Circuitos Elétricos I - Poli - Aula 7 Prof Bete 2017

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PSI 3211 - Circuitos Elétricos I
Profa. Elisabete Galeazzo
Aula 7– 27/03/2017
TÓPICOS DA AULA:
1) REVISÃO DA AULA PASSADA: 
1.1) Representação da função co-seno como número
complexo
1.2) Discussão sobre o último exercício da aula 6
1.3) Definição de fasores
2) RELAÇÕES FASORIAIS NOS BIPOLOS ELEMENTARES
3) EXERCÍCIOS
1.1) Revisão: Representação do 
co-seno como número complexo
��� = 1 + �� +
	
 �
�!
+
	
 �
�!
+
	
 �
�!
… . . = cos (x) + j sen (x)��� = 1 + �� +
	
 �
�!
+
	
 �
�!
+
	
 �
�!
… . . = cos (x) + j sen (x)
| e j���� | = | = | = | = ����� + �����= 1, = 1, = 1, = 1, 
1.2) Revisão sobre exercício aula 6
Encontre a representação fasorial da função:
i(t) = -10 sen(10t + 45o)
Usando - sen(θθθθ) = sen(θθθθ - 180o), temos:
i(t) = 10 sen(10t - 135o)
Usando sen(x) = cos(x - 90), temos
i(t) = 10 cos (10t - 135o -90o) = 10 cos (10 t - 225o)
��= 10∠∠∠∠-225o ou ��= 10∠∠∠∠135o ou ��= 10 e j135o
1.3) Revisão -FASOR
• f(t) = An.cos (ωt + θ ) ; An ≥≥≥≥ 0 e θ = graus
O fasor associado à função f(t) será:
� = An .e 
jθθθθ= An ∠θ∠θ∠θ∠θ
Para que f(t) possa ser representada
pelo seu fasor, necessita:
� ter amplitude positiva
� e ser co-senoidal
θθ
RealReal
ImIm
AnAn
θ
Real
Im
An
2) Relações Fasoriais nos Bipolos
• Dado que: v(t) = Vm cos(ωt+θ)
Tem-se o fasor ! = Vm∠θ∠θ∠θ∠θ ou "�= Vmejθ
NO RESISTOR:
i(t)=(Vm/R).cos(ωt+θθθθ)
#$=
!%
&
∠θ∠θ∠θ∠θ #$ =
' 
&
⇒
Representação fasorial
da Lei de Ohm
� = An .e 
jθθθθ = An ∠θ∠θ∠θ∠θ� = An .e jθθθθ = An ∠θ∠θ∠θ∠θ
2.1) Relação Fasorial no Resistor
• Tensão e corrente estão em fase
"� = (#$
* Ambos oscilam com a mesma frequência, não representada neste diagrama fasorial.
2.2) Relação fasorial no Capacitor
Considere que a tensão no capacitor é igual a: 
v(t) = Vm cos(ωt+θ); tem-se o fasor ! = Vm∠θ∠θ∠θ∠θ ou "�= Vmejθ
Na convenção de receptor, tem-se que:
)*(,) = .
/0(,)
/,
)* , = −2."3456(2, + 7)�
)* , = 2."3894(2, + 7 + 90
9)
O fasor relacionado à iC(t) é:
#$ = ωCVme
jθ5�909⇒ #$ = ωC"�ej90
o
⇒ �� = �2.! 
Relação fasorial no Capacitor, cont.
#$ = ω C Vm
 
ejθ
 
5�909⇒ #$ = ω C " ej90
o
⇒ #$ = � 2 . "�
Ou seja, iC(t) = ω C Vm cos(ωt + 90
o)
⇒⇒⇒⇒ A corrente no capacitor estará adiantada de 90o em relação à tensão. 
A relação entre o fasor tensão e o fasor corrente no capacitor será:
"� = 
1
�2.
 #$
Número complexo que 
faz o papel de uma 
“resistência”Este termo é denominado 
“Impedância Capacitiva”
Representação Gráfica Fasorial no 
Capacitor
A corrente está adiantada de 90 graus em relação à tensão 
2.3) Relação Fasorial no Indutor
Considere que a tensão no indutor é igual a: 
v(t) = Vm cos(ωt+θ); tem-se o fasor "�= Vm∠θ ou "�= Vmejθ
⇒⇒⇒⇒
Relação fasorial no Indutor, cont.
#$ = 
A
	BC
"�
A corrente está 90o atrasada
em relação à tensão.
Número
Complexo
que tem 
característica
de 
resistência...
Impedância Indutiva
3.1) Exercício 1
Dado adicional: ω = 10 rad/s
a) Identifique os bipolos B1, B2 e B3
Resposta: 
B1 = indutor; B2 = capacitor; B3 = resistência
Exercício 01, continuação
b) Apresente a tensão instantânea v(t)
v(t) = Re{10ej60
o
}=10cos(10t + 60o)
c) Calcule a indutância e apresente a corrente instantânea no 
indutor
#$C = 
A
	ADC
10∠60o⇒ j10L = ADE
FGH��
AEIF�H
⇒ L = 1H
d) Calcule a capacitância e apresente a corrente instantânea no 
capacitor
A
	AD*
0,001∠1509=10∠60o ⇒ C = 10-5∠(60o-60o) = 10-5F
"�*
3.2) Exercício 2
Dado o indutor e o fasor da corrente que o atravessa. Determine:
a) fasor de tensão
b) tensão instantânea
#$ = 8 + j6 (A)
f = 1 kHz
L = 2 mH
Resposta:
1) Transformar o fasor corrente na forma polar:
|��| = K� + L� = 10
θ = arctg2 (6/8) = 36,87o
��= 10 ∠∠∠∠36,87o
Resolução do ex.2
a) i(t) = Re {#$ejωt} sendo que ��= 10 ∠∠∠∠36,87o
logo: i(t) = 10 cos (2.pi.1000t + 36,87o)
v(t) = L 
MN(O)
MO
= - 2.10-3. 10. 2. pi.1000 sen(2.pi.1000t + 36,87o) ⇒
v(t) = 125,66.cos(2.pipipipi.1000t + 126,87o)
e ! = 125,66 ∠∠∠∠126,87o
�Mas daria para fazer de outra forma?
Sabendo=se que ��= 10 ∠36,87o e ! = jωP��
Então: ! = j.2.pi.1000.2.10-3.10∠36,87o = 125,66 ∠∠∠∠126,87o
3.3) Exercício 3
Suponha que o circuito esteja operando em regime permanente
senoidal. 
A partir do circuito e dos dados fornecidos, pergunta-se:
a) Qual é a frequência angular (ω) do circuito?
b) Quais são os fasores "�& 5 "�C ?
Dados fornecidos:
i) #$= 5 ∠60o
ii) O primeiro instante em que 
vR(t) se anula é 10 ms.
Considere: R1= 10 Ω; L1 = 0,1 H
Resolução do ex.3
a) ! Q = R��; como #$ = 5 ∠60o , então:
! Q = 50∠60o ←fasor relacionado à tensão no resistor
⇒ vR(t) = 50 cos (ωt + 60
o) (volts)
⇒ vR(t = 10x10
-3s) = 0, então: ω.10-2 + 60o = 90o
⇒ ω.10-2 + 
R
�
= 
R
�
⇒ ω = 52,3 rad/s
b) ! S = jωP��⇒! S = j 52,3 x 0,1 x 5 ∠60o = 26,15 ∠150o