Circuitos Elétricos I - Poli - Lista Complementar 1

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PSI3211 – CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
Exercícios Complementares correspondentes à Matéria da 1ª Prova 
 
1 – A tensão periódica (a partir de t = 0) com a forma de onda mostrada na Figura 1 
(denominada dente de serra) é aplicada em placas metálicas paralelas para mover 
horizontalmente o feixe de elétrons em um tubo de raios catódicos. 
 
Pede-se: (Utilize o sistema RF de unidades) 
 
a) Obtenha uma expressão analítica, na forma de somatória, para representar v(t) 
em termos da função de Heaviside H(t). 
 
b) Sabendo-se que as placas metálicas podem ser modeladas por um capacitor ideal 
de 4 nF, faça um esboço (no gráfico a seguir) da corrente i(t) através das placas 
(em convenção do receptor). Indique no gráfico os valores importantes e as 
unidades correspondentes. Justifique esses valores. 
 
c) Determine: 
 
 A potência média recebida pelas placas. 
 A energia armazenada nas placas durante um dos intervalos de varredura do 
feixe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 v(t) 
 (V) 
 10 
 2.000 2.005 t (μs) 
 varredura 
 “retraço” 
 0 (eixo fora de escala) Figura 1 
 t (μs) 
 i (t) 
2 
 
2 – Considerando-se o gráfico mostrado na Figura 2, adotou-se a árvore formada pelos 
ramos {b, d, e, f, g, i, }. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Preencha a matriz Mc dada abaixo, com Mc [x, y ] = 1 se o ramo y pertencer 
ao corte fundamental determinado pelo ramo de árvore x. As células de Mc que 
não satisfaçam essa condição não devem ser preenchidas. 
 
 
 
 
 
 
Mc = 
 
 
 
 
 
 
 
b) Considerando-se o mesmo gráfico, porém com outra árvore, constituiu-se, de 
forma análoga a Mc, a matriz M apresentada abaixo, onde cada linha representa 
um laço fundamental. 
 
 
 
 
M = 
 
 
 
 
 
Identifique os ramos de ligação e os ramos da árvore escolhida. 
b 
d 
e 
f 
g 
i 
 
cortes 
a b c d e f g h i j k  ramos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a b c d e f g h i j k  ramos 
laços 
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
 
 
 
 
 
 
  
Figura 2 
1 
2 
3 4 
6 
5 
7 8 
b a 
d e 
c 
f 
g j 
k 
i h  
3 
 
c) O gráfico da Figura 2 foi redesenhado como mostrado na Figura 3. 
 
c1) Indique, na Figura 3, os nomes dos ramos correspondentes. 
 
c2) Usando o teorema sobre gráficos não planares (teorema de Kuratowski), 
mostre qual é o número mínimo de ramos que teria que ser acrescentado ao 
gráfico para torná-lo não planar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 – O circuito da Figura 4 opera em regime permanente senoidal e é composto por 
bipolos passivos ideais. A tensão no capacitor C1 é dada por 
 oC1v 10cos t 30   ( V, s ), com a frequência angular  = 1.000 rad/s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine: 
 
a) Os fasores C1Vˆ e I1 , correspondentes à tensão e à corrente no capacitor C1, 
respectivamente. 
 
b) Os fasores VR , VL e Vg , correspondentes respectivamente às tensões sobre o 
resistor, o indutor e à tensão do gerador. 
 
c) O fasor Ig correspondente à corrente no gerador. 
Figura 4 
L = 0,2 H 
vg(t) 
 C2 = 4 μF 
 C1 = 10 μF R = 200  
is 
vR vL 
i1 
i2 
C1v 
Figura 3 
1 2 
3 4 
5 6 
7 8 
4 
 
Testes 
 
1 – Um capacitor variável tem capacitância dada pela expressão C(t) = 2t (F, s). Qual é 
a expressão que relaciona corrente e tensão desse capacitor na convenção do 
receptor? 
 
a)   dvi t 2t
dt
 
b)    di t 2t v
dt
  
c) i (t) = 2t ∙ v (t) 
d) i (t) = 0 
e) n.d.a. 
 
2 – Considere o bipolo composto da Figura 5. Se uma corrente i(t) = at + b percorre 
esse bipolo, sua tensão vale: 
 
a) v(t) = at + b 
b) v(t) = at + b + a 
c) v(t) = at + 2 b 
d) v(t) = a 
e) n.d.a. 
 
 
 
3 – A integral x t H d
tb g b g 
z 2 5  pode ser avaliada como: 
 
a) 2t H(t – 5) 
b) 2 (t – 5) H(t) 
c) (t – 5) [H(t) – H(t – 5)] 
d) 2 (t – 5) H(t – 5) 
e) n.d.a. 
 
4 – Qual opção é igual a e {10 45o e j 2 t }? 
 
a) 10 cos(2t + 45o) 
b) 10 45o 
c) 10 cos(2t) + 10 cos(2t + 45o) 
d) 10 sen(2t + π/4) 
e) n.d.a. 
 
5 – Num indutor de 3 H tem-se uma tensão v(t) = 10 cos (377t + 10o) (V, s). Portanto, 
a expressão mais próxima da corrente i(t), em convenção de receptor (em mA, s) é: 
 
a) 2,2 sen(377t + 10o) 
b) 8,8 cos(377t + 100o) 
c) 8,8 cos(377t – 80o) 
d) 2,2 cos(377t + 40o) 
e) n.d.a. 
1  
i 
v 1 H 
Figura 5 
5 
 
6 – A energia armazenada no capacitor no instante t = 3 s no circuito da Figura 6 vale: 
 
 
a) 4,5 J 
b) 9 J 
c) 2,12 J 
d) 8,86 J 
e) n.d.a. 
 
 
 
7 – Sabendo que      o1i t 2 cos 6 t 45 A, s  e i2(t) = sen(6t) (A, s) , a corrente 
i3(t) = i1(t) + i2(t) vale: 
 
a) 1 
b) cos(6t) (A, s) 
c) 1 + 2j 
d) 2,236 cos(6t + 26,57o) (A, s) 
e) n.d.a. 
 
8 – O gráfico da Figura 7 contém quantos cortes fundamentais? 
 
a) 4 
b) 6 
c) 5 
d) 7 
e) n.d.a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 – Qual é a expressão analítica, em (V, ms), da tensão induzida em um indutor de 
400 mH de 0 a 8 ms quando a corrente é dada na Figura 8? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 
 C R eg(t) 
 eg(t) = 6 cos(t) (V, s) 
 R = 2  
 C = ½ F 
 Período: T = 24 s 
Figura 8 
3 0 
– 40 
20 
1 
i(mA) 
t (ms) 6 8 4 
Figura 7 
vg R4 R1 
R2 
R3 R5 
R6 R7 
R8 
v1 
v2 
v3 v4 
v5 
v6 v7 
v8 
6 
 
a) 16[H(t 1) H(t 2)] 6[H(t 1) H(t 4)] 8         
b) 16H(t) 8H(t 1) 4[H(t 6) H(t 8)]       
c) 16[H(t) H(t 1)] 8[H(t 1) H(t 4)] 4[H(t 6) H(t 8)]           
d) 20[H(t) H(t 1)] 12[H(t 1) H(t 4)] 8[H(t 6) H(t 8)]           
e) n.d.a. 
 
10 – Seja v(t) = 10 cos(10t) + 10 cos(20t + 90o), então: 
 
a)    ov t 10 2 cos 20 t 45  
b)    ov t 10 2 cos 15 t 45  
c) v(t) = 10 cos(15t) 
d) v(t) não é senoidal. 
e) n.d.a. 
 
11 – A tensão    v t 220 2 cos 377 t (V, s) alimenta um chuveiro que consome 
uma corrente i(t) = 40 cos(377t) (A, s). Qual é o valor mais próximo da potência 
média consumida por este chuveiro? 
 
a) 4.000 W 
b) 4.753 W 
c) 3.745 W 
d) 6.223 W 
e) n.d.a. 
 
12 – A impedância de um capacitor ideal é de – j10  a 100 Hz. Qual é o valor da 
capacitância e da impedância a 200 Hz? 
 
a) 1 mF; – j5  
b) 1 mF; – j20  
c) 15,92 mF; – j20  
d) 159,2 μF; – j5  
e) Nenhuma das anteriores pois a impedância deve ser real e positiva. 
 
13 – Um circuito é alimentado por 4 fios conforme a Figura 9. 
 Sendo iF1(t) = 10 cos(377t) 
 iF2(t) = 10 cos(377t + 120o) 
 iF3(t) = 10 cos(377t + 240o) 
 
 Pode-se afirmar que: 
 
a) iN(t) = 30 
b) iF1(t) + iF2(t) = 20 cos(377t + 120o) 
c) iN(t) = 0 
d) iN(t) = 30 cos(377t) 
e) n.d.a. 
Circuito 
iF1 
iF2 
iF3 
iN 
Figura 9 
7 
 
14 – Na Figura 10, sabe-se que eg (t) = 10 cos(2t) (V, ms) 
 e v1(t) = 4,47 cos(2t – 63,4o) (V, ms). 
 A tensão vL(t) vale: 
 
a) 5,53 cos(2 t + 63,4o) (V, ms) 
b) 8,94 cos(2 t + 26,57o) (V, ms) 
c) 8 + j 4 V 
d) 8 cos(2t + 4 rad) (V, ms) 
e) n.d.a. 
 
 
Figura 10 
eg(t) 
R1 
L1 vL 
v1 
i 
1 
 
PSI3211 – CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
Solução dos Exercícios Complementares Correspondentes à Matéria da 1ª Prova 
 
1 – 
a) Período: T 2.005 μs 
Em um período: 
 
3 35 10 t [H(t) H(t 2.000)] ( 2t 4,01 10 )[H(t 2.000) H(t 2.005)]          
3
0
3
v(t) 5 10 (t nT) [H(t nT) H(t 2.000 nT)]
 ( 2(t nT) 4,01 10 ) [H(t nT 2.000) H(tnT 2.005)] (V, μs)



        
         

n
 
3
0
v(t) 5 10 (t nT) H(t nT) ( 2,005(t nT) 4.010) H(t 2.000 nT)
 (2(t nT) 4.010) H(t nT 2.005) (V, μs)



           
    

n
 
b) dv dvi C 4
dt dt
  varredura: 100,02 mA 4
2.000
 “retraço”: 108 mA 4
5
   
 
– 8 
0,02 
 2.000 2.005 t (μs) 0 
i(t) 
(mA) 
10 
 2.000 2.005 (eixo fora de escala) t (μs) 
 
0 
v(t) 
(V) varredura 
“retraço” 
2 
 
c) 
p(t) = v(t) ∙ i(t) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.005
0
1P p(t) dt
T
  potência 1 2.000 0,2 80 5 02.005 2 2
      
 
Energia (varredura): 
2.000
0
2000 0, 2W p(t) dt 200 nJ
2
   
 
2 – 
a) Os cortes fundamentais são {b, a, c}, {d, k, j}, {e, c, j, k}, {f, c, a, h}, 
{g, h, j, k, a}, {i, h, k, a}, {  , k, a}. Assim, a matriz Mc deve ser preenchida 
como 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Os ramos de ligação são {c, d, g, h,  } e a árvore escolhida é {a, b, e, f, i, j, k}. 
 
c) Os ramos estão identificados na figura seguinte. 
 
O desenho precisa de mais um ramo para ser 
homeomórfico ao segundo gráfico de 
Kuratowski. Portanto, basta acrescentar um 
ramo entre 5 e 2 ou entre 6 e 1 para torná-lo não 
planar. 
b 
d 
e 
f 
g 
i 
 
cortes 
a b c d e f g h i j k  ramos 
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e 
 j 
1 2 
3 4 
5 6 
7 8 
i 
a 
c 
d 
f 
h g 
b 
k 
– 80 
 0,2 
 2.000 2.005 t (μs) 0 
p(t) 
(mW) 
3 
 
3 – 
a) oC1Vˆ 10 30 V 
o oj90 6 j30
C1 1 C1
ˆ ˆI j C V e 1.000 10 10 10 e        = 0,1 120o A 
 
b) oC1 R Lˆ ˆ ˆI I I 0,1 120   A 
o o
R R
ˆ ˆV R I 200 0,1 120 20 120    V 
o oj90 j120 o
L
ˆ ˆV j LI e 1.000 0,2 0,1 e 20 210        V 
o o o
g L R C1
ˆ ˆ ˆ ˆV V V V 20 210 20 120 10 30      V 
  20 (– 0,866 – j0,5) + 20 (– 0,5 + j0,866) + 10 (0,866 + j0,5) 
o
gVˆ 18,66 j12,32 22,36 146,57     V 
 
c)   I I Ig 1  2 
o oj 90 6 j146,57
2 2 g
ˆ ˆI j C V e 1.000 4 10 22,36 e        
o
2Iˆ 0,08944 236,57 A 
o o
gIˆ 0,1 120 0,08944 236,57  
  0,1 (– 0,5 + j0,866) + 0,08944 (– 0,551 – j0,835) 
  – 0,05 + j0,0866 – 0,0493 – j0,07465 = – 0,0993 + j0,0119 
o
gIˆ 0,1 173,2 A 
4 
 
Testes 
 
1 – Um capacitor variável tem capacitância dada pela expressão C(t) = 2t (F, s). Qual é 
a expressão que relaciona corrente e tensão desse capacitor na convenção do 
receptor? 
 
a)   dvi t 2t
dt
 
b)    di t 2t v
dt
  
c) i (t) = 2t ∙ v (t) 
d) i (t) = 0 
e) n.d.a. 
 
2 – Considere o bipolo composto da Figura 5. Se uma corrente i(t) = at + b percorre 
esse bipolo, sua tensão vale: 
 
a) v(t) = at + b 
b) v(t) = at + b + a 
c) v(t) = at + 2 b 
d) v(t) = a 
e) n.d.a. 
 
 
Resolução: 
     di dv t Ri L R at b L at b at b a
dt dt
         
 
3 – A integral x t H d
tb g b g 
z 2 5  pode ser avaliada como: 
 
a) 2t H(t – 5) 
b) 2 (t – 5) H(t) 
c) (t – 5) [H(t) – H(t – 5)] 
d) 2 (t – 5) H(t – 5) 
e) n.d.a. 
 
 
 
 
 
 
4 – Qual opção é igual a e {10 45o e j 2 t }? 
 
a) 10 cos(2t + 45o) 
b) 10 45o 
c) 10 cos(2t) + 10 cos(2t + 45o) 
d) 10 sen(2t + π/4) 
e) n.d.a. 
1  
i 
v 1 H 
Figura 5 
Resolução: 
      d di(t) C t v t i(t) 2t v t
dt dt
      
 
1 1 
Resolução: 
t
t
5
0, se t < 5
x(t) 2 H(λ 5) dλ 2 (t 5) H(t 5)
2 dλ 2 (t 5), se t 5
        
 
 
Resolução: e {10 45o e j 2 t } = e {10 e j 2 t+45º } 
 = 10 cos(2t + 45o) 
5 
 
5 – Num indutor de 3 H tem-se uma tensão v(t) = 10 cos (377t + 10o) (V, s). Portanto, 
a expressão mais próxima da corrente i(t), em convenção de receptor (em mA, s) é: 
 
a) 2,2 sen(377t + 10o) 
b) 8,8 cos(377t + 100o) 
c) 8,8 cos(377t – 80o) 
d) 2,2 cos(377t + 40o) 
e) n.d.a. 
 
 
 
 
6 – A energia armazenada no capacitor no instante t = 3 s no circuito da Figura 6 vale: 
 
 
a) 4,5 J 
b) 9 J 
c) 2,12 J 
d) 8,86 J 
e) n.d.a. 
 
 
 
Resolução: 
vC = eg(t) e para t = 3 s vale 
 C 2 6v t = 3 s 6cos 3 6cos V24 4 2
             
 
Logo,  2C1 1 1 36W Cv 3 4,5 J2 2 2 2    
 
 
7 – Sabendo que      o1i t 2 cos 6 t 45 A, s  e i2(t) = sen(6t) (A, s) , a corrente 
i3(t) = i1(t) + i2(t) vale: 
 
a) 1 
b) cos(6t) (A, s) 
c) 1 + 2j 
d) 2,236 cos(6t + 26,57o) (A, s) 
e) n.d.a. 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 
 C R eg(t) 
 eg(t) = 6 cos(t) (V, s) 
 R = 2  
 C = ½ F 
 Período: T = 24 s 
Resolução: 
o o
o
o
Vˆ 10 10 10 10Iˆ 0,0088 80 A
j L j377,3 1.131 90
    

 
 
Logo, i(t) = 8,8 cos(377t – 80o) (mA, s) 
Resolução: 
o o
1 2
ˆ ˆI 2 45 A I 1 90 A  
Em forma retangular:     I j I j I I I1 2 3 1 21 1        
  i3(t) = cos(6t) (A, s) 
6 
 
8 – O gráfico da Figura 7 contém quantos cortes fundamentais? 
 
a) 4 
b) 6 
c) 5 
d) 7 
e) n.d.a. 
 
 
 
 
Resolução: 
O grafo possui 5 nós  4 ramos de árvore  4 cortes fundamentais. 
 
9 – Qual é a expressão analítica, em (V, ms), da tensão induzida em um indutor de 
400 mH de 0 a 8 ms quando a corrente é dada na Figura 8? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 16[H(t 1) H(t 2)] 6[H(t 1) H(t 4)] 8         
b) 16H(t) 8H(t 1) 4[H(t 6) H(t 8)]       
c) 16[H(t) H(t 1)] 8[H(t 1) H(t 4)] 4[H(t 6) H(t 8)]           
d) 20[H(t) H(t 1)] 12[H(t 1) H(t 4)] 8[H(t 6) H(t 8)]           
e) n.d.a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8 
3 0 
– 40 
20 
1 
i(mA) 
t (ms) 6 8 4 
Resolução: no indutor, temos di(t)v(t) L
dt
 e 
i(t) 40t [H(t) H(t 1)] (20t 60)[H(t 1) H(t 4)]
 20[H(t 4) H(t 6)] (80 10t)[H(t 6) H(t 8)] (mA, ms)
i(t) 40tH(t) (60t 60)H(t 1) (20t 80)H(t 4) ( 10t 60)H(t 6)
 (10t 80)H(t 8) (m
        
        
             
   A, ms)
 
Assim, 
v(t) 0, 4 [ 40H(t) 60H(t 1) 20H(t 4) 10H(t 8)] (V, ms)
 16H(t) 24H(t 1) 8H(t 4) 4[H(t 6) H(t 8)] (V, ms)
 16 [H(t) H(t 1)] 8 [H(t 1) H(t 4)] 4 [H(t 6) H(t 8)] (V, ms)
       
         
           
 
Figura 7 
vg R4 R1 
R2 
R3 
R5 
R6 R7 
R8 
v1 
v2 
v3 v4 
v5 
v6 v7 
v8 
7 
 
10 – Seja v(t) = 10 cos(10t) + 10 cos(20t + 90o), então: 
 
a)    ov t 10 2 cos 20 t 45  
b)    ov t 10 2 cos 15 t 45  
c) v(t) = 10 cos(15t) 
d) v(t) não é senoidal. 
e) n.d.a. 
 
Resolução: Como as frequências são diferentes, a soma não será senoidal. 
 
11 – A tensão    v t 220 2 cos 377 t (V, s) alimenta um chuveiro que consome 
uma corrente i(t) = 40 cos(377t) (A, s). Qual é o valor mais próximo da potência 
média consumida por este chuveiro? 
 
a) 4.000 W 
b) 4.753 W 
c) 3.745 W 
d) 6.223 W 
e) n.d.a. 
 
Resolução: 
     2
T T
1P v i d 220 2 40 cos 377 d
T
         
Como  2 1 cos 2acos a
2
 , resulta 
 
T
cos 2 3771 220 2 40P 220 2 40 d 6.223 W
2 2 2
       
 
 
 
12 – A impedância de um capacitor ideal é de – j10  a 100 Hz. Qual é o valor da 
capacitância e da impedânciaa 200 Hz? 
 
a) 1 mF; – j5  
b) 1 mF; – j20  
c) 15,92 mF; – j20  
d) 159,2 μF; – j5  
e) Nenhuma das anteriores pois a impedância deve ser real e positiva. 
 
Resolução: 
Z
j C
jC   
1 10
0
 a f0 = 100 Hz 
a 200 Hz, 1 = 2 0  Z j C
jC   
1
2
5
0
 
C = ( – j 2 ∙ 10 ∙ 2π ∙ 100 ) – 1 = 1,592 ∙ 10 – 4 F = 159,2 μF. 
8 
 
13 – Um circuito é alimentado por 4 fios conforme a Figura 9. 
 Sendo iF1(t) = 10 cos(377t) 
 iF2(t) = 10 cos(377t + 120o) 
 iF3(t) = 10 cos(377t + 240o) 
 
 Pode-se afirmar que: 
 
a) iN(t) = 30 
b) iF1(t) + iF2(t) = 20 cos(377t + 120o) 
c) iN(t) = 0 
d) iN(t) = 30 cos(377t) 
e) n.d.a. 
 
Resolução: É um sistema simétrico (fasores de igual amplitude defasados de 120o) 
de forma que iF1 + iF2 + iF3 = 0  t. Como iN = – [iF1 + iF2 + iF3] pela 1ª Lei de 
Kirchhoff nos cortes, resulta iN(t)  0. 
 
14 – Na Figura 10, sabe-se que eg (t) = 10 cos(2t) (V, ms) 
 e v1(t) = 4,47 cos(2t – 63,4o) (V, ms). 
 A tensão vL(t) vale: 
 
a) 5,53 cos(2 t + 63,4o) (V, ms) 
b) 8,94 cos(2 t + 26,57o) (V, ms) 
c) 8 + j 4 V 
d) 8 cos(2t + 4 rad) (V, ms) 
e) n.d.a. 
 
 
 
 
 
 
Circuito 
iF1 
iF2 
iF3 
iN 
Figura 9 
Figura 10 
eg(t) 
R1 
L1 vL 
v1 
i 
Resolução:   V V EL 1 g  
  o oLVˆ 10 4,47 63,4 8 j4 8,94 26,6      V 
  vL(t) = 8,94 cos(2t + 26,57o) (V, ms)