Circuitos Elétricos I - Poli - Lista 7-redes de segunda ordem

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PSI3211 – CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
Lista 7: Redes de 2ª Ordem 
 
1 – Para o circuito da Figura 1, obtenha os valores de todas as tensões e correntes 
só nos instantes t = 0+ e t = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1 
 
 
 R1 = 2  L = 1 H C = 0,5 F R2 = 1  i1(0-) = 2 A v4(0-) = 4 V 
 
 
2 – Para o circuito da Figura 2, pede-se: 
 
a) Calcular as raízes da equação característica. 
b) Calcular a tensão v(t) para t  0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 v0 = 0 iL0 = iL(0-) = 29 mA 
 i0 = -12,25 mA v0 = 50 V 
 
 Figura 2 Figura 3 
 
 
3 – Para o circuito da Figura 3, tem-se que I = 24 mA, R = 500 , L = 25 mH e 
C = 25 nF. Pede-se determinar: 
a) iL(0+) b) didt
L
t 0 
 c) iL(t) para t  0. 
 
R1 
L i1 
i2 
10V 
v2 = v1 
C R2 
i3 i4 
v4 = v3 
IH(t) C 			L 
iL 
v0 R 20 k 8 H 0,125 F 
i0 
v(t) v0 
2 
 
4 – O circuito R, L, C série mostrado na Figura 4 é excitado por um gerador senoidal de 
amplitude 10 V e frequência variável. Determine: 
 
a) o índice de mérito do circuito na frequência de ressonância. 
b) qual o máximo da amplitude da corrente, em regime permanente, e em que 
frequência ele ocorre. 
c) qual a tensão eficaz do capacitor nessa mesma frequência. 
 
 Dados: L = 1 H, C = 1F, R = 20 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4 
 
5 – Considere um circuito R, L, C paralelo com C = 500 pF, frequência de 
ressonância 0 = 1000  krad/s e banda passante igual a 10 kHz. Determine: 
 
a) os valores da resistência e da indutância do circuito. 
b) a expressão de sua resposta em frequência 
C
s
VˆF( jω) Iˆ , 
sendo CVˆ o fasor da tensão no capacitor e sIˆ o fasor da corrente do gerador. 
c) a tensão eficaz nos terminais do circuito quando alimentado por um gerador de 
corrente, com corrente eficaz de 1 mA e frequência de 500 kHz. 
(Obs: neste caso, tensão eficaz é a tensão de pico dividida por 2 ). 
d) o novo valor da tensão eficaz se a frequência do gerador passar a 400 kHz. 
 
 
Exercício com o Simulador Numérico 
 
Considere o Exercício 4. Confira a resposta que você obteve nos itens b) e c). 
 
 
 Instruções (para o Multisim 14.0): 
(a) Na montagem do circuito no schematic, é necessário configurar a amplitude 
da tensão que será fornecida pelo gerador AC_VOLTAGE em análise AC 
(que será feita adiante). Para isso, nas propriedades desse componente, 
clique na aba Value e em AC analysis magnitude, insira o valor de 10 V. 
(b) A simulação deve ser uma varredura AC, que calcula o comportamento de 
tensões e correntes do circuito para diferentes valores de frequência do 
es 
 L i 
 C vc 
 R 
3 
 
gerador AC. Configure a simulação em Simulate → Analyses and 
simulation. Em Active Analysis, selecione AC Sweep. 
 Na aba Frequency Parameters, adote os valores de FSTART e 
FSTOP uma década abaixo e uma década acima, respectivamente, da 
frequência calculada no item b). Não se esqueça de converter a 
frequência calculada de rad/s para Hz. Em Sweep Type:, escolha 
Decade, e em Number of points per decade:, digite 1000. 
 Na aba Output, selecione a corrente e a tensão sobre o capacitor. 
Prossiga clicando em ►Run. 
 
(c) A janela do Grapher View deverá mostrar os gráficos de módulo e fase da 
corrente e da tensão. Note que as abscissas estão em Hz e não em rad/s. 
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PSI3211 – CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
Solução da Lista 7: Redes de 2ª Ordem 
 
1 – i1(0+) = i1(0-) = 2 A v1(0+) = 10 - 4 = 6 V 
i1() = 10/R2 = 10 A v1() = 0 V 
i2(0+) = v1(0+)/ R1 = 3 A v2(0+) = v1(0+) = 6 V 
i2() = 0 A v2() = v1() = 0 V 
i3(0+) = 4V/ R2 = 4 A v3(0+) = 4 V = v4(0+) 
i3() = i1() = 10 A v3() = 10 V 
i4(0+) = i1 + i2 - i3 = 1 A v4(0+) = 4 V 
i4() = 0 A v4() = 10 V 
 
2 – a) 1G 1 200s2C 2 R C
   0 1 1000 rd / sL C   
 
2 2
0 d 0 979,80 rd / s         
 
FCP: s1,2 = (-200  j 979,80) rd/s 
 
b) Equação dual da Eq. (6.20), p. 178 do livro-texto (Vol. 1): 
 
v(t) =  
2
2
0 0 0
1 . cost d
d d
v v i e t
C
   
     
 
 
0
0
arctg
d d
i
C v
  
    
 
 
Para v0 = 0 e i0 = -12,25 mA 
 
Temos: v(t) = 100e-200t sen(979,80t), t  0 (V,s) 
 
 
 
3 – a) iL(0+) = iL(0-) = 29 mA b) vL(0+) = vc(0+) = v0 = 50 V 
 
mas vL(0+) = L d id t
d i
d t
50
L
L
t 0
L
t 0  
  = 2000 A/s 
 
c)  = G2 R
1
2 R C = 40000 s
-1 
0 = 1LC = 40000 rd/s   = 0 amortecimento crítico 
 
2 
 
 s1 = s2 = -   iL(t) = A1e-t + A2t e-t + I 
 
 transitório permanente 
 
 iL(0+) = A1 + I = 29 mA  A1 = 29 - 24 = 5 mA 
 
 d id t
L
t 0 
 = A1.(-) + A2 = 2000 A/s  A2 = 2200 A/s 
 
 iL(t) = (5e-40000t + 2,2.106 t e-40000t + 24), t  0 (mA, s) 
 
4 – a) 0 = 1LC = 1000 rd/s Q0 = 
 0 1000
20 50
L
R   
 
b) Z(j) = R + jL  jC = 20 + j ( - 1 x 10
6/) 
 Máximo de corrente  corrente na frequência de ressonância 
  = 0 = 1000 rd/s. 
 Z(j0) = R = 20 
  I = E20 I
E
20 
10
20 = 0,5 A 
 
c)  V j Ic 
1
 
 
 Para  = 0 : 
 
   V Ic  1000 = 1000.0,5 = 500 V 
 Tensão eficaz Vcef = 
Vc
2 = 353,55 Vef. 
 
5 – a) B Q Q B
1000
20 50
0
0
0
0       
 Q RL R C R
Q
C0 0 0
0
0
      
 R = 501000 500 10
100
6 . .   = 31,831 k 
 ( Estão sendo usadas unidades do sistema AF ) 
 L 1C
1
10 . 50.1002 6 2 6
    = 202,64 .10
-6 A ou L = 202,64 H 
 
3 
 
b) 
V
I Z j
R j C L
R L
L j R LC R
C
s
 
 FHG
I
KJ
     

 b g c h
1
1 1 2 
 
    
6 45
202 64 10 3 225 10 31 831 106 9 2 3
,
, . , . , .

 j c h ( SI ) 
 
c) f = 500 kHz   = 2 500 = 1000 =  0 
 
Na ressonância, a impedância do circuito é igual a R. Portanto, a tensão eficaz 
nos terminais do circuito será 
 
 V = 31,831 . 1 = 31,831 ( Vef ) 
 
d) A impedância na frequência  é 
 Z j R
1 jQ0
0
0
 



b g 
 FHG
I
KJ
 
 
 Fazendo 0 = 1000 ,  = 2. 400 = 800 resulta 
 
 Z j 31,831
1 j 50 45
5
4
b g 
 FHG
I
KJ
 = 1,4133 87,46 ( k ) 
 
 de modo que a tensão eficaz será 
 
 V = 1,4133 . 1 = 1,4133 ( Vef )