06 Caracteristicas da Resposta Dinamica de Processos Mais Complicados

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06 – CARACTERÍSTICAS DA 
RESPOSTA DINÂMICA DE 
PROCESSOS MAIS COMPLICADOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62
PÓLOS E ZEROS E SEU EFEITO NAS RESPOSTAS DE PROCESSOS 
 
Considere a FT 
( ) ( )( )1s2s1ss KsG 22221 +ζτ+τ+τ= (1) 
sendo 10 <ζ≤ . 
Aplicando frações parciais e TL inversa, sabemos que a resposta do sistema (1) a 
uma dada perturbação irá conter as seguintes funções do tempo: 
⊗ Um termo constante resultante do fator s. 
⊗ Um termo 1te τ− resultante do fator ( )1s1 +τ . 
⊗ t1sene
2
2
2t
τ
ζ−τζ− ⎤ termos resultantes do fator 
⊗ t1cose
2
2
2t
τ
ζ−τζ− ⎦ ( )1s2s 2222 +ζτ+τ 
 
As raízes do denominador de (1), também chamado de polinômio característico, 
são: 
0s1 = 
1
2
1s τ−= 2
2
2
3
1
js τ
ζ−+τ
ζ−= 
2
2
2
4
1
js τ
ζ−−τ
ζ−= (2) 
 
As raízes do polinômio característico são chamadas de pólos da FT G(s). Estas 
raízes podem ser plotadas no plano complexo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que o pólo real está mais próximo do eixo imaginário que o par 
complexo, indicando uma resposta mais lenta. Em geral, a velocidade da resposta 
aumenta quando a localização do pólo se afasta do eixo imaginário. 
 
 
 
 
 
63
Um pólo localizado à direita do eixo imaginário, por exemplo, τ= 1s , indica uma 
resposta do sistema na forma τte , que aumentará quanto t aumenta, caracterizando um 
sistema instável. 
A presença de pólos complexos conjugados indica que a resposta irá conter 
termos com seno e coseno, ou seja, apresentará um comportamento oscilatório. 
 
 
Considere a equação diferencial: 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +τ=+τ u
dt
duKy
dt
dy
a1 (3) 
 
Nesta equação, a dinâmica padrão de primeira ordem foi modificada pela adição 
da derivada da entrada ponderada pela constante de tempo aτ . Sua FT será 
 
( ) ( )
1s
1sK
sG
1
a
+τ
+τ= (4) 
 
Quando uma FT possui um termo com s no numerador dizemos que ela possui 
dinâmica de numerador. 
Suponha que a integral de u é incluída no termo de entrada: 
 
( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
τ+=+τ ∫
t
0
a
1 dttu
1uKy
dt
dy (5) 
 
A FT para (5), considerando condições iniciais nulas, será: 
 
( ) ( )( )1ss
1sK
sG
1a
a
+ττ
+τ= (6) 
 
Neste exemplo, a integração da entrada introduz um pólo na origem (o termo saτ
). 
O comportamento dinâmico de um processo é afetado não somente pelos pólos de 
G(s), mas também pelos valores de s que tornam o numerador de G(s) nulo. Estes 
valores são chamados de zeros de G(s). 
Os zeros exercem um efeito significativo nos coeficientes da resposta do sistema, 
na maneira como eles são ponderados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64
EXEMPLO: Calcule a resposta do sistema da equação (4) à uma perturbação 
degrau de magnitude M. 
 
Solução: 
Para este caso: 
( ) ( )( )1ss
1sKMsY
1
a
+τ
+τ= (11) 
 
 
Expandindo em frações parciais: 
 
( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+τ
τ−τ+=
1ss
1KMsY
1
1a (12) 
Invertendo 
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
τ
τ−−= τ− 1t
1
a e11KMty (13) 
 
Podemos plotar a resposta para 41 =τ e 5 diferentes valores de aτ . 
 
Caso i: a10 τ<τ< ( )8a =τ 
Caso ii: 1a0 τ<τ< ( )2,1a =τ 
Caso iii: 0a <τ ( )4,1a −−=τ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se 1a τ=τ , a FT é simplificada para K como resultado de cancelamento entre 
termos do numerador e do denominador, que é um cancelamento pólo-zero. 
♠ 
 
 
 
 
 
65
PROCESSOS DE SEGUNDA ORDEM COM DINÂMICA DE NUMERADOR 
 
Pela equação (13) e a figura anterior vemos que a presença de um zero em um 
sistema de primeira ordem causa uma descontinuidade em y(t) quando t = 0 ao ser 
aplicada uma perturbação degrau. Isto ocorre quando os polinômios do numerador e 
denominador têm a mesma ordem. Processos industriais têm dinâmicas de ordens 
maiores no denominador e por isto exibem certo grau de inércia. Isto evita uma resposta 
instantânea para qualquer entrada, incluindo um impulso. 
Então dizemos que um processo deve ter nm ≤ para ser fisicamente viável. 
 
 
 
EXEMPLO: Para o caso de um zero em um FT de segunda ordem 
superamortecida: 
( ) ( )( )( )1s1s
1sKsG
21
a
+τ+τ
+τ= (14) 
 
calcule a resposta à uma perturbação degrau de magnitude M e plote os resultados para 
41 =τ , 12 =τ e vários valores de aτ . 
 
Solução: 
A resposta do sistema a uma perturbação degrau será: 
 
( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
τ−τ
τ−τ+τ−τ
τ−τ+= τ−τ− 21 t
12
2at
21
1a ee1KMty (15) 
 
Vamos analisar a resposta em três casos. 
 
Caso i: 1a τ>τ ( )16,8a =τ 
Caso ii: 1a0 τ≤τ< ( )4,2,1,5.0a =τ 
Caso iii: 0a <τ ( )4,1a −−=τ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66
Caso (i) mostra que ocorre uma sobre-elevação se o valor de aτ é suficientemente 
alto. 
Caso (ii) é similar à resposta de um processo de primeira ordem. 
Caso (iii), que tem um zero positivo, também chamado zero de plano à direita, 
exibe uma resposta inversa. Uma resposta inversa ocorre quando a resposta inicial a 
uma perturbação degrau tem uma direção e o valor final do novo estado estacionário 
tem uma direção oposta. 
 
♠ 
 
 
 
 
 
 
 
PROCESSOS COM TEMPO MORTO 
 
Considere um fluido se deslocando em uma tubulação, com um perfil de 
velocidade achatado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O tempo de transporte entre os pontos 1 e 2 será dado por: 
 
cavolumétrivazão
 tubodo olumev
fluidodovelocidade
 tubodo ocompriment ==θ (26) 
 
Suponha que x é uma propriedade do fluido no ponto 1, e y é a mesma 
propriedade no ponto 2 e que x e y são variáveis desvio. Elas serão relacionadas por um 
tempo morto θ. 
 
( ) ( ) θ≥
θ<
⎩⎨
⎧
θ−= t
t
tx
0
ty (27) 
 
 
Portanto, a saída y é a mesma função de entrada, mas defasada pelo tempo morto. 
 
 
 
 
 
 
 
67
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A FT de um tempo morto de magnitude θ é 
 ( )
( ) ( ) sesGsX
sY θ−== (28) 
 
 
 
 
APROXIMAÇÕES POLINOMIAIS PARA e–θs 
 
Uma grande vantagem do uso de TL para modelagem de processos é a forma 
simples com que as FT representam o tempo morto. Entretanto, a forma exponencial 
(28) não pode ser colocada na forma de um quociente de dois polinômios em s. 
Uma solução é substituir o termo de tempo morto por uma aproximação 
polinomial baseada na expansão em Série de Taylor em s: 
 
...
!5
s
!4
s
!3
s
!2
ss1e
55443322
s +θ−θ+θ−θ+θ−=θ− (34) 
 
Outra solução é utilizar a aproximação de Padé para tempo morto, que é um 
quociente de dois polinômios de s. 
Aproximação 1/1 de Padé: ( )
s
2
1
s
2
1
sGe 1
s
θ+
θ−
=≈θ− (35) 
 
Aproximação 2/2 de Padé: ( )
2
2
2
2
2
s
s
12
s
2
1
s
12
s
2
1
sGe θ+θ+
θ+θ−
=≈θ− (37) 
 
Uma FT para um sistema de primeira ordem com tempo morto pode ser escrita na 
forma: 
( )
1s
KesG
s
p +τ=
θ−(38) 
 
 
 
68
EXEMPLO: A figura a seguir demonstra: 
 
a) Resposta à perturbação degrau de aproximações de Páde 1/1 ( )( )sG1 e 
2/2 ( )( )sG2 . ( )1=θ 
b) Resposta à perturbação degrau de um processo de primeira ordem com tempo 
morto usando aproximações de Padé 1/1 ( )( )sG1 e 2/2 ( )( )sG2 . ( )1e1K,1 =τ==θ 
 
 
 
 
♠ 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: Um reator utiliza reciclo para obter condições de operação 
satisfatórias para temperatura e conversão. A concentração do produto (c1) é medida no 
mesmo ponto da linha de reciclo onde o produto é removido. A reação em fase líquida é 
de primeira ordem. 
Considerações: 
i) O reator opera isotermicamente, portanto, a taxa de reação r é constante. 
ii) O volume V e todas as vazões são constantes. 
iii) Não ocorrem reações na tubulação. A dinâmica das linhas de saída e reciclo 
podem ser aproximadas como tempo morto 1θ e 2θ . 
iv) Devido à alta razão de reciclo, a mistura no reator é completa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69
 
a) Desenvolva a função de transferência ( ) ( )s'Cs'C i1 . 
b) Usando as informações a seguir, calcule ( )t'c 1 para uma perturbação degrau em ( ) 3i mkg2000t'c = . 
Parâmetros: 3m 5V = 12=α 
 minm 05,0q 3= min 9,01 =θ 
 1min 04,0k −= min 1,12 =θ 
 
Solução: 
a) Um balanço por componente no reator nos dá: 
 
( ) Vkcqc1qcqc
dt
dcV 2i −α+−α+= (39) 
 
Subtraindo de (39) a equação em estado estacionário e usando variáveis desvio: 
 
( ) 'Vkc'qc1'qc'qc
dt
'dcV 2i −α+−α+= (40) 
 
Para obter relações para ( )t'c 1 e ( )t'c 2 usamos o item (iii), que nos diz que as 
linhas de reciclo e de saída podem ser modeladas como tempo morto: 
 ( ) ( )11 t'ct'c θ−= (41) ( ) ( )212 t'ct'c θ−= (42) 
 
Aplicando TL em (40), (41) e (42): 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s'VkCs'qC1s'qCs'qCs'sVC 2i −α+−α+= (43) ( ) ( )s'Ces'C s1 1θ−= (44) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s'Ces'Ces'Ces'C ss1s2 3212 θ−θ+θ−θ− === (45) 
 
sendo 213 θ+θ=θ . 
Substituindo (45) em (43) e resolvendo para ( )s'C : 
 
( ) ( ) ( )s'CVkq1qesV
qs'C is3 +α++α−= θ− (46) 
Rearranjando: 
( ) ( ) ( )s'Ce1K1s Ks'C is3θ−−α++τ= (47) 
sendo: 
Vkq
qK += (48) 
Vkq
V
+=τ (49) 
 
 
70
 
No limite, quando 03 →θ , 1e s3 →θ− e 
 
( ) ( )s'C
1s
Ks'C i+τ= 
 
Ou seja, um reator sem reciclo terá uma FT de primeira ordem. 
A FT desejada ( ) ( )s'Cs'C i1 é obtida combinando-se as equações (47) e (44): 
 ( )
( ) ( )s
s
i
1
3
1
e1K1s
Ke
s'C
s'C
θ−
θ−
−α++τ= (51) 
 
b) Para encontrar ( )t'c 1 quando ( ) 3i mkg 2000t'c = , multiplicamos (51) por 
s2000 
( ) ( )[ ]s
s
1 3
1
e1K1ss
Ke2000s'C θ−
θ−
−α++τ= (52) 
 
e aplicamos a transformada inversa. 
Nas tabelas de TL não encontramos termos com tempo morto no denominador. 
Para resolver isto, substituímos este termo pela aproximação 1/1 de Padé. 
Substituindo (35) em (52) e rearranjando: 
 
( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ θα+θ+τ+θτ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +θ
≈
θ−
1sK
2
s
2
s
e1s
2
K2000
s'C
3
323
s3
1
1
 (53) 
 
Esta equação pode ser escrita na forma: 
 
( ) ( )( )( )1s1ss
e1sK2000
s'C
21
s
a
1
1
+τ+τ
+τ≈
θ−
 (54) 
 
Onde 23a θ=τ e 1τ e 2τ são obtidos fatorando-se os termos entre colchetes. 
Os parâmetros numéricos em (53) são: 
 
2,0K = min 20=τ 
 
Substituindo em (53): 
 
( ) ( )( )( )( )( )[ ] ( )( )( )1s8,01s25s e1s4001s22,012120s20s e1s400s'C
s9,0
2
s9,0
1 ++
+=++++
+=
−−
 (55) 
 
 
 
 
 
 
71
Aplicando TL inversa: 
 ( ) ( ) ( )( ) ( )9,0tSe00826,0e99174,01400t'c 8,09,0t259,0t1 −−−= −−−− (56) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
♠ 
 
 
 
 
APROXIMAÇÃO DE FT´s DE ORDEM SUPERIOR 
 
Na equação (34) vimos que uma FT para tempo morto pode ser expressa como 
uma expansão em série de Taylor. Para valores pequenos de s, o truncamento da 
expansão após o primeiro termo nos fornece uma aproximação razoável. 
 
s1e 0
s0 θ−≈θ− (57) 
 
Uma aproximação alternativa consiste da FT 
 
s1
1
e
1e
0
s
s
0
0
θ+≈= θ
θ− (58) 
 
 
 
 
"REGRA DA METADE" DE SKOGESTAD 
 
Skogestad propôs um método de aproximação para modelos de ordem superior 
que contém múltiplas constantes de tempo. Ele aproxima a maior constante de tempo 
negligenciável da seguinte forma: metade de seu valor é adicionado ao tempo morto 
existente (se houver), e a outra metade é adicionada à menor constante de tempo não 
negligenciável. As demais constantes de tempo negligenciáveis são aproximadas como 
tempo morto usando (58). 
 
EXEMPLO: Considere a FT: 
 
( ) ( )( )( )( )1s5,01s31s5
1s1,0KsG +++
+−= (59) 
 
 
 
72
Obtenha um modelo de primeira ordem com tempo morto: 
 
( )
1s
KesG~
s
+τ=
θ−
 (60) 
usando dois métodos: 
a) Expansão em série de Taylor. 
b) Regra da metade de Skogestad. 
 
Solução: 
a) A constante de tempo dominante (5) é retida. Aplicando (57) e (58) teremos: 
 
s1,0e1s1,0 −≈+− (61) 
e 
s3e
1s3
1 −≈+ 
s5,0e
1s5,0
1 −≈+ (62) 
 
Substituindo em (59): 
 
( )
1s5
Ke
1s5
eeKesG~
s6,3s5,0s3s1,0
TS +=+=
−−−−
 (63) 
 
b) A maior constante de tempo negligenciável em (59) é 3. Metade de seu valor é 
adicionado à maior constante de tempo, gerando uma nova constante de tempo 5,6=τ . 
A outra metade fornece um tempo morto de 1,5. Por (61) vemos que no 
numerador temos um tempo morto de 0,1. Aproximando a menor constante de tempo 
0,5 de (59) por (58) teremos um tempo morto de 0,5. Portanto, o tempo morto total em 
(60) é: 
1,25,01,05,1 =++=θ 
 
e G(s) pode ser aproximada como: 
( )
1s5,6
KesG~
s1,2
SK +=
−
 (64) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
♠ 
 
 
73
EXEMPLO: Considere a seguinte FT: 
 
( ) ( )( )( )( )( )1s05,01s2,01s31s12
es1KsG
s
++++
−=
−
 (65) 
 
Use o método de Skogestad para obter dois modelos aproximados: 
a) Um modelo de primeira ordem com tempo morto na forma de (60). 
b) Um modelo de segunda ordem com tempo morto na forma: 
 
( ) ( )( )1s1s
KesG~
21
s
+τ+τ=
θ−
 (66) 
 
 
Solução: 
a) A constante de tempo (12) é retida. Metade da maior constante de tempo 
negligenciável (3) é somada na constante de tempo retida e a outra metade vai para o 
tempo morto. As constantes de tempo (0,2) e (0,05) e o zero (1) são somadas ao tempo 
morto original. Logo: 
 
75,3105,02,0231 =++++=θ 
5,132312 =+=τ 
 
( )
1s5,13
KesG~
s75,3
+=
−
 
 
b) De forma análoga: 
15,2105,022,01 =+++=θ 
121 =τ 1,31,032 =+=τ 
 
( ) ( )( )1s1,31s12
KesG~
s15,2
++=
−(66) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
♠ 
 
 
 
74
PROCESSOS INTERATIVOS E NÃO-INTERATIVOS 
 
Processos Não-Interativos são aqueles cujas FT podem ser tratadas 
individualmente. Um exemplo é o caso dos dois tanques mostrados anteriormente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As FT obtidas foram: 
 ( )
( ) 1s
K
s'Q
s'H
1
1
i
1
+τ= 
( )
( ) 11
1
K
1
s'H
s'Q = ( )( ) 1s
K
s'Q
s'H
2
2
1
2
+τ= 
( )
( ) 22
2
K
1
s'H
s'Q = 
 
O nível do tanque 2, 2h , pode ser relacionado à iq por uma FT de segunda ordem 
que pode ser obtida por simples multiplicação: 
 ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )( )1s1s
K
s'Q
s'H
s'H
s'Q
s'Q
s'H
s'Q
s'H
21
2
i
1
1
1
1
2
i
2
+τ+τ== (67) 
 
 
Podemos generalizar esta expressão para aplicá-la para o caso de n tanques em 
série: ( )
( ) ( )∏
=
+τ
= n
1i
i
n
i
n
1s
K
s'Q
s'H (68) 
e ( )
( ) ( )∏
=
+τ
= n
1i
i
i
n
1s
1
s'Q
s'Q (69) 
 
 
 
 
 
75
Um Processo Interativo é ilustrado na figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este processo é interativo porque 1h depende de 2h e vice-versa. Portanto, a 
equação para o fluxo do tanque 1 para o tanque 2 deve ser escrita como: 
 
( )21
1
1 hhR
1q −= (70) 
 
A FT para o nível do tanque 1 será: 
 
( )
( )
( )
( ) 1sARARARsAARR
1s
RR
ARRRR
s'Q
s'H
121122
2
2121
21
221
21
i
1
++++
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +++= (71) 
 
ou ( )
( )
( )
1s2s
1s'K
s'Q
s'H
22
a1
i
1
+ζτ+τ
+τ= (72) 
 
A FT global entre 2'H e i'Q será: 
 ( )
( ) 1s2s
R
s'Q
s'H
22
2
i
2
+ζτ+τ= (74) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
76
PROCESSOS COM MÚLTIPLAS ENTRADAS E MÚLTIPLAS SAÍDAS 
(MIMO) 
 
No processo a seguir o objetivo é controlar o nível h e a temperatura T ajustando-
se as vazões das correntes quente ( )hW e fria ( )cW . hT e cT são consideradas 
distúrbios. A vazão W é mantida constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lembrando que V pode variar com o tempo, os balanços de massa e energia para 
este processo são: 
 ( )[ ] ( ) ( ) ( )refrefccrefhhref TTwCTTCwTTCwdt
TTVdC −−−+−=−ρ (75) 
 
www
dt
dV
ch −+=ρ (76) 
 
Expandindo a derivada do produto ( )refTTV − : 
 ( )[ ] ( )
dt
dTV
dt
dVTT
dt
TTVd
ref
ref +−=− (77) 
 
Substituindo (76) e (77) na equação (75), e simplificando (75) e (76): 
 
( )[ ]TwwTwTw
Ah
1
dt
dT
chcchh +−+ρ= (78) 
 
( )www
A
1
dt
dh
ch −+ρ= (79) 
 
Linearizando (78) e (79) e colocando em termos de variáveis desvio, obtemos um 
conjunto de oito FT que relacionam as entradas ( )chch 'T,'T,'w,'w com as saídas ( )'h,'T : 
 
 
 
77
( )
( )
( )
1s
wTT
s'W
s'T h
h +τ
−= (80) ( )( )
( )
1s
wTT
s'W
s'T c
c +τ
−= (81) 
 
( )
( ) 1s
ww
s'T
s'T h
h +τ
= (82) ( )( ) 1s
ww
s'T
s'T c
c +τ
= (83) 
 ( )
( ) s
A1
s'W
s'H
h
ρ= (84) ( )( ) s
A1
s'W
s'H
c
ρ= (85) 
 ( )
( ) 0s'T
s'H
h
= (86) ( )( ) 0s'T
s'H
c
= (87) 
 
onde whAρ=τ . 
 
Estas equações podem ser escritas de forma compacta como Matriz Função de 
Transferência. 
 
( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
ρρ +τ+τ+τ
−
+τ
−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
s'T
s'T
s'W
s'W
00
s
A1
s
A1
1s
ww
1s
ww
1s
wTT
1s
wTT
s'H
s'T
c
h
c
h
chch
 (88) 
 
 
O Diagrama de Blocos para este sistema será: