15) 
 
Onde A = amplitude 
 ω = frequência 
 
e período ωπ= 2P (ω em radianos/tempo) 
 
 
 
5 – Entrada Impulso 
 
 
 
6 – Entrada Randômica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
send
plota
 
 
RE
 
A FT padr
 
 
o K o ganho
 
RESPOST
Para uma 
 
No domín
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela: R
 
 
O process
ado na form
 
 
 
 
 
 
ESPOSTA
rão para um
o do proces
TA DEGRA
perturbação
nio tempo: 
Resposta de 
so se aproxi
ma adimensio
A DE PROC
m processo d
U
Y
so e τ a con
AU 
o degrau de 
(sY
( )ty
um Process
t 
0 
τ 
2τ 
3τ 
4τ 
5τ 
ima do novo
onal. 
CESSOS DE
de primeira 
( )
( ) 1s
K
sU
sY
+τ=
nstante de te
magnitude 
) ( )1ss
KM
+τ=
) ( −= e1KM
so de Prime
( ) =KMty
0
0,632
0,864
0,950
0,981
0,993
o estado est
E PRIMEI
ordem é 
 
empo. 
M, ( )sU =
) 
)τ−te 
ira Ordem à
τ−−= te1 
21 
47 
02 
17 
33 
tacionário q
IRA ORDE
 
sM , a equ
 
 
à uma Pertu
quanto ≈ 5t
EM 
 
uação (16) fi
 
 
urbação Deg
τ5 . O gráfic
45
 (16) 
fica: 
 (17) 
 (18) 
grau 
co foi 
 
 
46
EXEMPLO: Um tanque aquecido descrito pela equação (4.37) opera com uma 
vazão de hkg1000 . Temos 3m 2V = , 3mkg 900=ρ e Cgcal 1c °= . Inicialmente o 
processo opera com temperaturas de entrada e saída iguais à C 100 ° e C 130 ° . 
a) Qual é o valor do calor em estado estacionário? 
b) Se o calor aumenta 30%, quanto tempo levará para que a temperatura no tanque 
atinja 99% da temperatura final? Qual será o valor desta temperatura? 
c) Se a temperatura de entrada aumentar de C 100 ° para C 120 ° , quanto tempo 
levará para que a temperatura de saída mude de C 130 ° para C 135 ° ? 
 
Solução: 
a) No estado estacionário temos (equações 23 e 24): ( )iTTcWQ −= 
( )C 100-C 130
C g
cal1
h
g10Q 6 °°⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
°⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ⇒ 
h
cal10x3Q 7= 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
°⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛==
C g
cal1
h
g10
1
Wc
1K
6
 ⇒ 
hcal
C10K 6 °= − 
 
( )
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=ρ=τ
h
g10
m
g10x9m 2
W
V
6
3
53
 ⇒ h 8,1=τ 
 
b) O tempo necessário para o processo atingir 99% da resposta final é τ5 , logo 
 
h 95t =τ= 
 
Uma mudança de 30% em Q significa ( )
s
10x9s'Q
6
= . 
Em (4.37): ( )
s
10x9
1s
Ks'T
6
+τ= 
 
Usando o teorema do valor final: 
 
( ) C9K10x9
s
10x9
1s
Kslimt'T 6
6
0s
°==⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+τ=∞→ → 
Portanto 
C 130C 9T'TT °+°=+= ⇒ C 139T °= 
 
c) Usando a equação (18): 
 ( ) τ−−= te1
KM
ty ⇒ ( )( ) τ−−= te1201
5 ⇒ h 52,0t = 
 
♠ 
resul
const
 
 
RESPOST
Aplicando
 
 
Com expa
 
Aplicando
 
 
 
Para grand
 
 
A equação
lta em uma
tante de tem
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TA RAMP
o uma pertur
Y
ansão de He
o TL inversa
des valores 
o (22) impl
a saída ram
mpo τ. 
PA 
rbação ramp
( ) ( s
KsY +τ=
eaviside tere
( )sY
a: 
(ty
de tempo (t
lica que, ap
mpa com in
pa, ( ) asU =
) 12 ss1
Ka
+τ
α=+
emos: 
2 K
1s
Ka −+τ
τ=
) (eKa tτ= −
t >> τ): 
( ) (≈ Katy
pós certo in
nclinação K
2sa , na equ
21
ss1
α+α++
2s
Ka
s
Ka +τ 
) Kat1 +−τ
( )τ−t 
ntervalo de 
Ka, e uma d
uação (16),
2
3
s
α
 
 
 
 
tempo, um
diferença d
 teremos: 
 
 
 
 
ma entrada r
e tempo ig
47
 (19) 
 (20) 
 (21) 
 (22) 
rampa 
gual à 
 
 
48
RESPOSTA SENOIDAL 
Considere uma entrada senoidal ( ) tAsentusen ω= , cuja TL é dada pela equação 
(15): 
( ) 22sen s
AsU ω+
ω= 
 
Substituindo na equação (16): 
 
( ) ( )( )22s1s KAsY ω++τ ω= (23) 
 
( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
ω+
ω+ω+
ωτ−+τ
ωτ
+τω= 2222
2
22 ss
s
1s1
KAsY (24) 
Invertendo: 
( ) ( )tsentcose
1
KAty t22 ω+ωωτ−ωτ+τω=
τ− (25) 
 
ou, usando identidade trigonométrica 
 
( ) ( )φ+ω+τω++τω
ωτ= τ− tsen
1
KAe
1
KAty
22
t
22 (26) 
sendo ( )ttg 1 ω−=φ − (27) 
 
Observe que na equação (26) o termo exponencial tende a zero quando t → ∞, 
restando uma resposta puramente senoidal. 
 
 
 
EXEMPLO: Um tanque tem a seguinte FT: 
 ( )
( ) 1s50
10
s'Q
s'H
i +
= 
 
sendo h o nível do tanque (m) e qi a vazão ( )sm3 . O ganho tem unidades 2ms 
e a constante de tempo está em s. O sistema está operando no estado estacionário com 
sm 4,0q 3= e 4mh = quandocomeça uma perturbação senoidal na vazão de entrada 
com amplitude sm 1,0 3 e frequência de sciclos 002,0 . 
a) Quais serão os valores máximo e mínimo do tanque após o distúrbio ter 
ocorrido por 6 min ou mais? 
b) Qual é a maior variação no nível que pode ocorrer como resultado das 
variações senoidais no fluxo com esta amplitude? 
c) Qual é o efeito de variações de alta frequência, como, por exemplo, 
sciclos 2,0 ? 
 
 
 
 
49
Solução: 
a) O sinal de entrada ( )tq será dado por: 
 
( ) tsen
 s
m1,0
 s
m4,0tq
33
ω⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+= 
 
Da equação (26) o valor do termo exponencial após 6 min será 
 
32,750360 10ee −−− <= 
 
Portanto, o efeito do termo exponencial transiente é menor que 1% da amplitude 
do distúrbio e pode ser negligenciado. Da equação (26) a amplitude da saída (nível) 
será: 
1
KA
22 +τω 
 
sendo A a amplitude de entrada e ω a frequência em radianos 
( = 2π.frequência cíclica) = (6,28)(0,002). 
A amplitude da perturbação no nível de líquido é: 
 ( )( )
( )( )( )[ ] m85,01s50sciclos002,0ciclorad28,6
sm1,0ms10
2
32
=
+
 
 
Portanto, o nível do tanque irá variar entre 3,15 m e 4,85 m. 
 
 
b) Para amplitude de sm1,0 3 as maiores variações ocorreram quando 0→ω , ou 
seja, para frequências muito baixas. Neste caso, os desvios serão de 
 ( )( ) m1sm1,0ms10 32 ±=± 
 
Portanto, os valores mínimo e máximo do nível do tanque serão 3 e 5 m, 
respectivamente. 
 
 
c) Para variações de alta frequência a amplitude tenderá a zero, resultando em um 
nível relativamente constante. 
 
♠ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50
RESPOSTA DE PROCESSOS INTEGRADORES 
 
Considere um sistema de controle de nível com uma bomba na linha de saída. O 
BM para este sistema será: 
 
qq
dt
dhA i −= (29) 
 
Suponha que em t = 0 o processo está em estado estacionário, com qqi = e hh =
. 
qq0 i −= 
 
Subtraindo esta equação de (29): 
 
'q'q
dt
'dhA i−= (30) 
 
Aplicando TL e rearranjando: 
 
( ) ( ) ( )[ ]s'Qs'Q
As
1s'H i −= (32) 
As FT 
 ( )
( ) As
1
s'Q
s'H
i
= e ( )( ) As
1
s'Q
s'H −= 
 
representam modelos integradores, caracterizados pelo termo s1 . 
Quando um processo integrador sofre uma perturbação degrau, sua saída irá 
aumentar ou diminuir de forma linear, sem atingir um novo estado estacionário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51
EXEMPLO: Um tanque cilíndrico vertical é usado para armazenamento entre um 
carro tanque e um reator. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A alimentação do reator deixa o tanque de armazenamento à vazão constante de 
sm 02,0 3 , e a vazão entre o carro tanque e o tanque de armazenamento tem o mesmo 
valor. O tanque tem 5 m de altura e área transversal de 2m4 . 
a) Suponha que o nível do tanque está em 2 m quando o carro tanque fica vazio. 
Durante quanto tempo o reator pode continuar funcionando antes que o tanque esvazie? 
b) Outro carro tanque é conectado ao tanque quando o nível deste atinge 1 m, e 
começa a transferência com a vazão de sm 1,0 3 . Durante quanto tempo pode esta 
bomba de transferência ficar em funcionamento? 
 
 
 
Solução: 
 
Em t = 0 temos m2h = e sm02,0qq 3i == . 
 
Da equação (32) o modelo para o tanque será: 
 
( ) ( ) ( )[ ]s'Qs'Q
s4
1s'H i −= 
 
a) Quando o carro tanque esvazia temos: 
 
0qi = ⇒ 02,0'q i −= ⇒ ( ) s
02,0s'Q i
−= 
02,0q = ⇒ 0'q = ⇒ ( ) 0s'Q = 
 
Portanto, 
( ) 2s
005,00
s
02,0
s4
1s'H −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−= 
 
 
52
Invertendo 
 ( ) t005,0t'h −= ⇒ ( ) t005,02th −= 
 
O tanque está vazio quando h = 0 
 
t005,020 −= ⇒ s400t = 
 
 
b) Quando é acoplado outro carro tanque, a vazão iq muda de 0,02 para sm 1,0
3 , 
portanto, 
 
( )
s
08,0s'Q i = e ( ) 0s'Q = 
 
Assim, 
( ) 2s
02,00
s
08,0
s4
1s'H =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −= 
Invertendo 
 ( ) t02,0t'h = ⇒ ( ) t02,01th += 
 
A bomba de transferência pode operar até h = 5 m, ou seja, 
 
t02,015 += ⇒ s200t = 
♠ 
 
Este exemplo mostra que processos integradores não atingem um novo estado 
estacionário quando submetidos à perturbação degrau. 
Por outro lado, perturbações pulso levam à um novo estado estacionário. 
Considere um processo integrador com a FT 
 ( )
( ) s
K
sU
sY = (34) 
 
A resposta deste processo a uma perturbação pulso será 
 
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=−=
−−
2
st
22
st
s
e
s
1Kh
s
e1KhsY
ww
 (35) 
Invertendo ( ) ( ) ( )ww ttSttKhKhtty −−−= 
ou 
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
<=
ww
w
ttkht
ttkht
ty (38) 
 
são c
FT: 
send
por u
fator
amo
pertu
onde
uma 
 
 
R
 
Uma FT d
conectados e
o 1KKK =
 
 
 
 
 
 
Uma FT d
uma ED de 
Neste capí
 
 
Nesta equ
r de amor
rtecimento
urbação. 
A tabela a
e ζ < 0 é om
resposta ins
 
Fator 
Amorteci
ζ > 
ζ = 
0 < ζ <
 
 
Como as F
 
 
 
Expandind
 
 
RESPOSTA
de segunda 
em série. Po
( )sG
2K . 
de segunda o
segunda ord
ítulo iremos
uação K e τ 
rtecimento 
o em um sis
a seguir mo
mitido porqu
stável, inde
de 
imento 
1 
1 
< 1 
FT (39) e (4
s 22 +τ
do o lado di
1
2 ττ=τ
τ=τ
A DE PROC
ordem pode
or exemplo
) ( )( ) (sU
sY ==
ordem tamb
dem, ou a p
s considerar
( )sG =
tem o mes
ζ é adim
stema, ou se
ostra as trê
ue correspon
pendente do
Car
Su
Critica
Su
40) são equi
1s2 +ζτ+
ireito e igua
2τ 
21τ (42) 
CESSOS D
e surgir qua
, dois tanqu
( )( s1s
KK
21
21
τ+τ
bém pode su
partir de um 
r a forma pa
2s
K
22 ζτ+τ=
smo signific
mensional. 
eja, o grau d
s classes d
nde a sistem
o tipo de en
racterística
Resposta
uperamortec
amente amo
ubamorteci
ivalentes ter
( 1s1 +τ=
alando os co
 
 
E SEGUND
ando dois p
ues de mistu
) ( s1 1 +τ=+
urgir a parti
conjunto d
adrão de um
1s +τ 
cado que na
Ele nos 
de oscilação
e sistemas 
mas de segun
ntrada. 
a da 
cida 
ortecida 
da 
remos: 
)( )1s2 +τ
oeficientes d
 2 =ζτ
 =ζ
DA ORDE
rocessos de
ura em série
)( )1s1
K
2 +τ+
ir de um pro
e duas ED´s
ma FT de seg
 
as FT de pri
fornece a 
o de um pro
de segunda
nda ordem q
Ra
Equação C
Reais
Rea
Complexo
 
de s: 
21 τ+τ= 
21
21
2 ττ
τ+τ 
M 
e primeira o
e terão a seg
 
ocesso mod
s. 
gunda ordem
 
imeira orde
quantidad
ocesso após
a ordem. O
que sempre 
aízes da 
Característ
s Distintas 
ais Iguais 
os Conjugad
 
 (43) 
53
ordem 
guinte 
 (39) 
delado 
m: 
 (40) 
em. O 
de de 
s uma 
O caso 
terão 
tica 
dos 
 (41) 
 . 
 
 
54
O lado esquerdo da equação (41) pode ser fatorado: 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
−ζ+ζ
τ
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
−ζ−ζ
τ=+ζτ+τ 1
1
s1
1
s1s2s
22
22 (44) 
 
com isto obtemos expressões para 1τ e 2τ : 
 
12
1 −ζ−ζ
τ=τ ( )1≥ζ (45) 
 
12
2 −ζ+ζ
τ=τ ( )1≥ζ (46) 
 
 
RESPOSTA DEGRAU 
Para uma entrada degrau ( )( )sMsU= em um processo descrito pela equação 
(40): 
( ) ( )1s2ss KMsY 22 +ζτ+τ= (47) 
 
Após inversão para o domínio tempo teremos três tipos de respostas: 
 
Superamortecida (ζ > 1): 
 
( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
τ−τ
τ−τ−=
τ−τ−
21
2t
2
1t
1 ee1KMty (48) 
ou 
( )
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
τ
−ζ
−ζ
ζ+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
τ
−ζ−= τζ− t1senh
1
t
1
coshe1KMty
2
2
2
t (49) 
 
 
Criticamente Amortecida (ζ = 1): 
 
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
τ+−=
τtet11KMty (50) 
 
Subamortecida (0 ≤ ζ < 1): 
 
( )
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
τ
ζ−
ζ−
ζ+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
τ
ζ−−= τζ− t1sen
1
t
1
cose1KMty
2
2
2
t (51) 
 
 
subam
 
 
 
 
Podemos f
1 – As re
quand
2 – Valore
3 – A res
amort
 
Os termo
mortecidos
1 – Temp
 
2 – Tempo
 
3 – Tempo
 
4 – Sobre-
 
5 – Razão
 
6 – Períod
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
fazer algum
espostas ex
do ζ se apro
es elevados 
sposta mais
tecido ( =ζ
os a segui
. 
o de Ascen
o para o Pri
o de Respos
-elevação: O
 de Declínio
do de Oscila
mas observaç
xibem alto 
oxima de zer
de ζ resulta
s rápida, se)1 . 
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ação: P é o t
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e a saída do
primeira v
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ssário para a
faixa de 5±
-elevação é 
a altura do 
e dois picos 
iguras: 
sobre-elevaç
nta. 
obtida no c
a dinâmic
o processo 
vez o novo 
ário para a 
mo. 
a saída do p
%5 do seu v
ba 100 ). 
segundo pi
sucessivos 
ção ( KMy
aso criticam
a de proc
leva para a
valor de e
saída ating
processo atin
valor final. 
ico). 
da resposta
55
)1M > 
mente 
cessos 
atingir 
estado 
ir seu 
ngir e 
a. 
 
 
56
Para o caso particular de um processo subamortecido de segunda ordem: 
 
Tempo para o Primeiro Pico: 2p 1t ζ−πτ= (52) 
 
Sobre-elevação: ( ) ba1expOS 2 =ζ−πζ−= (53) 
 
Razão de Declínio: ( ) ( ) ac12expOSDR 22 =ζ−πζ−== (54) 
 
Período: 212P ζ−πτ= (55) 
 
 
 
 
EXEMPLO: Um reator é refrigerado com uma serpentina para remover o calor 
gerado na reação. A presença de um controlador faz com que o sistema apresente um 
comportamento de sistema de segunda ordem subamortecido. 
a) Um operador altera a vazão do reator de 0,4 para skg 5,0 e nota que a 
temperatura, que inicialmente era de C 100 ° , muda para C 102 ° . Qual é o valor 
do ganho do processo que relaciona as mudanças na temperatura com as 
mudanças na vazão? 
b) O operador observa que a resposta resultante oscila levemente e que os dois 
primeiros picos, C 5,102 ° e C 1,102 ° , ocorrem nos tempos de s 1000 e s 3060 
após a mudança. Qual é a FT completa do processo? 
c) Qual é o valor do tempo de ascensão? 
 
 
 
 
Solução: 
a) ( )( ) skg 4,05,0
C 100102
Entrada
SaídaK −
°−=Δ
Δ= ⇒ 
skg
C20K °= 
 
b) Como o comportamento do sistema é de segunda ordem subamortecido, 
podemos usar as equações da sobre-elevação e do período de oscilação para encontrar ζ 
e τ. 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
ζ−
πζ−==−
21
exp
b
aelevaçãoSobre 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
ζ−
πζ−==−
−
21
exp25,0
100102
1025,102 ⇒ 4,0≅ζ 
 
21
2P
ζ−
πτ= ⇒ π
ζ−=τ
2
1P 2
 ⇒ ( ) s 206010003060P =−= ⇒ s 300≅τ 
 
 
 
57
Portanto, a FT do processo será: 
 
( )
( ) ( )( ) 1s3004,02s300
20
1s2s
K
s'W
s'T
2222
p
++=+ζτ+τ= 
( )
( ) 1s240s90000
20
s'W
s'T
2 ++= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Para uma resposta subamortecida temos: 
 
( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
τ
ζ−
ζ−
ζ+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
τ
ζ−−= τζ− t1sen
1
t
1
cose1
KM
ty 2
2
2
t 
 
Quando rtt = , ( )ty é igual à seu valor final em estado estacionário, KM. Assim: 
 
0t
1
sen
1
t
1
cos r
2
2r
2
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
τ
ζ−
ζ−
ζ+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
τ
ζ−
 
 ( )( ) 0t1cos t1sen11 r2 r
2
2
=τζ−
τζ−
ζ−
ζ+ ⇒ ζ
ζ−−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
τ
ζ− 2
r
2 1
t
1
tg 
 
2
2
r
2
2 1t
1
tg ζ
ζ−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
τ
ζ−
 
Usando 1AtgAsec 22 =− 
 
22
22
2
2
r
2
2 1111t
1
sec ζ=ζ
ζ−+ζ=ζ
ζ−+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
τ
ζ−
 ⇒ ζ±=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
τ
ζ− 1t1sec r
2
 
 
T (ºC) 
102,5
102,1
30601000
100 
102 
a
b
Tempo (s)
c
 
 
58
Usando ζ−1 e Acos1Asec = 
 
ζ−=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
τ
ζ− 1t1sec r
2
 ⇒ ζ−=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
τ
ζ−
1
t
1
cos
1
r
2
 
ζ−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
τ
ζ−
r
2
t
1
cos ⇒ ( ) r
2
1 t
1
cos τ
ζ−=ζ−− 
 
Usando ( ) ( )AcosAcos 11 −− −π=− 
 
( ) r
2
1 t
1
cos τ
ζ−=ζ−π − ⇒ ( )[ ]ζ−π
ζ−
τ= −1
2r
cos
1
t 
 
Com 4,0=ζ e s 300=τ ⇒ s 649t r = 
 
♠ 
 
 
 
RESPOSTA SENOIDAL 
Considere um processo de segunda ordem 
 ( )
( ) 1s2s
K
sU
sY
22 +ζτ+τ= 
 
e uma entrada senoidal tAsenω . Com isto 
 
( ) 22s
AsU ω+
ω= 
e 
( ) ( )( )1s2ss KAsY 2222 +ζτ+τω+ ω= 
 
Invertendo e considerando a saída para valores altos de t (após os termos 
exponenciais terem desaparecido), a resposta será dada por: 
 
( ) ( )[ ] ( ) ( )φ+ωζωτ+ωτ−= tsen21
KAty
222
 (61) 
onde 
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
ωτ−
ζωτ−=φ − 21 1
2tg (62) 
 
 
 
59
A amplitude da saída  é obtida diretamente da equação (61) 
 
( )[ ] ( )222 21
KAÂ
ζωτ+ωτ−
= (63) 
 
A razão entre as amplitudes de saída e entrada é chamada de Razão de 
Amplitude ( )AÂAR = . Quando normalizada pelo ganho do processo é chamada de 
Razão de Amplitude Normalizada, NAR 
 
( )[ ] ( )222N 21
1
KA
ÂAR
ζωτ+ωτ−
== (64) 
 
NAR representa o efeito dos parâmetros do modelo dinâmico ( )τζ, na resposta 
senoidal e independe do ganho K e da amplitude de função de entrada A. 
O valor máximo de NAR pode ser encontrado derivando (64) em relação à ω e 
igualando a derivada à zero. 
Resolvendo para maxω temos 
τ
ζ−=ω
2
max
21 707,00 <ζ< (65) 
 
Para 707,0≥ζ não há máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo (65) em (64) nos dá uma expressão para o valor máximo de NAR : 
 
2
max
maxN 12
1
KA
ÂAR ζ−ζ== 707,00 <ζ< (66) 
 
A equação (66) indica que um processo com pouco amortecimento pode exibir 
grandes oscilações na saída quando perturbado por sinais periódicos com frequência 
próxima da maxω . 
 
 
60
EXEMPLO: Um engenheiro usa um sensor de temperatura acoplado em um 
thermowell para medir a temperatura em um reator CSTR. A combinação de 
sensor/transmissor de temperatura e o thermowell operam como sistemas de primeira 
ordem com constantes de tempo iguais a 3 e 10 s, respectivamente. A temperatura 
medida do reator se comporta aproximadamente comoum ciclo senoidal entre 180 e 
183 ºC, com um período de 30 s, durante um tempo considerável. O que podemos 
concluir sobre a temperatura no reator? 
 
 
Solução: 
 
O sensor/transmissor e o thermowell atuam como 2 processos de primeira ordem 
em série: ( )
( ) ( )( )1s101s3
1
s'T
s'T
reator
medido
++= (67) 
 
A amplitude da saída é descrita pela equação (63). De (67) temos 31 =τ e 102 =τ
. Usando as equações (42) e (43): 
 
21ττ=τ 
21
21
2 ττ
τ+τ=ζ 
 
( )( ) 48,5103 ==τ 19,1
302
13 ==ζ 
 
A frequência da perturbação senoidal será: 
 
1s2094,0
30
2
P
2 −=π=π=ω 
 
A amplitude da saída é obtida por: 
 
Cº5,1
2
180183Â =−= 
 
Para obter a amplitude da variação da temperatura dentro do reator usamos (63): 
 
( )[ ] ( )222 21
K
ÂA ζωτ+ωτ−= A = 4,12 ºC 
 
Portanto, a temperatura dentro do reator varia entre 181,5 – 4,12 = 177,38 ºC e 
181,5 + 4,12 = 185,62 ºC. 
♠

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