Sistemas e Sinais - Poli - Lista 5B - Exercícios Conceituais

Prévia do material em texto

PTC2307 - Sistemas e Sinais I
Lista 5B de Exerc´ıcios
Exerc´ıcios Conceituais
Professores: Andre´ F. Kohn, Jose´ Carlos Teixeira de Barros Moraes,
Henrique T. Moriya e Maria D. Miranda
Monitores: Blas Sanchez e Pedro Rodrigues (2015)
Renato Watanabe e Leonardo Elias (2013), Amanda Souza de Paula (2012)
EPUSP, PTC, Junho de 2015
Exerc´ıcio 1
No diagrama abaixo ha´ uma chave que pode estar na posic¸a˜o I ou na posic¸a˜o II. Na
posic¸a˜o I, a sa´ıda do subsistema G1(s) e´ aplicada a` entrada do sistema G2(s) seguinte.
Na posic¸a˜o II, o subsistema G2(s) passa a ter como entrada o sinal w(t). O sistema parte
do estado inicial nulo. A constante b e´ real.
(1) Com a chave na posic¸a˜o I
(a) Determine a func¸a˜o de transfereˆncia G(s) global do sistema, que relaciona a sa´ıda
y com a entrada u. A respostas ficara´ em func¸a˜o da constante b. Observac¸a˜o: (1)
obter G1(s) e G2(s) separadamente, para enta˜o determinar G(s); (2) no caso de
G2(s) notar que x1(t) e´ a integral de y(t) ou, em outras palavras, que a entrada
do integrador mais a` direita e´ y(t).
(b) Fornec¸a uma descric¸a˜o de estados numerando as varia´veis de estado da direita
para a esquerda, como feito em aula e na apostila. Apresente a equac¸a˜o de
estados e de sa´ıda usando vetores e matrizes. A resposta ficara´ em func¸a˜o da
constante b.
(c) Deduza um valor para a constante real b de forma que o sistema completo passe
a ter ordem 2, explicando o racioc´ınio. Fornec¸a a func¸a˜o de transfereˆncia do
sistema resultante. Caso conclua que isto na˜o e´ poss´ıvel, explique o racioc´ınio.
(2) Com a chave na posic¸a˜o I
(a) Sabendo-se que o espectro de w(t) e´ W (jω) = 10piδ(ω), determine a sa´ıda y(t)
resultante.
1
Exerc´ıcio 2
Um sistema dinaˆmico pode ser escrito pela seguinte resposta ao impulso unita´rio:
h(t) =
(
5e−20t + 20e−5t
)
1(t),
sendo 1(t) o degrau unita´rio. Pede-se:
(a) Determinar um diagrama de simulac¸a˜o do sistema dinaˆmico na forma canoˆnica con-
trola´vel.
(b) Determinar a descric¸a˜o completa do sistema por varia´veis de estado.
(c) Um te´cnico realizou (construiu) o diagrama de simulac¸a˜o implementando o sistema
em Matlab/Simulink, mas distraidamente usou um multiplicador de sinais ao inve´s
do somador que tem o sinal de entrada a ele ligado. Analisar a linearidade deste
novo sistema, justificando. Determinar ainda a descric¸a˜o entrada-sa´ıda por func¸a˜o
de transfereˆncia deste novo sistema e sua descric¸a˜o por varia´veis de estado.
Exerc´ıcio 3
O sinal de a´udio m(t) cujo espectro e´ visto na Figura 1 passa pelo multiplicador de
dois sinais visto na Figura 2. Adota-se |m(t)| < A (A e´ um nu´mero real positivo) para
2
qualquer t, ω2 = 2ω1, ω0 = 3ω1. Note que a portadora e´ uma seno´ide e na˜o co-seno´ide.
(a) Deduza a expressa˜o anal´ıtica da transformada de Fourier de s(t) em func¸a˜o de A,
M(jω), ω0.
(b) Desenhe o mo´dulo do espectro do sinal s(t). Marque os valores de ordenadas e
abscissas de todos os pontos relevantes do espectro, ficando as ordenadas em func¸a˜o
de A e B.
(c) Desenhe a fase do espectro do sinal s(t). Marque os valores de ordenadas e abscissas
de todos os pontos relevantes do espectro, ficando as ordenadas em func¸a˜o de A e B.
(d) Supondo que H(jω) seja um sistema passa-baixas ideal, com frequeˆncia de corte
ωc = 0.8ω0 = 2.4ω1, desenhe o mo´dulo do espectro do sinal q(t) marcando os valores
de todas as abscissas e ordenadas relevantes.
(e) Verifique que o sinal q(t) ocupa a mesma faixa de frequeˆncia que m(t). Comente,
justificando seu racioc´ınio, se o sinal de a´udio q(t) ira´ soar num alto-falante da mesma
forma que o a´udio m(t).
3
Exerc´ıcio 4
Um sistema dinaˆmico possui um sinal de entrada u(t), um sinal de sa´ıda y(t) e duas
varia´veis de estado θ(t) e ω(t). A sua descric¸a˜o por varia´veis de estado e´ a seguinte:
θ˙ = ω,
ω˙ = −100 sin(θ)− 25ω + u,
y = 425θ + 25ω.
Pede-se:
(a) Um diagrama de simulac¸a˜o analo´gica do sistema.
(b) A func¸a˜o de transfereˆncia em s e a func¸a˜o resposta em frequeˆncia do sistema. Se
achar que elas na˜o existem, justifique.
4
PTC2307 - Sistemas e Sinais I
Lista 5B de Exerc´ıcios
Exerc´ıcios Conceituais
Respostas
Professores: Andre´ F. Kohn, Jose´ Carlos Teixeira de Barros Moraes,
Henrique T. Moriya e Maria D. Miranda
Monitores: Amanda Souza de Paula (2012), Leonardo Elias e
Renato Watanabe (2013), Pedro Rodrigues (2014, 2015) e Blas Sanchez (2015)
EPUSP, PTC, Junho de 2015
Exerc´ıcio 1
(a)
G1(s) =
bs+ 1
s+ 8
G2(s) =
s2
s2 + 7s+ 12
G(s) = G1(s)G2(s) =
bs3 + s2
s3 + 15s2 + 68s+ 96
(b)
x˙ =
−7 −12 1− 8b1 0 0
0 0 −8
x +
b0
1
u
y =
[−7 −12 1− 8b]x + bu
(c)
b =
1
8
ou
b =
1
3
ou
b =
1
4
(d)
y(t) = 0
1
Exerc´ıcio 2
(a) Temos
(b)
x˙ =
[
0 1
−100 −25
]
x +
[
0
1
]
u
y =
[
425 25
]
x
(c)
xeq =
[
0
0
] ∣∣∣∣
u=0
(d) Temos
(e) O sistema e´ na˜o-linear, pois na descric¸a˜o por varia´veis de estado (vide abaixo) aparece
um termo x1x2u.
x˙1 = x2
x˙2 = (−100x1)(−25x2)u
y = 425x1 + 25x2
2
Como o sistema e´ na˜o-linear, na˜o ha´ descric¸a˜o entrada-sa´ıda.
xeq =
[
x1
0
]
, x1 ∈ R
3
Exerc´ıcio 3
(a) S(jω) =
A
2j
δ
(
(ω − ω0)
)
− A
2j
δ
(
(ω + ω0)
)
+
1
2j
M
(
j(ω − ω0)
)
− 1
2j
M
(
j(ω + ω0)
)
(b) O gra´fico de |S(jω)| e´:
(c) O gra´fico de ∠S(jω) e´:
(d) O gra´fico de |Q(jω)| e´:
4
(e) Como se veˆ pela figura do item (d), a faixa de frequeˆncia que Q(jω) ocupa e´ a mesma
de M(jω). No entanto, o sinal de a´udio associado a q(t) sera´ diferente daquele de
m(t). Pode-se esperar que a´udio de m(t) seja um som predominantemente agudo, ao
passo que o de q(t) tera´ uma presenc¸a mais forte de sons graves.
5
Exerc´ıcio 4
(a) Temos:
(b) Sistema na˜o-linear (termo sin(θ)). Na˜o existe func¸a˜o de transfereˆncia.
6