aula 17 Impulso e quantidade de movimento

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Mecânica dos Sólidos II 
Prof.: Judas Tadeu G de Sousa 
 
 Apresentar os conceitos de impulso e 
quantidade de movimento 
 Desenvolver o princípio do impulso e 
quantidade de movimento 
 Aplicar o princípio do impulso e quantidade 
de movimento para um sistema de partículas. 
 Estudar a conservação da quantidade de 
movimento. 
 Equação do movimento para um ponto 
material de massa m: 
 
 
 
 
◦ Onde: 
 ∑F representa a resultante das forças atuantes na 
partícula; 
 a é a aceleração sofrida pelo ponto material. 
aF  m
 Sabemos no entanto que: 
 
 
 
 Sendo assim, a equação do movimento pode 
ser reescrita como: 
 
 
 
 
 
 
dt
dv
a 
dt
d
m
v
F 
 Se quando t=t1 a velocidade da partícula for v1 
e em t=t2 a velocidade da partícula for v2, 
podemos integrar a equação anterior 
 
 
 
 ou seja: 
 
 
 
 
 
 
2
1
2
1
v
v
vF dmdt
t
t
12
2
1
vvF mmdt
t
t

 Definimos então a grandeza vetorial 
Quantidade de Movimento como: 
 
 
 
 
◦ onde: 
 m é a massa da partícula; 
 v é sua velocidade. 
 
 
 
 
vL m
 Definimos também a quantidade vetorial 
Impulso como: 
 
 
 
 
 Portanto o impulso mede o efeito da força 
sobre uma partícula durante um intervalo de 
tempo. 
 
 
 
 

2
1
t
t
dtFI
 Obtemos assim o princípio do impulso e 
quantidade de movimento, ou seja: 
 
 
 
 
◦ “A quantidade de movimento inicial da partícula 
instante t1 mais a soma de todos os impulsos 
aplicados de t1 a t2 equivale à quantidade de 
movimento final no instante t2” 
 
 
 
21 LIL 
 Graficamente temos o seguinte diagrama 
vetorial da quantidade de movimento para 
uma partícula em movimento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Expressando cada dos vetores em termos de 
seus componentes cartesianos, temos 
equações escalares: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
   
   
21
21
21
2
1
2
1
2
1
z
t
t
zz
y
t
t
yy
x
t
t
xx
vmdtFvm
vmdtFvm
vmdtFvm






 O princípio do impulso e quantidade de 
movimento pode ser aplicado para um 
sistema de pontos materiais que se movem 
relativamente a um referencial inercial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A equação do movimento aplicada a todos os 
pontos materiais do sistema pode ser escrita 
como: 
 
 
 
◦ Onde 
 SFi representa as forças externas agindo no sistema, 
pois as internas se anulam mutuamente. 
 Smi é a soma da massa de todas as partículas de 
velocidade vi. 
 
 
 
 
dt
d
m iii
v
F
 Multiplicando os temos da equação anterior 
por dt e integrando entre os limites, t1 a t2, 
temos: 
 
 
 
◦ Reagrupando os termos: 
 
 
 
 
 
 
     12
2
1
iiii
t
t
i mmdt vvF
     21
2
1
ii
t
t
iii mdtm vFv
 Usando os conceitos de impulso e quantidade 
de movimento: 
 
 
 
 
◦ Ou seja, a quantidade de movimento inicial do 
sistema mais os impulsos de todas as forças 
externas de t1 a t2 é igual a quantidade de 
movimento final do sistema. 
 
 
 
     21 iii LIL
 Como a localização do centro de massa do 
sistema é determinado por: 
 
 
 
 
 Sendo m =Smi, então podemos escrever. 
 
 
 
 
 
 iiG mm rr
   
21
2
1
G
t
t
iG mdtm vFv 
 Quando a soma dos impulsos externos que 
agem num sistema de pontos materiais é 
nula, a equação anterior se reduz a: 
 
 
 
 
◦ “A quantidade de movimento total para um sistema 
de pontos materiais permanece constante quando 
não há impulsos externos atuantes” 
     21 iiii mm vv
 Esse resultado também implica que a 
velocidade do centro de massa quando os 
impulsos externos são nulos permanece 
constante: 
 
 
 
 
    GGG mmm vvv  21
 Observações: 
◦ A conservação da quantidade de movimento é 
normalmente empregada na solução de problemas 
de colisão ou outras formas de interação entre 
pontos materiais de um sistema; 
◦ Se o intervalo de tempo estudado for muito curto 
alguns impulsos das forças externas podem ser 
desprezados e a conservação aplicada; 
◦ Existem forças, no entanto, de grande magnitude e 
período de aplicação muito curto, nesses casos, o 
impulso produzido por elas não pode ser 
desprezado na análise do problema. 
 
 
 
 Uma bala de 60g é disparada horizontalmente com uma 
velocidade v1=600m/s contra um bloco de 3kg de madeira 
macia inicialmente em repouso sobre uma superfície 
horizontal. A bala emerge do bloco com a velocidade 
v2=400m/s e se observa que o bloco desliza uma distância de 
2,7 m antes de parar. Determine o coeficiente de atrito 
dinâmico entre o bloco e a superfície de apoio. 
 O elevador de mina carregado com 150kg está descendo o 
plano inclinado a 4m/s quando uma força P é aplicada ao 
cabo como indicado no instante de tempo t=0. A força P é 
aumentada uniformemente com o tempo até que atinja 600N 
em t=4s, após este tempo permanece constante neste valor. 
(a) Calcule o tempo t’ no qual o vagonete inverte o seu sentido 
e (b) a velocidade v do vagonete em t=8s. Trate o vagonete 
como uma partícula.