Sistemas e Sinais - Poli - Lista 4A - Exercícios Conceituais

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PTC2307 - Sistemas e Sinais I
Lista 4A de Exerc´ıcios
Exerc´ıcios Conceituais
Professores: Andre´ F. Kohn, Jose´ Carlos Teixeira de Barros Moraes,
Henrique T. Moriya e Maria D. Miranda
Monitores: Blas Sanchez e Pedro Rodrigues (2015)
Renato Watanabe e Leonardo Elias (2013), Amanda Souza de Paula (2012)
EPUSP, PTC, Maio de 2015
Observac¸a˜o: O sinal 1(t) representa o degrau unita´rio e δ(t) o delta de Dirac.
A presente lista e´ divida em duas partes. A primeira parte consiste em exerc´ıcios de
ca´lculo de pares transformados de Fourier. A maior parte destes exerc´ıcios necessitam
o uso das propriedades da transformada de Fourier, que esta˜o listadas em uma tabela
dispon´ıvel no site da disciplina. A segunda parte da lista e´ focada na demonstrac¸a˜o das
propriedades mencionadas.
Parte I: Ca´lculo de pares transformados
Exerc´ıcio 1.1
(a) Seja a func¸a˜o s(t) definida da seguinte forma:
s(t) =

0 t < −1
1 −1 < t < 0
2 0 < t < 1
0 t > 1
(a.1) Calcule a transformada de Fourier S(jω) de s(t).
(a.2) Determine S(0).
(a.3) Esboce os gra´ficos de |S(jω)| e ∠S(jω)
1
(b) Seja S(jω) definida por
S(jω) =

0 −∞ < ω < −2
2 −2 < ω < −1
1 −1 < ω < 1
2 1 < ω < 2
0 2 < ω <∞
Determine s(t).
(c) A transformada de Fourier do pulso triangular representado na Figura 1 e´
S1(jω) =
[
sin(ω/2)
ω/2
]2
Determine a transformada de Fourier do sinal s2(t) representado na Figura 1.
Figura 1: Sinais s1(t) e s2(t).
2
Exerc´ıcio 1.2
Dados os sinais
s(t) =
2
pi
sinc
(2t
pi
)
q(t) = s(t− 1)
r(t) = −s(t)ej2t
(a) Esboce o sinal s(t).
(b) Esboce o espectro de q(t).
(c) Esboce o espectro de r(t).
(d) Qual e´ a contribuic¸a˜o de uma u´nica frequeˆncia ω = 1 rad/s na s´ıntese de s(t)?
Justifique sua resposta.
Exerc´ıcio 1.3
Da tabela de pares transformados dispon´ıvel no site do curso, sabe-se que
1(t)↔ 1
jω
+ piδ(ω)
(a) Calcule a transformada de Fourier de s1(t) = 1(t− T )
(b) Calcule a transformada de Fourier de s2(t) = 1(t− T ) + 1(t+ T )
(c) Calcule a transformada de Fourier de s3(t) = 1(t− T )− 1(t+ T )
Exerc´ıcio 1.4
Considere o sinal s0(t) dado por
s0(t) =
A
pi
(
1(t+ τ/2)− 1(t− τ/2)
)
(a) Fornec¸a a transformada de Fourier de s0(t), que denotaremos por S0(jω).
(b) Especifique a fase de
S0(jω) = |S0(jω)|ejφ0(ω)
(c) Fac¸a o esboc¸o de S0(jω).
(d) Indique as relac¸o˜es de simetria associadas ao par transformado s0(t)↔ S0(jω).
(e) Usando as propriedades de linearidade e deslocamento no tempo da transformada de
Fourier, determine em func¸a˜o de S0(jω) as seguintes transformadas de Fourier
3
(e.1) S1(jω), em que s1(t) = s0(t− T0)
(e.2) S2(jω), em que s2(t) = s0(t+ T0)
(e.3) S3(jω), em que s3(t) = s0(t− T0) + s0(t+ T0)
(e.4) S4(jω), em que s4(t) = s0(t− T0)− s0(t+ T0)
Exerc´ıcio 1.5
Para este exerc´ıcio o aluno e´ aconselhado a usar a propriedade da dualidade da transfor-
mada de Fourier.
(a) Determine a transformada de Fourier de
x1(t) = e
−|t|
(b) Determine a transformada de Fourier de
x2(t) =
1
1 + x2
Exerc´ıcio 1.6
Considere a transformada de Fourier (real e par) dada por
G(jω) = exp(−a|ω|n)
com n sendo um nu´mero inteiro positivo fixo. Sem calcular g(t) explicitamente, responda
a`s seguintes perguntas:
(a) g(t) tem simetria par, simetria ı´mpar ou nenhuma delas? Justifique.
(b) g(t) tem parte real nula, parte real imagina´ria ou nenhuma delas e´ nula? Justifique.
(c) Determine: ∫ +∞
−∞
g(t)dt
Exerc´ıcio 1.7
Considere os sinais
x(t) =
+∞∑
l=−∞
δ(t− lT )
r(t) =
{
a |t| < T/4
0 outros valores de t
sendo T = 4 segundos e a = 10. As transformadas de Fourier de x(t) e de r(t) sa˜o
representadas como X(jω) e R(jω) respectivamente.
4
(a) Determine e esboce X(jω).
(b) Determine e esboce R(jω).
(c) Seja Y (jω) = X(jω)R(jω). Sem determinar explicitamente Y (jω), esboce y(t).
(d) Compare e comente as eventuais diferenc¸as ou semelhanc¸as entre as func¸o˜es r(t) e
y(t) e seus respectivos espectros.
Exerc´ıcio 1.8
(a) Determine o sinal x1(t) a partir de sua transformada de Fourier X1(jω) dada na
Figura 2. Obtenha uma forma anal´ıtica fechada para x1(t) e esboce seu gra´fico.
(b) Determine o sinal x2(t) a partir de sua transformada de Fourier X2(jω) dada na
Figura 2. Obtenha uma forma anal´ıtica fechada para x2(t) e esboce seu gra´fico.
Figura 2: Transformada de Fourier de x1(t) e x2(t).
5
Exerc´ıcio 1.9
Seja X(jω) a transformada de Fourier do sinal
x(t) =
{
e−t 0 < t < 1
0 em outros pontos
(1)
Expresse a transformada de Fourier dos sinais x1(t), x2(t) e x3(t), representados nas
Figura 3, em termos de X(jω).
Figura 3: Sinais x1(t), x2(t) e x3(t).
Exerc´ıcio 1.10
Seja x(t) um sinal com transformada de Fourier X(jω) dada por
X(jω) =
{
1 |ω| < 1
0 |ω| > 1
Considere o sinal
y(t) =
d2x(t)
dt2
encontre o valor de ∫ +∞
−∞
|y(t)|2dt
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Parte II: Propriedades da TF
Exerc´ıcio 2.1
A transformada de Fourier de um sinal complexo s(t) e´ denotada por S(jω).
(a) Seja y(t) = s(−t). Determine Y (jω), ou seja, a transformada de Fourier de y(t), em
func¸a˜o de S(jω).
(b) Mostre que o sinal z(t) = s(t) + y(t) e sua transformada Z(jω) sa˜o func¸o˜es pares.
(c) Como se modificam os resultados anteriores se s(t) for real?
(d) Tome s(t) = ej2pit e desenhe s(t), S(jω), y(t), Y (jω), z(t) e Z(jω). Comente o que
voceˆ obteve para Z(jω).
Exerc´ıcio 2.2
Demonstre as seguintes propriedades:
(a) Deslocamento no tempo.
(b) Deslocamento em frequeˆncia.
(c) Dualidade tempo-frequeˆncia.
(d) Simetria conjugada.
(e) Simetria par e simetria impar.
(f) Mudanc¸a de escala de tempo.
(g) Derivada no tempo e na frequeˆncia.
(h) Integral.
Exerc´ıcio 2.3
Demonstre o teorema da convoluc¸a˜o no tempo e da convoluc¸a˜o na frequeˆncia.
Exerc´ıcio 2.4
Demonstre a relac¸a˜o de Parseval.
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Exerc´ıcio 2.5
Mostre que se x(t) e´ uma func¸a˜o par de t, enta˜o
X(jω) = 2
∫ +∞
0
x(t) cos(ωt)dt
e se x(t) for uma func¸a˜o ı´mpar de t, enta˜o
X(jω) = −2j
∫ +∞
0
x(t) sin(ωt)dt
Logo, prove que se x(t) for real e uma func¸a˜o par de t, enta˜o X(jω) e´ real e uma func¸a˜o
par de ω. Ale´m disso, se x(t) for real e uma func¸a˜o impar de t, enta˜o X(jω) e´ imagina´rio
e uma func¸a˜o ı´mpar de ω.
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PTC3307 - Sistemas e Sinais
Lista 4A de Exerc´ıcios
Exerc´ıcios Conceituais
Respostas
Professores: Andre´ F. Kohn, Jose´ Carlos Teixeira de Barros Moraes,
Henrique T. Moriya e Maria D. Miranda
Monitores: Amanda Souza de Paula (2012), Leonardo Elias e
Renato Watanabe (2013), Blas Sanchez (2015) e Pedro Rodrigues (2016)
EPUSP, PTC, 2016
Exerc´ıcio 1.1
(a) S(jω) = 2 sin(ω)
ω
+ sin(ω/2)
ω/2
e−jω/2 e S(0) = 3.
1
(b) s(t) = 2
pit
sin(2t)− 1
pit
sin(t)
(c) S2(jω) =
jωT
2
sinc2
(
ωT
4pi
)
Exerc´ıco 1.2
(a) O esboc¸o e´
(b) O esboc¸o e´
(c) O esboc¸o e´
2
(d) A contribuic¸a˜o de uma u´nica frequeˆncia ωi = 1rad/s e´ nula na s´ıntese de s(t), ja´ que
a contribuic¸a`o seria:
sωi(t) ≈
1
pi
· |S(jωi)| ·∆ω · cos(ωit+ φ(ωi))
conforme visto em aula e no cap´ıtulo 4 e, para uma u´nica frequeˆncia, ∆ω = 0.
Exerc´ıcio 1.3
Exerc´ıcio 1.4
(a)
S0(jω) =
Aτ
pi
sinc(
ωτ
2pi
)
(b)
θ0(ω) =
{
0 S0(jω) > 0
±pi S0(jω) < 0
(c) O esboc¸o e´
3
(d) s0(t) e´ real e par ⇔ S0(jω) e´ real e par.
(e) Temos:
(1)
S1(jω) = e
−jωT0S0(jω)
(2)
S2(jω) = e
jωT0S0(jω)
(3)
S3(jω) = 2 cos(ωT0)S0(jω)
(4)
S3(jω) =
2
j
sin(ωT0)S0(jω
Exerc´ıcio 1.5
a)
X1(jω) =
2
1 + ω2
b)
X2(jω) =
1
1 + t2
Exerc´ıcio 1.6
(a) Real e par.
(b) Parte imagina´ria nula.
(c)
∫ +∞
−∞ g(t)dt = 1
Exerc´ıcio 1.7
(a)
X(jω) =
pi
2
+∞∑
l=−∞
δ(ω − lω0)
ω0 =
pi
2
4(b)
R(jω) = 2a · sinc(ω
pi
)
(c)
y(t) = r(t) ∗ x(t) =
+∞∑
l=−∞
r(t− 4l)
(d) y(t) e´ a repetic¸a˜o perio´dica de r(t). O per´ıodo e´ de T0 = 4s. O espectro de y(t) sa˜o
amostras do espectro de r(t).
Y (jω) = R(jω)
+∞∑
l=−∞
pi
2
δ(ω − lω0) = pi
2
+∞∑
l=−∞
R(jl
pi
2
)δ(ω − lpi
2
)
O intervalo entre amostras e´ de pi/2.
Y (jω) = pia
+∞∑
l=−∞
sinc(
l
2
)δ(ω − lpi
2
)
Exerc´ıcio 1.8
(a)
x1(t) =
3
pit2
(3pit cos(3pit)− sin(3pit))
5
(b)
x2(t) = 9pi
sin(3pit)
pit
− 6pi sin
2(3pi
2
t)
pi2t2
Tanto x1(t) quanto x2(t) sa˜o func¸o˜es reais no tempo. Entretanto, x1(t) e´ uma func¸a˜o
impar no tempo, e x2(t) par. Como consequeˆncia X1(jω) e´ uma func¸a˜o impar em ω e
puramente imagina´ria, e X2(ω) par e puramente real.
Tanto X1(jω) quanto X2(jω) possuem valor zero para |ω| > 3pi. Consequentemente
x1(t) e x2(t) possuem durac¸a˜o infinita no tempo.
Tanto X1(jω) quanto X2(jω) sa˜o func¸o˜es descont´ınuas para |ω|. Assim, as magnitudes
de x1(t) e x2(t) decaem como
1
t
para t suficientemente grande.
Exerc´ıcio 1.9
X1(jω) = X(jω) +X(−jω)
X2(jω) = X(jω)−X(−jω)
X3(jω) = (1 + e
jω)X(jω)
Exerc´ıcio 1.10 ∫ +∞
−∞
|y(t)|2dt = 1
6pi
6