AULA 21 Envoltoria dos esforços

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ANÁLISE ESTRUTURAL I 
Prof.: Judas Tadeu Gomes de Sousa 
 
 Pequena Revisão 
 Conceito de envoltória dos esforços 
 Pesquisa dos valores máximos 
 
 Trem Tipo: 
◦ É um representação de um veículo ideal, definida 
pela norma de dimensionamento da estrutura, 
constituído basicamente por cargas (concentradas 
ou uniformemente distribuídas), de valores 
conhecidos e guardando uma distância conhecida 
constante entre si. 
 Linha de influência: 
◦ Linha de influência de um efeito elástico, E em uma 
dada seção S é a representação gráfica ou analítica 
do valor deste efeito, naquela seção S, produzido 
por uma carga concentrada unitária, de cima para 
baixo, que percorre toda a estrutura 
 Caso o trem tipo seja formado por um conjunto de 
cargas concentradas: 
  iiS PE 
 Caso o trem tipo seja formado por uma carga 
distribuída constante 
 
b
a
S qdzqE 
 Caso Geral: é uma composição dos dois casos 
anteriores 
  )( qPE iiS 
 Aprendemos a traçar as linhas de influência 
para as seguintes estruturas isostáticas: 
◦ Vigas em balanço; 
◦ Vigas biapoiadas; 
◦ Vigas biapoiadas com balanços. 
 
 Aplicação das linhas de influência: 
◦ Envoltória de Esforços: Trata-se de um diagrama 
que determina os valores limites de um efeito 
elástico em cada seção transversal, ao longo do 
eixo da estrutura, devido a ação de um trem tipo. 
 Teorema geral: 
◦ “Ocorrerá um efeito máximo quando uma das 
cargas concentradas do trem-tipo estiver sobre um 
dos pontos angulosos da linha de influência em 
questão” 
 Para determinar qual é essa carga, 
analisemos a viga biapoiada e um trem tipo 
de cargas concentradas mostrado abaixo: 
 O momento fletor na seção S pode ser 
calculado, mediante: 
 
 
 
 Onde: 
◦ Re = a resultante das forças concentradas a 
esquerda de S; 
◦ Rd = a resultante das forças concentradas a direita 
de S. 
 
 
 
ddeeS RRM  
 A partir da linha de influência da viga e por 
semelhança de triângulos, obtemos 
 
 
 
 
 Onde: 
◦ e = distância entre a primeira carga concentrada e a 
resultante das forças a esquerda; 
◦ d = distância entre a primeira carga concentrada e a 
resultante das forças a direita. 
 
 
 
   de
dz
l
x
Rezl
l
xl
RM deS

)()( 


 Derivando a expressão anterior em relação a 
coordenada z, obtemos: 
 
 
 
 
 
 Onde: 
◦ R é a resultante de todas as forças. 
 
 
 
e
S
de
S
R
l
x
R
dz
dM
l
x
R
l
xl
R
dz
dM




 Se definirmos agora o Pk como sendo a carga 
concentrada do trem tipo a qual sobre o 
ponto anguloso da L.I. produza o momento 
máximo então, temos: 
◦ Antes do máximo: 
 
 
 
◦ Depois do máximo 
0
1
1
 
k
i
S P
l
x
R
dz
dM
0
1
 
k
i
S P
l
x
R
dz
dM
 As duas desigualdades anteriores podem ser 
resumidas a expressão: 





k
i
i
k
i
i P
l
x
RP
1
1
1
 Observações: 
◦ Apesar da expressão ter sido desenvolvida para o 
trem tipo seguindo em um sentido, ela pode ser 
aplicada nos dois sentidos. 
◦ A expressão foi obtida para o caso onde todas as 
cargas estão na viga. Caso contrário é precioso 
proceder por tentativas usando o teorema geral. 
◦ A desigualdade vale também se além das cargas 
concentradas o tem tipo possuir uma carga 
distribuída infinita; 
◦ A desigualdade vale para qualquer linha de 
influência. 
 Para a seção S da viga percorrida pelo trem 
tipo indicado que pode se mover nos dois 
sentidos, trace a linha de influência e obtenha 
o MSmax.