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aula 19 Cinematica plana de corpos rígidos

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Prévia do material em texto

MECÂNICA DOS SÓLIDOS II 
Prof. Judas Tadeu Gomes de Sousa 
 
 Classificar os vários tipos de movimento de 
um corpo rígido; 
 Estudar o movimento plano de um corpo 
rígido; 
 Estudar o movimento plano usando uma 
análise de movimento absoluto. 
 Aplicar os conhecimentos adquiridos na 
análise do movimento de engrenagens e 
outros mecanismos usados em muitas 
operações mecânicas 
 Hipótese de Corpo rígido : 
◦ Um corpo rígido é idealizado como um sistema de 
partículas para o qual as distâncias entre as 
partículas constitutivas permanecem inalteradas 
 Classificação dos movimentos de corpo rígido 
no espaço: 
◦ Translação; 
◦ Rotação em torno de um eixo fixo; 
◦ Movimento plano geral; 
◦ Movimento em torno de um ponto fixo; 
◦ Movimento Geral 
 Translação : 
◦ Diz-se que um movimento é de translação quando 
qualquer reta unindo dois pontos quaisquer do 
corpo conserva a mesma direção durante todo o 
movimento. 
 Rotação em torno de um eixo fixo: 
◦ Nesse movimento, os pontos materiais que forma o 
corpo rígido se deslocam em planos paralelos ao 
longo de circunferências, cujos centros estão sobre 
a mesma reta fixa, ou eixo do corpo; 
 Movimento plano geral: 
◦ Seria uma combinação entre translação e rotação 
no plano; 
 Movimento em torno de um ponto fixo: 
◦ Este é o movimento tridimensional de um corpo 
rígido com um ponto fixo. Um exemplo típico é o 
movimento de um pião sobre o solo com ponto fixo 
mas eixo de rotação variando; 
 Movimento Geral: 
◦ Qualquer movimento de um corpo rígido que não 
possa ser incluído nos tipos anteriormente 
descritos. 
 Definimos o movimento plano geral quando 
todos as partes do corpo se movem em 
planos paralelos : 
 
 Tipos de movimento plano 
 
 Analisemos a posição das partículas A e B no 
interior de um corpo rígido em relação a dois 
sistemas de coordenadas 
 Posição 
◦ As localizações dos pontos A e B num referencial 
fixo é feita usando os vetores de posição rA e rB; 
◦ Já usando o sistema de coordenadas dentro do 
corpo rígido com origem localizada no A (ponto 
base). A posição de A em relação a B é representada 
pelo vetor de posição relativa rB/A; 
◦ Vetorialmente teríamos: 
ABAB /rrr 
 Observe agora a variação dos vetores de 
posição durante uma translação: 
 Conclusão: 
◦ Durante uma translação o vetor de posição relativa 
para todas partículas de um corpo rígido em 
relação a um sistema de coordenadas com origem 
no seu interior mantém-se constante. 
cteAB /r
 Velocidade 
◦ As velocidade instantâneas dos pontos A e B são 
obtidas tomando-se a derivada temporal da 
equação de posição, ou seja. 
 
AB
AB
ABABAB
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
vv
rr
rrrr



 0//
 Aceleração 
◦ Derivando-se em relação ao tempo a equação da 
velocidade obtém-se uma relação semelhante entre 
as acelerações instantâneas de A e B. 
AB aa 
 Conclusão: 
◦ Durante uma translação o vetor de velocidade e 
aceleração de todas partículas que compõe o corpo 
rígido é o mesmo. Portanto a cinemática de um 
ponto material pode ser usada para especificar a 
cinemática de um corpo rígido em translação. 
aaa
vvv


AB
AB
 A rotação de um corpo rígido é descrita pelo 
ângulo entre uma linha no seu interior e um 
referencial fixo conforme figura abaixo: 
 Se o corpo rígido está girando então as 
posições angulares de quaisquer duas linhas 
(1 e 2) devem ser indicadas pelos ângulos q1 
e q2 
qq  12
 Sendo o corpo rígido então ângulo  é 
constante então se diferenciarmos a 
expressão anterior em relação ao tempo, 
temos: 
1212 qqqq  
 Conclusão 
◦ Numa rotação todas as linhas em um corpo rígido 
no seu plano de movimento possuem o mesmo 
deslocamento angular, a mesma velocidade 
angular e a mesma aceleração angular 
qqq
qqq
qqq





12
12
12 ;
 A velocidade angular  e a aceleração angular  de 
um corpo rígido são, respectivamente, a primeira e 
segunda derivada no tempo da posição angular q 
de qualquer linha no interior do corpo, então: 
qqqqq
q
q



q
q

dddd
dt
d
dt
d
dt
d






ou
ou
2
2
 Se a aceleração angular for constante (c) as 
seguintes fórmulas são validas: 
 
 
 
 
 
◦ Onde q0 e 0 são os valores da coordenada de 
posição angular e velocidade angular, 
respectivamente para t=0. 
 0
2
0
2
2
1
00
0
2 qq
qq




c
c
c
tt
t
 Quando um corpo gira em torno de um eixo 
fixo, todos os pontos fora do eixo de rotação 
se deslocam em círculos concêntricos. 
 Para o corpo rígido da figura abaixo girando 
em torno de um eixo fixo normal ao plano 
através de um ponto O, um ponto A qualquer 
se desloca em um círculo de raio r. 
 Analisando o ponto A como uma partícula, 
uma vez que sua trajetória é conhecida, e 
usando o sistema de eixos tangente-normal 
podemos escrever: 



q
rva
r
r
v
a
rv
rs
t
n





2
2
 Essas grandezas podem ser expressas 
alternativamente utilizando a relação de 
produto vetorial da notação vetorial, ou seja: 
◦ Vetor Velocidade 
 
 
 
 
 
 Onde  é o vetor velocidade 
 angular normal ao plano de 
 rotação 
rrv  
◦ Vetor Aceleração 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Onde  é o vetor aceleração angular do corpo e at e an 
os vetores da aceleração tangente e normal, 
respectivamente. 
  nt aarra
rva
rrva





 
 O pinhão A do motor de elevação aciona a engrenagem B, que está 
presa ao tambor de elevação. A carga P é içada a partir da sua 
posição de repouso e adquire uma velocidade para cima de 2m/s 
em uma distância vertical de 0,8m com aceleração constante. 
Quando a carga passa por essa posição, calcule (a) aceleração no 
ponto C no cabo em contato com o tambor e (b) a velocidade 
angular e aceleração angular do pinhão A.

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