Integral dupla

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Integrais Duplas 
Sejam um retângulo S = [a, b] x [c, d]  R2 e f: S  R 
uma função de duas variáveis, limitada e tal que f(x,y)  0 
" (x, y)  S. 
Consideremos o seguinte problema: 
Calcular o volume V da região do espaço limitado pelo 
plano XOY e a superfície z = f(x, y), tal que (x, y)  S. 
Tomamos n e m números naturais quaisquer, números reais quaisquer 
a = x0 < x1 < x2 < ...< xn = b e c = y0 < y1 < y2 < ...< ym = d, 
os "sub-retângulos" de S, Aij = [xi-1, xi] ´ [yj-1, yj] 
e pontos Pij quaisquer do plano tais que Pij  Aij 
Tomamos a área de cada um dos retângulos Aij: 
 
 
 
 O volume do paralelepípedo retângulo de base Aij e altura 
 f(Pij): D Vij = f(Pij). D Aij. 
 Consideramos a soma desses volumes como uma estimativa 
 para o volume V, isto é 
 
O volume V, caso exista, é obtido fazendo as dimensões dos 
retângulos Aij tenderem para 0, o que se consegue fazendo o 
máximo de todas as diagonais tender para 0. Indicando a 
diagonal do retângulo Aij por dij temos 
 
Ou seja 
 
Definições : 
 
• Uma função f(x, y) definida e limitada no retângulo 
S = [a, b] ´ [c, d] é integrável em S se existe (e é finito) o 
limite 
 
• Se f(x, y) é integrável em S então sua integral ou sua 
integral dupla em S é igual a I 
 
 
 
É claro que se f(x, y) 0 então I é o volume V do 
sólido especificado acima. Se f(x, y) 0 então V = - I. 
 
Proposição: Se f(x, y) é contínua em S então f(x, y) é 
integrável em S. 
Propriedades operatórias da integral dupla 
Sejam f(x, y) e g(x, y) integráveis no retângulo S e c  R então: 
 
1) f(x, y) + g(x, y) é integrável em S e 
 
 
 
2) c.f(x, y) é integrável em S e 
 
Integrais Iteradas ou Repetidas 
Da mesma forma que temos as derivadas parciais, temos também as 
integrais iteradas. 
Neste caso integramos uma variável por vez, fixando as outras 
Definição : Seja f(x, y) definida no retângulo S = [a, b] ´ [c, d]. Se " y fixo 
e pertencente a [c, d] a função em x f(x, y) é integrável em [a, b] e a 
função 
 
 
é integrável em [c,d] então temos a integral 
iterada 
 
 
Proposição: Se f(x, y) é integrável no retângulo S = [a, b] ´ [c, d] e 
" y [c, d] a função g(x) = f(x, y) é integrável em [a,b] então 
 
Analogamente, se g2(y) = f(x, y) é integrável " x, então 
 
Interpretação geométrica 
Para o caso f(x,y)  0: 
 
Observações: 
1.1) Se f(x,y) satisfaz a essa proposição então podemos 
trocar a ordem nas integrais iteradas sem mudar o resultado 
isto é, 
 
1.2) Se f(x,y) é contínua no retângulo S então satisfaz a esta 
proposição (pois, neste caso, f(x, y) é integrável em S e " y fixo a 
função g(x) = f(x,y) é continua e portanto integrável) 
Exemplo : Determinar o volume do sólido limitado pela superfície 
z = x2 + y2 e o eixo OX e tal que (x, y) S = [-2, 2] ´ [-2, 2]. 
 
Esta superfície é um parabolide de revolução. 
f(x, y) só não é contínua sobre a curva 
y(x) = 1 - x2 com x [-1, 1]. f(x, y) é 
integrável em S. Vamos calcular sua 
integral: 
Cálculo de área usando integral dupla