Diagonalização de operadores

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Diagonalização de operadores
Índice
Definição Autovalor e Autovetor
Matrizes e polinômios característicos
Propriedades de um polinômio característico
Diagonalização de operadores
Teorema Espectral para operadores simétricos
Reconhecimento de cônicas
Aplicações
Autovalor e autovetor
Seja T: V → V um operador linear. Um vetor v V, sendo v≠0 – ou seja, v não é um vetor nulo – é denominado autovetor de operador T se existe λ tal que:
T(v) = λv 
 O λ presente na equação acima é denominado autovalor de T associado ao próprio v.
Como visto, um vetor v ≠ 0 é um autovetor se a imagem T(v) for um múltiplo escalar de v. É importante reforçar que no R2 e no R3, v e T(v) possuem a mesma direção. Assim, concluímos que, dependendo do valor que λ assumir, o vetor T(v) pode contrair, dilatar, inverter o sinal ou se anular.
λ > 1
0 < λ < 1
λ < 0
Exercício
1º - Verifique se v1 = (5,2) e v2 = (2,1) são vetores próprios para o operador seguinte:
RESPOSTA: 
T(5,2) = (4.5 + 5.2, 2.5 + 2) T(2,1) = (4.2 + 5.1, 2.2 + 1)
T(5,2) = (20 + 10, 10 + 2) T(2,1) = (8 + 5, 4 + 1)
T(5,2) = (30,12) T(2,1) = (13,5)
Pela definição de autovetor T(5,2) = λ (5,2). Pela definição, T(2,1) = λ(2,1).
Temos que (30,12) é 6.(5,2) e, portanto λ = 6 Porém, nenhum λ satisfaz a 
e (5,2) é autovetor do operador. essa equação. Logo, (2,1) não 
 é autovetor do operador acima.
Determinação de autovalores e autovetores
Sabe-se que toda transformação linear de Rn em Rm pode ser representada por uma matriz m X n (No caso de um operador linear, m = n)
Seja A uma matriz n X n, Definimos:
	T: Rn Rn
 v Av 
Onde v é tomado como vetor coluna, v = 
T(v) = Av = (1)
Se v ≠ 0 é um vetor próprio de T e λ o correspondente valor próprio, isto é:
 
 T(v) =  λv 				(2)
Substituindo (1) em (2), temos que Av = λv. Observe que se I for a matriz identidade de ordem n, então a equação acima pode ser escrita na forma Av = (λI)v, ou ainda, (A - λI)v = 0. Escrevendo esta equação explicitamente, temos:
 (3)
A igualdade (3) representa um sistema homogêneo de n equações e n variáveis (x1, x2, ..., xn). Se o determinante da matriz dos coeficientes (det (A - λI)) for diferente de zero, a única solução do sistema é a trivial, isto é, x1 = x2 = ... = xn = 0 (ou seja, v = 0). Como se deseja vetores v ≠ 0, deve-se obrigatoriamente ter:
 
 det(A - λI) = 0 (4) 
A equação (4) é denominada equação característica do operador T ou da matriz A e suas raízes são os autovalores do operador T ou da matriz A. O det(A - λI), que é um polinômio em λ, é denominado polinômio característico de T ou de A.
 
Os autovetores correspondentes aos autovalores encontrados serão obtidos substituindo cada valor de λ na igualdade (3) e resolvendo o respectivo sistema homogêneo de equações lineares.
Exercício
Verifique se v1 = (5,2) e v2 = (2,1) são vetores próprios para o operador seguinte:
 
RESPOSTA:
A matriz canônica do operador T é A = 	 e, portanto, a equação característica de T é: 
det (A - λ I) = 0 (4 – λ)(1 – λ) – 10 = 0 λ² - 5λ - 6 = 0
λ1 = 6 e λ2 = -1
O sistema homogêneo que permite a determinação dos vetores próprios é (A - λ I)v=0. Considerando v = , o sistema fica:
 (*)
Substituindo, em (*), λ por 6, obtém-se o sistema linear homogêneo cuja solução é constituída por todos os vetores próprios associados ao valor próprio λ1 = 6:
Este sistema admite uma infinidade de soluções próprias:
y = 2x/5 e, portanto, os vetores do tipo v1 = (x,2x/5), x ≠ 0, são os autovetores associados ao autovalor λ1 = 6.
Substituindo, em (*), λ por -1, obtém-se o sistema homogêneo cuja solução é constituída por todos os vetores próprios associados ao valor próprio λ2 = -1:
 
Este sistema admite uma infinidade de soluções próprias:
y = -x e, portanto, os vetores do tipo v2 = (x,-x), x ≠ 0, são os autovetores associados ao autovalor λ2 = -1.
Propriedades do Polinômio Característico
Se v é um autovetor associado ao autovalor λ de um operador linear T, o vetor αV também é autovetor de T associado ao mesmo λ, ∀ α ∈ R*.
 
T(v) = λv
Pela propriedade de multiplicação por escalar, T(αv) = αT(v) = α(λv), ∴, T(αv) = λ(αv), o que prova que αv é autovetor associado a λ.
Se λ é autovalor de T: V → V, o conjunto Sλ que contém todos os vetores v ∈ V associados a λ (com a inclusão do vetor nulo) é um subespaço vetorial de V.
Utilizando as propriedades dos subespaços vetoriais e das transformações lineares, sabemos que, se v1,v2 ∈ Sλ e se α ∈ R:
No entanto, I pode ser escrita como I = M-1IM. Portanto:
det(M-1 [T]A M - λI) = det(M-1 [T]A M - λM-1IM)
Evidenciando [T]A - λI:
det(M-1 [T]A M - λM-1IM) = det[M-1 ([T]A - λI)M]
Separando a operação determinante:
det[M-1 ([T]A - λI)M] = det(M-1) det([T]A - λI) det(M)
Agora, podemos aplicar as propriedades comutativa e associativa do cálculo da determinante:
det(M-1) det([T]A - λI) det(M) =
det(M) det(M-1) det([T]A - λI) =
det(M M-1) det([T]A - λI) =
det(I) det([T]A - λI) =
1*det([T]A - λI)
Portanto, det([T]B - λI) = det([T]A - λI)
Matriz diagonalizável
Uma matriz Anxn é diagonalizável se, e somente se, a soma das dimensões dos autoespaços associados a cada autovalor de A é n.
A matriz A é diagonalizável se, e somente se, A tem n autovetores linearmente independentes (LI). Em particular, se A tem n autovalores distintos.
Exercício
Confira se a matriz abaixo é diagonalizável:
RESPOSTA:
Matriz diagonalizável
Uma matriz quadrada A é diagonalizável quando é semelhante a uma matriz diagonal. Ou seja, se existe uma matriz D diagonal, tal que A = PDP^(-1) com P invertível.
Analogamente, seja V um espaço vetorial de dimensão finita, então um operador linear T : V -> V é diagonalizável se existe uma base de V para a qual T é representado por uma matriz diagonal.
A diagonalização é o processo para transformar uma matriz ou operador diagonalizável em uma matriz diagonal. Vamos ver um exemplo deste processo:
Exercício
A matriz a seguir é diagonalizável?
RESPOSTA:
Teorema espectral
Nos slides anteriores podemos ver se uma matriz A é diagonalizável ou não. Sabemos que se A é diagonalizável, existe alguma matriz T, que representa a matriz A, em outra base. Porém existe um caso particular mais fácil de descobrirmos se é diagonalizável. 
O Teorema espectral
Exercício 
Verifique se a matriz a seguir é diagonalizável:
RESPOSTA: 
Vemos que a matriz A é simétrica, logo, seguindo o teorema espectral temos que ela é diagonalizável. Além disso, notamos que seus autovetores λ= {(1,1),(1,-1)}, são ortogonais, porém não estão normalizados.
É possível normalizar os autovetores, assim, podemos coloca-los na coluna da matriz X, originando uma matriz ortogonal(*formada por colunas ortonormais).
Isso é feito porque além da matriz simétrica sempre ser diagonalizável. Ela sempre pode ser diagonalizada através de uma matriz ortogonal. 
RESUMINDO:
A matriz A(simétrica) é diagonalizável.
Podemos ( não é necessário)
ortonormalizar os autovetores.
A matriz X (matriz ortogonal) pode diagonalizar a matriz A.
Identificando superfícies cônicas pelo Teorema Espectral para Operadores Simétricos
Definição de Superfícies Cônicas
Uma cônica no IR² é o conjunto de pontos P = (x,y) cujas coordenadas 
satisfazem a equação quadrática :
ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0
Forma quadrática matricial de uma cônica:
Matriz Quadrática
Exercício
Escreva a equação da elipse abaixo em termos de formas quadráticas e formas lineares.
RESPOSTA:
Sendo a matriz quadrática temos que se:
- A equação é de uma parábola ou de sua forma degenerada (uma reta ou duas retas paralelas).
- a equação é de uma elipse ou de sua forma degenerada (um ponto ou o vazio)
- a equação é de uma hipérbole ou de sua forma degenerada (duas retas concorrentes)
Note que no exemplo anterior a diagonal secundária da matriz quadrática é nula. Quando isso não ocorrer, o nosso problema será escrever a forma quadrática, que determina o tipo de cônica, em forma diagonalizada. Neste caso, deveremos fazer 5 passos em nossa resolução.
Escrevemos a equação na forma matricial.
Diagonalizamos a forma quadrática para eliminar os termos mistos. Para isto, precisamos encontrar os autovalores e os autovetores ortonormais da matriz quadrática.
Obtemos um novo sistema de coordenadas ortogonal cujas retas suportes estão nas direções dos autovetores que formam a base canônica .
Substituindo na equação da forma matricial da cônica e obtemos a equação da cônica no novo sistema de coordenadas.
Eliminamos os termos lineares das coordenadas cujos autovalores são não nulos. 
Exemplo
Determinar o lugar geométrico dado pela equação 
RESPOSTA:
Passo 1: Forma matricial da equação.
Passo 2: Diagonalizando a forma quadrática.
Como a matriz quadrática é simétrica, pelo Teorema Espectral para Operadores Simétricos, tal matriz quadrática é diagonalizável. Seu autovalores são t’ = 3 e t’’ = 1 e os auto vetores unitários são:
Passo 3: novo sistema de coordenadas ortogonal cujas retas suportes estão nas direções dos autovetores.
Autovetores
Autovalores
Passo 4: Substituindo na equação da forma matricial da cônica.
 
Passo 5: Eliminamos os termos lineares das coordenadas cujos autovalores são não nulos.
Ou seja, 
TEMOS UMA ELIPSE!
Aplicações
O método de diagonalização pode ser aplicado em Processos de Markov, Estudo de Cônicas, Equações Diferenciais Ordinárias e Parciais, Equações Integrais, entre outros.
 
Exemplo: Em processos de Markov é usual o calculo de potências de uma matriz. Se uma Matriz for Diagonal, o cálculo das potencias é muito mais simples:
 p
 p
 p
 p