Movimento em 2 dimensões

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MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES
Figura 1
 t≡t−t0
Deslocamento:
 r≡r−r0
Velocidade média:
vmed≡
 r
 t
Velocidade instantânea:
v≡ lim
 t0
 r
 t
=
d r
dt
Figura 2
Figura 3
Aceleração média:
amed≡
 v
 t
Aceleração instantânea:
a≡ lim
 t 0
 v
 t
= d v
dt
r=x i+ y j
v=d r
dt
= d
dt
(x i+ y j)=dx
dt
i+dy
dt
j=v x i+v y j
a=d v
dt
= d
dt
(v x i+v y j)=
dv x
dt
i+
dv y
dt
j=a x i+a y j
Movimento de Projéteis
Figura 4
v0 x=v0 cosθ0
v0 y=v0sinθ0
Sem resistência do ar
Horizontal
ax=0
v x=v0x
x=v0x t
Vertical
a y=−g
v y=v0 y−g t
y= y0v0 y t−
1
2
g t 2
v y
2=v0 y
2 −2 g y
Exemplo: um projétil é lançado com uma velocidade de 50 m/s formando um ângulo de 37º com a
horizontal. (a) Quanto tempo o projétil permanece no ar (tvoo)? (b) Qual é o deslocamento horizontal
máximo (alcance horizontal R) do projétil? (c) Qual é a altura máxima (h) atingida pelo projétil?
Despreze a resistência do ar e considere g = 10 m/s2.
(a)
(b) R=v0 x t voo=406=240m
(c)
Equação da trajetória
y= y x 
y= y0v0 y t−
1
2 g t
2 1
x=v0 x t⇒ t=
x
v0 x
2
Substituindo (2) em (1):
y= y0v0 y 
x
v0x
−1
2
g  x
v0x

2
= y0
v0 y
v0 x
 x− g
2 v0 x
2 x
2= y0tan0x−
g
2v0
2 cos20
 x2
y=a x2bxc , com a≡y0 , b≡tan0 e a≡
−g
2v0
2 cos20
v0 x=v0 cosθ0=(50)cos 37
∘=40 m/s
v0 y=v0sinθ0=(50)sin 37
∘=30 m/s
y= y0+v0 y t−
1
2
g t 2
y= y0⇒ v0 y t−
1
2
g t 2=0⇒ t(v0 y−
1
2
g t)=0⇒ tvoo=
2v0 y
g
t voo=
2×30
10
=6,0 s
v y
2=v0 y
2 −2 g Δ y⇒02=v0 y
2 −2 g ymax⇒ ymax=
v0 y
2
2 g
= 30
2
2×10
=45m
Alcance horizontal
Observações:
• A fórmula acima não vale quando y0≠0 !
• Ângulos de lançamentos complementares resultam no mesmo alcance:
• O maior alcance horizontal corresponde a 0=45
°⇒20=90
° .
Figura 6
Exemplo: o anterior. R=
v0
2sin 20
g
=
502sin 2 37°
10
=240 m
R=v0 x t voo=v0 cos0
2 v0sin0
g
=
2 v0
2sin0 cos0
g
sin 20=2sin0 cos0
Logo:R=
v0
2sin 20
g
0=30
°⇒ sin 30°cos30°= 1
2
 3
2
=3
4
0=60
°⇒ sin 60°cos60°= 3
2
 1
2
=3
4