AULA 12 Barras Curvas e Arcos

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ANÁLISE ESTRUTURAL I 
Prof.: Judas Tadeu Gomes de Sousa 
 
 Apresentação das características das Barras 
Curvas; 
 Análise simplificada de quadros planos com 
barras curvas; 
 Classificação dos tipos de Arcos; 
 Análise dos arcos isostáticos triarticulados; 
 Linha de pressões. 
 Algumas estruturas podem apresentar 
elementos cuja posição do eixo principal 
varia conforme uma determinada curva: 
 
 Em uma barra curva o eixo x do referencial de 
definição dos esforços seccionais é tangente 
ao eixo geométrico, portanto: 
◦ A inclinação da seção usada para calcular os 
esforços varia ao longo do eixo do elemento; 
◦ A direção do vetor do esforço normal é também 
tangente ao eixo no ponto da seção analisada; 
◦ A direção do vetor do esforço cortante tem na 
direção perpendicular a tangente ao eixo e linha de 
ação contém o centro de curvatura da barra. 
 Para analisar esse tipo de estrutura, considere 
o problema de calcular os esforços atuantes 
para uma seção no ponto S, no pórtico da 
figura: 
 As reações de apoio para estrutura podem ser 
normalmente. 
0
2
0;0;0


 
A
BA
Oyx
H
PRR
MFF
 Considerando agora que a barra tem a forma 
de um semicírculo de raio R e centro O e a 
seção S pode ser determinada conhecendo o 
ângulo q que a horizontal faz com a corda 
que liga os pontos O e S do arco. 
 Com base no ângulo q, encontramos as 
seguintes equações para os esforços 
atuantes: 
20cos
2
)(
20sen
2
)(
20)cos1(
2
)(
qqq
qqq
qqq





P
N
P
V
RP
M f
 Observação: 
◦ As equações anteriores não são válidas para q>/2, 
entretanto devido a simetria existente, não 
precisamos determinar as equações para o trecho 
CB e o diagrama de momentos fletores e esforço 
normal serão simétricos e o diagrama de esforço 
cortante será antisimétrico. 
 Os diagramas a partir das equações tem a 
seguinte forma: 
◦ Momento Fletor 
◦ Esforço cortante 
◦ Esforço normal 
 Podemos usar outra metodologia para traçar 
o diagrama de momentos fletores quando o 
carregamento atuante é totalmente vertical: 
 Observe que o momento fletor para o ponto S 
varia linearmente com a distância AM função 
do ângulo q: 
AM
P
M f
2
)( q
 Agora que se marcarmos os valores dos 
momentos fletores a partir de uma reta 
horizontal AB o diagrama apresentará uma 
forma retilínea: 
)cos1(
2
)(
2
)(
qq
q




RP
M
AM
P
M
f
f
 Conclusão: 
◦ No caso de barras curvas, sob carregamento 
vertical podemos traçar os diagramas de momento 
fletor a partir de uma reta auxiliar, projeção 
horizontal da barra, quando tal procedimento 
simplificar o traçado. 
 Considere agora o problema desenhar o 
diagrama de momentos fletores, para barra 
curva abaixo com uma carga horizontal no 
apoio. 
 As reações de apoio para estrutura podem ser 
normalmente calculadas pelas equações da 
estática. 
1
0
0;0;0


 
A
BA
Oyx
H
RR
MFF
 Traçando o diagrama a partir da reta 
horizontal AB (projeção), observe que o 
momento atuante em uma seção genérica 
vale 1xy (negativo), e o gráfico será limitado 
pelo eixo da barra, ou seja: 
 Conclusão: 
◦ O diagrama tem a forma proporcional a área abaixo 
do elemento curvo: 
 Com base no que vimos observe a análise do 
pórtico com barras curvas a seguir: 
 
 Usando normalmente as equações da estática 
encontramos as seguintes reações: 
 
;800
;400
;200
kNRF
kNRM
kNHF
By
AB
Ax






 Como o diagrama de momento fletor dos 
trechos AC e BC é direta analisemos os 
esforços no trecho CD do pórtico: 
 
 Esse problema pode ser decomposto em dois: 
 
 Desenhando os diagramas a partir da reta CD 
teríamos: 
 
 O diagrama final seria, com o trecho CD 
desenhado a partir da reta CD: 
 Observações: 
◦ Em resumo no exemplo o diagrama de momentos 
fletores da barra curva CD do pórtico plano foi 
traçado a partir da sua projeção horizontal, 
pendurando a soma do diagrama de viga biapoiada 
e do diagrama devido apenas as forças horizontais; 
◦ Essa é a forma mais simples para determinar os 
diagrama de momento fletor em quadros com 
barras curvas; 
 
 Definição: 
◦ O arco é uma barra curva ou poligonal, utilizado 
quando se deseja preponderância do esforço 
normal de compressão frente ao momento fletor, 
com o objetivo de favorecer o uso de materiais de 
pouca resistência à tração e/ou de buscar formas 
arquitetônicas. 
 Classificação: 
◦ Triarticulados: 
 Possuem dois apoios do segundo gênero e uma rótula 
intermediária, por isso são estruturas isostáticas. 
◦ Biapoiados: 
 Estão fixados por dois apoios do segundo gênero, 
portanto são estruturas hiperestáticas de primeiro 
grau. 
◦ Biengastados: 
 Estão fixados por dois engastes, portanto são 
estruturas hiperestáticas de grau 3. 
 
 Observe o arco triarticulado submetido ao 
carregamento vertical abaixo: 
 
 Podemos associar a esse arco a seguinte viga 
biapoiada auxiliar em azul: 
 
 Observações: 
◦ A viga auxiliar é do tipo biapoiada, sem rótula, com 
tem comprimento igual a projeção horizontal do 
arco; 
◦ O carregamento externo vertical no arco é passado 
integralmente para a viga auxiliar; 
◦ As reações nos apoios do arco serão decompostas 
em duas componentes uma na direção vertical e 
outra na direção da corda AB; 
◦ As reações verticais na viga auxiliar são iguais as do 
arco mas representadas com uma letra minúscula. 
 
 Reações de apoio na viga auxiliar: 
 
;0
;0
;00
ba
ab
ax
RM
RM
HF






 Reações no arco triarticulado: 
 
;'0
;0
;0
HHHF
RRM
RRM
BAAB
bBA
aAB






 Momento fletor na rótula G: 
 
)(
cos
'
cos
)(
cos
)(
'
0cos')(0
1
11
1
11
1
11
auxiliarviganagemfletorMomentoM
f
M
H
f
xlPlR
f
xlPlR
H
fHxlPlRM
g
g
l
i
iia
l
i
iiA
l
i
iiA
G
f













 Escolhendo uma seção genérica S definida 
pela abscissa horizontal x, medida do apoio 
da esquerda e por uma ordenada vertical y 
medida da linha de fechamento AB, temos os 
esforços: 
 
)cos('sen)(
)(sen'cos)(
cos')(
1
1
1












HPRN
HPRV
yHxxPxRM
i
i
iAS
i
i
iAS
i
i
iiAS
 Considerando os esforços numa seção s na 
viga auxiliar temos: 
 






i
i
ias
i
i
iias
PRV
xxPxRM
1
1
)(
)(
 Os esforços no arco podem ser reescritos 
como: 
 




cos
'
)cos('sen
)(sen'cos
cos'
f
M
H
HVN
HVV
yHMM
g
sS
sS
sS




 Considere o seguinte problema: 
◦ “Determinar qual a forma de um arco triarticulado 
AGB tal que, para um dado carregamento, todas as 
suas seções tenham momento fletor nulo, sendo 
dados l1, l2, f e .” 
 


cos'
0cos'
H
M
y
yHMM
s
sS


 Qual seria então o valor do esforço cortante 
para esse arco de momento fletor nulo? 
◦ Derivando a expressão anterior teríamos: 
 
 



cos'
cos'
*
H
V
tgtg
yYy
H
V
dx
dy
s
s


◦ Substituindo Vs na expressão para o cortante do 
arco (VS) teríamos:◦ Portanto o cortante também é nulo. 
 
 
0
0)('coscos'


S
S
V
senHtgtgHV 
 Qual seria então o valor do esforço normal 
para esse arco de momento fletor nulo? 
◦ Como o cortante é nulo, a resultante de todas as 
forças de um dos lados da seção é igual a 
composição vetorial da soma das projeções 
verticais e da soma das projeções horizontais de 
todas as forças atuantes de um dos lados da seção, 
ou seja: 
 
   22 cos'sen'  HHVN sS 
 Graficamente teríamos: 
 
   22 cos'sen'  HHVN sS 
 Portanto quando um arco triarticulado, para 
um dado carregamento, está submetido 
apenas a esforços normais, dizemos que sua 
forma é a da linha de pressões desse 
carregamento, definida por : 
 





cos
'
;
cos'
sen'
;
cos'
f
M
H
H
HV
tg
H
M
y
g
s
s




 Para o quadro triarticulado que deve trabalhar 
seguindo a linha de pressões para o carregamento 
indicado e de sorte que o esforço normal máximo 
seja 200kN (compressão), calcular o falor de f.