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41 05 – COMPORTAMENTO DINÂMICO DE PROCESSOS DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM 42 ENTRADAS PADRÕES DE PROCESSOS A palavra saída geralmente se refere à variável controlada do processo. A palavra entrada se refere às variáveis que influenciam a saída do processo, que podem ser variáveis manipuladas ou distúrbios. Existem seis tipos de mudanças na entrada usados para propósito de modelagem e controle. 1 – Entrada Degrau ( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥ <= 0tM 0t0 tuS (4) ( ) s MsUS = (6) 2 – Entrada Rampa ( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥ <= 0tat 0t0 tuR (7) ( ) 2R s asU = (8) 3 – Pulso Retangular ( ) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ≥ <≤ < = w wR tt0 tt0h 0t0 tu (9) ( ) ( )stRP we1shsU −−= 43 O pulso também pode ser descrito como a soma de dois degraus, um degrau de magnitude 1 ocorrendo em t = 0, combinado com um segundo degrau de magnitude –1 ocorrendo em wtt = . Matematicamente esta combinação pode ser expressa como: ( ) ( ) ( )[ ]wRP ttStShtu −−= Como a TL é definida somente para 0t ≥ , ( ) ( )[ ]wRP ttS1htu −−= 0t ≥ (10) Aplicando TL ( ) ( )stRP we1shsU −−= (11) Vários tipos de entradas podem ser representados como combinações de entradas degrau e rampa. Por exemplo, um pulso triangular de duração wt e altura 1 pode ser obtido usando-se três entradas rampa. A expressão para esta função será: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ww w ww ww TP ttSttt 22ttS2tt t 4ttS t 2tu −−+−−−= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]wwww w TP ttStt2ttS2tt2ttSt 2tu −−+−−−= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]wwww w TP ttStt2ttS2tt2tt 2tu −−+−−−= (12) 44 Aplicando TL: ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−= −− 2 st2st w TP s ee21 t 2sU ww (13) 4 – Entrada Senoidal ( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥ω <= 0ttAsen 0t0 tusen (14) ( ) 22sen s AsU ω+ ω= (15) Onde A = amplitude ω = frequência e período ωπ= 2P (ω em radianos/tempo) 5 – Entrada Impulso 6 – Entrada Randômica send plota RE A FT padr o K o ganho RESPOST Para uma No domín Tabela: R O process ado na form ESPOSTA rão para um o do proces TA DEGRA perturbação nio tempo: Resposta de so se aproxi ma adimensio A DE PROC m processo d U Y so e τ a con AU o degrau de (sY ( )ty um Process t 0 τ 2τ 3τ 4τ 5τ ima do novo onal. CESSOS DE de primeira ( ) ( ) 1s K sU sY +τ= nstante de te magnitude ) ( )1ss KM +τ= ) ( −= e1KM so de Prime ( ) =KMty 0 0,632 0,864 0,950 0,981 0,993 o estado est E PRIMEI ordem é empo. M, ( )sU = ) )τ−te ira Ordem à τ−−= te1 21 47 02 17 33 tacionário q IRA ORDE sM , a equ à uma Pertu quanto ≈ 5t EM uação (16) fi urbação Deg τ5 . O gráfic 45 (16) fica: (17) (18) grau co foi 46 EXEMPLO: Um tanque aquecido descrito pela equação (4.37) opera com uma vazão de hkg1000 . Temos 3m 2V = , 3mkg 900=ρ e Cgcal 1c °= . Inicialmente o processo opera com temperaturas de entrada e saída iguais à C 100 ° e C 130 ° . a) Qual é o valor do calor em estado estacionário? b) Se o calor aumenta 30%, quanto tempo levará para que a temperatura no tanque atinja 99% da temperatura final? Qual será o valor desta temperatura? c) Se a temperatura de entrada aumentar de C 100 ° para C 120 ° , quanto tempo levará para que a temperatura de saída mude de C 130 ° para C 135 ° ? Solução: a) No estado estacionário temos (equações 23 e 24): ( )iTTcWQ −= ( )C 100-C 130 C g cal1 h g10Q 6 °°⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ °⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ⇒ h cal10x3Q 7= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ °⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛== C g cal1 h g10 1 Wc 1K 6 ⇒ hcal C10K 6 °= − ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ =ρ=τ h g10 m g10x9m 2 W V 6 3 53 ⇒ h 8,1=τ b) O tempo necessário para o processo atingir 99% da resposta final é τ5 , logo h 95t =τ= Uma mudança de 30% em Q significa ( ) s 10x9s'Q 6 = . Em (4.37): ( ) s 10x9 1s Ks'T 6 +τ= Usando o teorema do valor final: ( ) C9K10x9 s 10x9 1s Kslimt'T 6 6 0s °==⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +τ=∞→ → Portanto C 130C 9T'TT °+°=+= ⇒ C 139T °= c) Usando a equação (18): ( ) τ−−= te1 KM ty ⇒ ( )( ) τ−−= te1201 5 ⇒ h 52,0t = ♠ resul const RESPOST Aplicando Com expa Aplicando Para grand A equação lta em uma tante de tem TA RAMP o uma pertur Y ansão de He o TL inversa des valores o (22) impl a saída ram mpo τ. PA rbação ramp ( ) ( s KsY +τ= eaviside tere ( )sY a: (ty de tempo (t lica que, ap mpa com in pa, ( ) asU = ) 12 ss1 Ka +τ α=+ emos: 2 K 1s Ka −+τ τ= ) (eKa tτ= − t >> τ): ( ) (≈ Katy pós certo in nclinação K 2sa , na equ 21 ss1 α+α++ 2s Ka s Ka +τ ) Kat1 +−τ ( )τ−t ntervalo de Ka, e uma d uação (16), 2 3 s α tempo, um diferença d teremos: ma entrada r e tempo ig 47 (19) (20) (21) (22) rampa gual à 48 RESPOSTA SENOIDAL Considere uma entrada senoidal ( ) tAsentusen ω= , cuja TL é dada pela equação (15): ( ) 22sen s AsU ω+ ω= Substituindo na equação (16): ( ) ( )( )22s1s KAsY ω++τ ω= (23) ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ω+ ω+ω+ ωτ−+τ ωτ +τω= 2222 2 22 ss s 1s1 KAsY (24) Invertendo: ( ) ( )tsentcose 1 KAty t22 ω+ωωτ−ωτ+τω= τ− (25) ou, usando identidade trigonométrica ( ) ( )φ+ω+τω++τω ωτ= τ− tsen 1 KAe 1 KAty 22 t 22 (26) sendo ( )ttg 1 ω−=φ − (27) Observe que na equação (26) o termo exponencial tende a zero quando t → ∞, restando uma resposta puramente senoidal. EXEMPLO: Um tanque tem a seguinte FT: ( ) ( ) 1s50 10 s'Q s'H i + = sendo h o nível do tanque (m) e qi a vazão ( )sm3 . O ganho tem unidades 2ms e a constante de tempo está em s. O sistema está operando no estado estacionário com sm 4,0q 3= e 4mh = quandocomeça uma perturbação senoidal na vazão de entrada com amplitude sm 1,0 3 e frequência de sciclos 002,0 . a) Quais serão os valores máximo e mínimo do tanque após o distúrbio ter ocorrido por 6 min ou mais? b) Qual é a maior variação no nível que pode ocorrer como resultado das variações senoidais no fluxo com esta amplitude? c) Qual é o efeito de variações de alta frequência, como, por exemplo, sciclos 2,0 ? 49 Solução: a) O sinal de entrada ( )tq será dado por: ( ) tsen s m1,0 s m4,0tq 33 ω⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+= Da equação (26) o valor do termo exponencial após 6 min será 32,750360 10ee −−− <= Portanto, o efeito do termo exponencial transiente é menor que 1% da amplitude do distúrbio e pode ser negligenciado. Da equação (26) a amplitude da saída (nível) será: 1 KA 22 +τω sendo A a amplitude de entrada e ω a frequência em radianos ( = 2π.frequência cíclica) = (6,28)(0,002). A amplitude da perturbação no nível de líquido é: ( )( ) ( )( )( )[ ] m85,01s50sciclos002,0ciclorad28,6 sm1,0ms10 2 32 = + Portanto, o nível do tanque irá variar entre 3,15 m e 4,85 m. b) Para amplitude de sm1,0 3 as maiores variações ocorreram quando 0→ω , ou seja, para frequências muito baixas. Neste caso, os desvios serão de ( )( ) m1sm1,0ms10 32 ±=± Portanto, os valores mínimo e máximo do nível do tanque serão 3 e 5 m, respectivamente. c) Para variações de alta frequência a amplitude tenderá a zero, resultando em um nível relativamente constante. ♠ 50 RESPOSTA DE PROCESSOS INTEGRADORES Considere um sistema de controle de nível com uma bomba na linha de saída. O BM para este sistema será: qq dt dhA i −= (29) Suponha que em t = 0 o processo está em estado estacionário, com qqi = e hh = . qq0 i −= Subtraindo esta equação de (29): 'q'q dt 'dhA i−= (30) Aplicando TL e rearranjando: ( ) ( ) ( )[ ]s'Qs'Q As 1s'H i −= (32) As FT ( ) ( ) As 1 s'Q s'H i = e ( )( ) As 1 s'Q s'H −= representam modelos integradores, caracterizados pelo termo s1 . Quando um processo integrador sofre uma perturbação degrau, sua saída irá aumentar ou diminuir de forma linear, sem atingir um novo estado estacionário. 51 EXEMPLO: Um tanque cilíndrico vertical é usado para armazenamento entre um carro tanque e um reator. A alimentação do reator deixa o tanque de armazenamento à vazão constante de sm 02,0 3 , e a vazão entre o carro tanque e o tanque de armazenamento tem o mesmo valor. O tanque tem 5 m de altura e área transversal de 2m4 . a) Suponha que o nível do tanque está em 2 m quando o carro tanque fica vazio. Durante quanto tempo o reator pode continuar funcionando antes que o tanque esvazie? b) Outro carro tanque é conectado ao tanque quando o nível deste atinge 1 m, e começa a transferência com a vazão de sm 1,0 3 . Durante quanto tempo pode esta bomba de transferência ficar em funcionamento? Solução: Em t = 0 temos m2h = e sm02,0qq 3i == . Da equação (32) o modelo para o tanque será: ( ) ( ) ( )[ ]s'Qs'Q s4 1s'H i −= a) Quando o carro tanque esvazia temos: 0qi = ⇒ 02,0'q i −= ⇒ ( ) s 02,0s'Q i −= 02,0q = ⇒ 0'q = ⇒ ( ) 0s'Q = Portanto, ( ) 2s 005,00 s 02,0 s4 1s'H −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−= 52 Invertendo ( ) t005,0t'h −= ⇒ ( ) t005,02th −= O tanque está vazio quando h = 0 t005,020 −= ⇒ s400t = b) Quando é acoplado outro carro tanque, a vazão iq muda de 0,02 para sm 1,0 3 , portanto, ( ) s 08,0s'Q i = e ( ) 0s'Q = Assim, ( ) 2s 02,00 s 08,0 s4 1s'H =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= Invertendo ( ) t02,0t'h = ⇒ ( ) t02,01th += A bomba de transferência pode operar até h = 5 m, ou seja, t02,015 += ⇒ s200t = ♠ Este exemplo mostra que processos integradores não atingem um novo estado estacionário quando submetidos à perturbação degrau. Por outro lado, perturbações pulso levam à um novo estado estacionário. Considere um processo integrador com a FT ( ) ( ) s K sU sY = (34) A resposta deste processo a uma perturbação pulso será ( ) ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=−= −− 2 st 22 st s e s 1Kh s e1KhsY ww (35) Invertendo ( ) ( ) ( )ww ttSttKhKhtty −−−= ou ( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥ <= ww w ttkht ttkht ty (38) são c FT: send por u fator amo pertu onde uma R Uma FT d conectados e o 1KKK = Uma FT d uma ED de Neste capí Nesta equ r de amor rtecimento urbação. A tabela a e ζ < 0 é om resposta ins Fator Amorteci ζ > ζ = 0 < ζ < Como as F Expandind RESPOSTA de segunda em série. Po ( )sG 2K . de segunda o segunda ord ítulo iremos uação K e τ rtecimento o em um sis a seguir mo mitido porqu stável, inde de imento 1 1 < 1 FT (39) e (4 s 22 +τ do o lado di 1 2 ττ=τ τ=τ A DE PROC ordem pode or exemplo ) ( )( ) (sU sY == ordem tamb dem, ou a p s considerar ( )sG = tem o mes ζ é adim stema, ou se ostra as trê ue correspon pendente do Car Su Critica Su 40) são equi 1s2 +ζτ+ ireito e igua 2τ 21τ (42) CESSOS D e surgir qua , dois tanqu ( )( s1s KK 21 21 τ+τ bém pode su partir de um r a forma pa 2s K 22 ζτ+τ= smo signific mensional. eja, o grau d s classes d nde a sistem o tipo de en racterística Resposta uperamortec amente amo ubamorteci ivalentes ter ( 1s1 +τ= alando os co E SEGUND ando dois p ues de mistu ) ( s1 1 +τ=+ urgir a parti conjunto d adrão de um 1s +τ cado que na Ele nos de oscilação e sistemas mas de segun ntrada. a da cida ortecida da remos: )( )1s2 +τ oeficientes d 2 =ζτ =ζ DA ORDE rocessos de ura em série )( )1s1 K 2 +τ+ ir de um pro e duas ED´s ma FT de seg as FT de pri fornece a o de um pro de segunda nda ordem q Ra Equação C Reais Rea Complexo de s: 21 τ+τ= 21 21 2 ττ τ+τ M e primeira o e terão a seg ocesso mod s. gunda ordem imeira orde quantidad ocesso após a ordem. O que sempre aízes da Característ s Distintas ais Iguais os Conjugad (43) 53 ordem guinte (39) delado m: (40) em. O de de s uma O caso terão tica dos (41) . 54 O lado esquerdo da equação (41) pode ser fatorado: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + −ζ+ζ τ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + −ζ−ζ τ=+ζτ+τ 1 1 s1 1 s1s2s 22 22 (44) com isto obtemos expressões para 1τ e 2τ : 12 1 −ζ−ζ τ=τ ( )1≥ζ (45) 12 2 −ζ+ζ τ=τ ( )1≥ζ (46) RESPOSTA DEGRAU Para uma entrada degrau ( )( )sMsU= em um processo descrito pela equação (40): ( ) ( )1s2ss KMsY 22 +ζτ+τ= (47) Após inversão para o domínio tempo teremos três tipos de respostas: Superamortecida (ζ > 1): ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ τ−τ τ−τ−= τ−τ− 21 2t 2 1t 1 ee1KMty (48) ou ( ) ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ τ −ζ −ζ ζ+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ τ −ζ−= τζ− t1senh 1 t 1 coshe1KMty 2 2 2 t (49) Criticamente Amortecida (ζ = 1): ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ τ+−= τtet11KMty (50) Subamortecida (0 ≤ ζ < 1): ( ) ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ τ ζ− ζ− ζ+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ τ ζ−−= τζ− t1sen 1 t 1 cose1KMty 2 2 2 t (51) subam Podemos f 1 – As re quand 2 – Valore 3 – A res amort Os termo mortecidos 1 – Temp 2 – Tempo 3 – Tempo 4 – Sobre- 5 – Razão 6 – Períod fazer algum espostas ex do ζ se apro es elevados sposta mais tecido ( =ζ os a segui . o de Ascen o para o Pri o de Respos -elevação: O de Declínio do de Oscila mas observaç xibem alto oxima de zer de ζ resulta s rápida, se)1 . ir são usa nsão: rt é o pela a estaci imeiro Pico sta: st é o t perman ba OS = (% o: ac DR = ação: P é o t ções relativ grau de os ro. am em uma m sobre-ele dos para o tempo que atingir pela onário. o: pt é o tem primeiro v empo neces necer numa % de sobre- a (onde c é tempo entre vas a estas fi scilação e s resposta le evação, é o descrever e a saída do primeira v mpo necess valor máxim ssário para a faixa de 5± -elevação é a altura do e dois picos iguras: sobre-elevaç nta. obtida no c a dinâmic o processo vez o novo ário para a mo. a saída do p %5 do seu v ba 100 ). segundo pi sucessivos ção ( KMy aso criticam a de proc leva para a valor de e saída ating processo atin valor final. ico). da resposta 55 )1M > mente cessos atingir estado ir seu ngir e a. 56 Para o caso particular de um processo subamortecido de segunda ordem: Tempo para o Primeiro Pico: 2p 1t ζ−πτ= (52) Sobre-elevação: ( ) ba1expOS 2 =ζ−πζ−= (53) Razão de Declínio: ( ) ( ) ac12expOSDR 22 =ζ−πζ−== (54) Período: 212P ζ−πτ= (55) EXEMPLO: Um reator é refrigerado com uma serpentina para remover o calor gerado na reação. A presença de um controlador faz com que o sistema apresente um comportamento de sistema de segunda ordem subamortecido. a) Um operador altera a vazão do reator de 0,4 para skg 5,0 e nota que a temperatura, que inicialmente era de C 100 ° , muda para C 102 ° . Qual é o valor do ganho do processo que relaciona as mudanças na temperatura com as mudanças na vazão? b) O operador observa que a resposta resultante oscila levemente e que os dois primeiros picos, C 5,102 ° e C 1,102 ° , ocorrem nos tempos de s 1000 e s 3060 após a mudança. Qual é a FT completa do processo? c) Qual é o valor do tempo de ascensão? Solução: a) ( )( ) skg 4,05,0 C 100102 Entrada SaídaK − °−=Δ Δ= ⇒ skg C20K °= b) Como o comportamento do sistema é de segunda ordem subamortecido, podemos usar as equações da sobre-elevação e do período de oscilação para encontrar ζ e τ. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ζ− πζ−==− 21 exp b aelevaçãoSobre ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ζ− πζ−==− − 21 exp25,0 100102 1025,102 ⇒ 4,0≅ζ 21 2P ζ− πτ= ⇒ π ζ−=τ 2 1P 2 ⇒ ( ) s 206010003060P =−= ⇒ s 300≅τ 57 Portanto, a FT do processo será: ( ) ( ) ( )( ) 1s3004,02s300 20 1s2s K s'W s'T 2222 p ++=+ζτ+τ= ( ) ( ) 1s240s90000 20 s'W s'T 2 ++= c) Para uma resposta subamortecida temos: ( ) ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ τ ζ− ζ− ζ+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ τ ζ−−= τζ− t1sen 1 t 1 cose1 KM ty 2 2 2 t Quando rtt = , ( )ty é igual à seu valor final em estado estacionário, KM. Assim: 0t 1 sen 1 t 1 cos r 2 2r 2 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ τ ζ− ζ− ζ+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ τ ζ− ( )( ) 0t1cos t1sen11 r2 r 2 2 =τζ− τζ− ζ− ζ+ ⇒ ζ ζ−−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ τ ζ− 2 r 2 1 t 1 tg 2 2 r 2 2 1t 1 tg ζ ζ−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ τ ζ− Usando 1AtgAsec 22 =− 22 22 2 2 r 2 2 1111t 1 sec ζ=ζ ζ−+ζ=ζ ζ−+=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ τ ζ− ⇒ ζ±=⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ τ ζ− 1t1sec r 2 T (ºC) 102,5 102,1 30601000 100 102 a b Tempo (s) c 58 Usando ζ−1 e Acos1Asec = ζ−=⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ τ ζ− 1t1sec r 2 ⇒ ζ−= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ τ ζ− 1 t 1 cos 1 r 2 ζ−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ τ ζ− r 2 t 1 cos ⇒ ( ) r 2 1 t 1 cos τ ζ−=ζ−− Usando ( ) ( )AcosAcos 11 −− −π=− ( ) r 2 1 t 1 cos τ ζ−=ζ−π − ⇒ ( )[ ]ζ−π ζ− τ= −1 2r cos 1 t Com 4,0=ζ e s 300=τ ⇒ s 649t r = ♠ RESPOSTA SENOIDAL Considere um processo de segunda ordem ( ) ( ) 1s2s K sU sY 22 +ζτ+τ= e uma entrada senoidal tAsenω . Com isto ( ) 22s AsU ω+ ω= e ( ) ( )( )1s2ss KAsY 2222 +ζτ+τω+ ω= Invertendo e considerando a saída para valores altos de t (após os termos exponenciais terem desaparecido), a resposta será dada por: ( ) ( )[ ] ( ) ( )φ+ωζωτ+ωτ−= tsen21 KAty 222 (61) onde ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ωτ− ζωτ−=φ − 21 1 2tg (62) 59 A amplitude da saída  é obtida diretamente da equação (61) ( )[ ] ( )222 21 KA ζωτ+ωτ− = (63) A razão entre as amplitudes de saída e entrada é chamada de Razão de Amplitude ( )AÂAR = . Quando normalizada pelo ganho do processo é chamada de Razão de Amplitude Normalizada, NAR ( )[ ] ( )222N 21 1 KA ÂAR ζωτ+ωτ− == (64) NAR representa o efeito dos parâmetros do modelo dinâmico ( )τζ, na resposta senoidal e independe do ganho K e da amplitude de função de entrada A. O valor máximo de NAR pode ser encontrado derivando (64) em relação à ω e igualando a derivada à zero. Resolvendo para maxω temos τ ζ−=ω 2 max 21 707,00 <ζ< (65) Para 707,0≥ζ não há máximo. Substituindo (65) em (64) nos dá uma expressão para o valor máximo de NAR : 2 max maxN 12 1 KA ÂAR ζ−ζ== 707,00 <ζ< (66) A equação (66) indica que um processo com pouco amortecimento pode exibir grandes oscilações na saída quando perturbado por sinais periódicos com frequência próxima da maxω . 60 EXEMPLO: Um engenheiro usa um sensor de temperatura acoplado em um thermowell para medir a temperatura em um reator CSTR. A combinação de sensor/transmissor de temperatura e o thermowell operam como sistemas de primeira ordem com constantes de tempo iguais a 3 e 10 s, respectivamente. A temperatura medida do reator se comporta aproximadamente comoum ciclo senoidal entre 180 e 183 ºC, com um período de 30 s, durante um tempo considerável. O que podemos concluir sobre a temperatura no reator? Solução: O sensor/transmissor e o thermowell atuam como 2 processos de primeira ordem em série: ( ) ( ) ( )( )1s101s3 1 s'T s'T reator medido ++= (67) A amplitude da saída é descrita pela equação (63). De (67) temos 31 =τ e 102 =τ . Usando as equações (42) e (43): 21ττ=τ 21 21 2 ττ τ+τ=ζ ( )( ) 48,5103 ==τ 19,1 302 13 ==ζ A frequência da perturbação senoidal será: 1s2094,0 30 2 P 2 −=π=π=ω A amplitude da saída é obtida por: Cº5,1 2 180183 =−= Para obter a amplitude da variação da temperatura dentro do reator usamos (63): ( )[ ] ( )222 21 K ÂA ζωτ+ωτ−= A = 4,12 ºC Portanto, a temperatura dentro do reator varia entre 181,5 – 4,12 = 177,38 ºC e 181,5 + 4,12 = 185,62 ºC. ♠
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