Sistemas e Sinais - Poli - Lista 6A - Exercícios Conceituais

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PTC2307 - Sistemas e Sinais I – Junho de 2015 – Lista de Exercícios Cap 6 
1) Dado um sistema com a descrição entrada-saída 
buykyky  21 
, sendo 
y
 e 
u
 funções de 
t
. 
1k
, 
2k
 e 
b
constantes reais, com 
81 k
, 
152 k
 e 
0b
. 
a) Tomando como variáveis de estado x1=y e x2=dy/dt, determine a descrição 
de estados e os pontos de equilíbrio do sistema. 
b) Determine os autovalores e autovetores da matriz A do sistema. 
c) Qual é a direção predominante em termos assintóticos? 
d) Determine um diagrama de simulação do sistema descrito pela equação de 
estados. 
e) Esboce no plano de fase as trajetórias que partem dos seguintes estados 
iniciais: [3 1]
T
 , [[0 3]
T
 , [-3 0]
T 
 
2) É dado o modelo predador-presa, apresentado no Capítulo 1, e repetido abaixo, 
sendo x1(t) a quantidade de presas e x2(t) a quantidade de predadores. 
 
 
 
 
 
 
 
a) Determine os pontos de equilíbrio deste sistema 
b) Determine um diagrama de simulação 
c) Mostre a partir das equações diferenciais (olhando para a “velocidade” de 
x1(t) e depois a de x2(t)) que qualquer estado inicial tomado sobre o eixo x2 
converge para a origem do espaço de estados. Veja que o resultado é 
intuitivo, pois significa partir de um ecossistema sem presas, ou seja, o 
predador fica sem refeições. 
 
3) É dado o modelo de Lotka-Volterra em que duas espécies de animais competem 
pela mesma fonte alimentar, por exemplo, carneiros e coelhos competindo por 
grama. 
 
 
 
 
a) Sabendo que coelhos se reproduzem mais rapidamente que os carneiros, veja 
qual variável de estado representa cada espécie. 
b) Determine os pontos de equilíbrio. 
c) Comente o resultado de (b) do ponto de vista da particular aplicação. 
d) Determine um diagrama de simulação do sistema. 
Obs: as trajetórias deste sistema são bastante interessantes, o leitor poderá 
encontrar maiores detalhes em S.H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, 
1994, pg. 158. 
 
PTC2307 - Sistemas e Sinais I – Junho de 2015 – Lista de Exercícios Cap 6 
4) Dado o sistema 
 




















)()(5,05,0)(
)(
1
1
)(
5,15,0
5,05,1
)(
~
~~
tutxty
tutxtx 
 a) Determine seus autovalores e um conjunto de autovetores L.I.; 
b) Obtenha a matriz 
Λ
; 
 
5) A representação de um SLIT-SISO de tempo contínuo admite os autovalores 
11 
 e 
32 
, aos quais correspondem, respectivamente, os autovetores 







1
1
1p
 








1
1
2p
 
Determine: 
a) a matriz 
A
 do sistema; 
b) Um estado inicial tal que a amplitude do modo natural correspondente a 
1
 
seja igual ao dobro da amplitude do outro modo natural, estando o sistema 
livre; 
c) Determine um estado inicial de modo que o vetor de estado dependa apenas 
de 
1
. 
 
6) Um sistema linear e invariante no tempo possui resposta impulsiva 
)()(2)( 52 teeth tt 1 
 
 Pede-se: 
a) A função de transferência do sistema; 
b) Uma possível descrição 
 dcbA ,,,
 do sistema, com variáveis de estado; 
c) Os autovalores e os autovetores da matriz 
A
descritiva do SLIT; 
d) Um novo conjunto de variáveis de estado de modo que o sistema de equações de 
estado seja desacoplado, ou seja, tenha uma matriz 
A
 diagonal; 
e) Determine os modos naturais do sistema, relacionando-os com os seus autovalores e 
autovetores; 
 
 
PTC2307 - Sistemas e Sinais I
Lista 6A de Exerc´ıcios
Exerc´ıcios Conceituais
Respostas
Professores: Andre´ F. Kohn, Jose´ Carlos Teixeira de Barros Moraes,
Henrique T. Moriya e Maria D. Miranda
Monitores: Amanda Souza de Paula (2012), Leonardo Elias e
Renato Watanabe (2013), Pedro Rodrigues (2014, 2015) e Blas Sanchez (2015)
EPUSP, PTC, Junho de 2015
Exerc´ıcio 1
(a) A descric¸a˜o no espac¸o de estados do sistema e´:
x˙(t) =
[
0 1
−15 −8
]
x(t) y(t) =
[
1 0
]
x(t).
O ponto de equil´ıbrio e´ u´nico e e´ dado por
x˙eq =
[
0
0
]
.
(b) Os autovalores e autovetores de A sa˜o:
λ1 = −3 p1 =
[
1
−3
]
λ2 = −5 p2 =
[
1
−5
]
.
(c) Como o modo natural e−5t decai mais rapidamente do que o modo natural e−3t, as
trajeto´rias do espac¸o de estados ficam assinto´ticas ao autovetor associado ao autovalor
λ1 = −3, ou seja, p1.
(d) O diagrama de simulac¸a˜o abaixo representa o sistema dado.
1
(e) Denotemos as condic¸o˜es iniciais do sistema por x0, em que
x˙0 =
[
x10
x20
]
.
Dos dados do enunciado, temos:
x˙(t) =
[
x1(t)
x2(t)
]
=
 52e−3tx10 + 12e−3tx20 − 32e−5t − 12e−5tx20
−15
2
e−3tx10 − 32e−3tx20 + 152 e−5tx10 + 52e−5tx20

O gra´fico abaixo mostra alguns exemplos de trajeto´rias no espac¸o de estados do
sistema, para diferentes condic¸o˜es iniciais. Os autovetores p1 e p2 tambe´m esta˜o
representados.
2
Exerc´ıcio 2
(a) O sistema tem dois pontos de equil´ıbrio:
xeq1 =
[
0
0
]
xeq2 =
[
2/3
3
]
(b) O diagrama de simulac¸a˜o e´:
(c) Um estado inicial sobre o eixo x2 tem, necessariamente, x1 = 0. Portanto, o sistema
de equac¸o˜es diferenciais fica  x˙1(t) = 0x˙2(t) = −2x2(t)
Pela primeira equac¸a˜o, e´ fa´cil notar que na˜o havera´ trajeto´ria saindo de cima do eixo
x2, pois os valores de x1 se mantera˜o constantes. A segunda equac¸a˜o nos diz que se
x20 > 0, enta˜o a trajeto´ria partira´ com x˙2(t) < 0, o que significa que o movimento
sera´ no sentido da origem. Por outro lado, se x20 < 0, enta˜o a trajeto´ria partira´ com
x˙2(t) > 0, e tambe´m ira´ no sentido da origem.
Exerc´ıcio 3
(a) A taxa de crescimento e´ maior para x1, pois no segundo membro da primeira equac¸a˜o
temos 3x1, enquanto que na equac¸a˜o diferencial de x2 temos 2x2. Portanto, a quan-
tidade de coelhos corresponde a` varia´vel de estado x1.
3
(b) O sistema tem 4 pontos de equil´ıbrio:
xeq1 =
[
0
0
]
xeq2 =
[
0
2
]
xeq3 =
[
3
0
]
xeq4 =
[
1
1
]
.
(c) Os pontos de equil´ıbrios determinados no item anterior sa˜o tais que:
• xeq1 corresponde a uma situac¸a˜o sem coelhos nem ovelhas.
• xeq2 corresponde a uma situac¸a˜o em que a taxa de nascimentos de carneiros e´
igual a` taxa de mortes desta espe´cie.
• xeq3 corresponde a uma situac¸a˜o em que a taxa de nascimentos de coelhos e´
igual a` taxa de mortes desta espe´cie.
• xeq4 corresponde a uma situac¸a˜o de equil´ıbrio entre competic¸oes por comida e
taxas de nascimentos/mortes das duas populac¸o˜es.
(d) O diagrama de simulac¸a˜o e´:
Exerc´ıcio 4
(a) Os autovalores sa˜o λ1 = −1 e λ2 = −2. Os autovetores correspondentes sa˜o:
p1 =
[ √
2/2√
2/2
]
p2 =
[ √
2/2
−√2/2
]
(b) A matriz Λ tem os autovalores λ1 e λ2 em sua diagonal. Portanto,
Λ =
[ −1 0
0 −2
]
4
Exerc´ıcio 5
(a) A matriz A e´ dada por
A =
[ −2 1
1 −2
]
(b) Qualquer estado inicial tal que
x(0) = α
[
3
1
]
(∀α ∈ R)
(c) Qualquer estado inicial tal que
x(0) = β
[
1
1
]
(∀β ∈ R)
Exerc´ıcio 6
(a) A func¸a˜o de transfereˆncia do sistema e´
H(s) =
6
s2 + 7s+ 10
(b) O sistema pode ser descrito usando dois estados, x1(t) e x2(t). As matrizes associadas
a essa representac¸a˜o por estados sa˜o:
A =
[
0 1
−10 −7
]
B =
[
0
6
]
C =
[
1 0
]
D = 0
(c) Os autovalores e autovetores sa˜o:
λ1 = −2 p1 =
[
1
−2
]
λ2 = −5 p2 =
[
1
−5
]
(d) As novas varia´veis de estado, denotadas por x¯1(t) e x¯2(t), devem ser tais que:[
x¯1(t)
x¯2(t)
]
=
[
5/3 1/3
−2/3 −1/3
] [
x1(t)
x2(t)
]
O sistema de equac¸o˜es de estadopassara´ a ser denotado pelas matrizes
A¯ =
[ −2 0
0 −5
]
B =
[
0
6
]
C =
[
1 0
]
D = 0
(e) Da resposta ao impulso do sistema, h(t), e´ fa´cil concluir que os modos naturais sa˜o
e−2t e e−5t. A relac¸a˜o destes modos naturais com os autovetores e autovalores e´ o fato
de que os expoentes dos modos naturais correspondem exatamente aos autovalores
da matriz A, λ1 = −2 e λ2 = −5.
5