Lista 01 Principio dos trabalhos virtuais

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UFPR - ST – DCC - MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II – TC036 
Lista de Exercícios 1 
 
1. Para a ponte rodoviária em estrutura metálica abaixo, pedem-se: 
 
a) O deslocamento vertical do nó onde está aplicada a carga de 90 kN, 
considerando apenas o carregamento mecânico mostrado na figura; 
b) Considerando que a ponte foi executada sob temperatura ambiente constante de 
25 oC, e que as máximas e mínimas locais são respectivamente de 41 e -5 oC, 
calcule os deslocamentos máximos e mínimos na horizontal do nó do item a) 
provocados apenas pela variação da temperatura, sendo =1,1x10-5/oC para o 
aço. 
 
2. Seja a viga biapoiada com rigidez EI constante e comprimento L, mostrada na figura 
abaixo. Utilize o Princípio dos Trabalhos Virtuais, desprezando o efeito do esforço 
cortante, para calcular: 
a) A rotação da tangente à linha elástica no ponto A; 
b) O deslocamento vertical do ponto C (meio do vão). 
 
 
 
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Lista de Exercícios 1 
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Lista de Exercícios 1 
3. Seja a viga biapoiada com rigidez EI constante e comprimento L, mostrada na figura 
abaixo. Utilize o Princípio dos Trabalhos Virtuais, desprezando o efeito do esforço 
cortante, para calcular: 
a) A rotação da tangente à linha elástica no ponto B; 
b) A rotação da tangente à linha elástica no ponto A. 
 
 
4. Utilizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais, calcule o valor do momento aplicado M2 
para que a viga abaixo, com rigidez EI constante, tenha rotação da tangente à linha 
elástica nula no ponto B. Desconsiderar o efeito do esforço cortante sobre os 
deslocamentos. 
 
5. Calcule a flecha (deslocamento vertical) na extremidade livre da viga abaixo; 
 
 
6. Utilizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais, calcule o deslocamento vertical na extremidade 
C da viga abaixo, cujo diagrama de momentos fletores para o carregamento original é 
fornecido. Considere EI = 2 x 105 kN.m2 para todas as barras e despreze o efeito do esforço 
cortante. 
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Lista de Exercícios 1 
 
 
7. Obter o deslocamento vertical do nó B da treliça abaixo aplicando o Princípio dos 
Trabalhos Virtuais. Todas as barras têm rigidez EA = 104 kN. 
 
 
8. Em um laboratório foi realizada uma prova de carga com uma viga de madeira com inércia I = 
3 x 10-4 m4 e 5 m de comprimento, conforme modelo abaixo. Verificou-se que o deslocamento 
vertical do nó B da viga, devido ao carregamento indicado, foi  = 1,075 x 10-2 m para baixo. 
Sabendo que a deformação devida ao esforço cortante pode ser desprezada, calcule o módulo de 
elasticidade E desta espécie de madeira, utilizando os resultados do teste realizado e o Princípio 
dos Trabalhos Virtuais. Considere o módulo de elasticidade E constante em toda a viga. 
 
 
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9. Considere a estrutura metálica de sinalização rodoviária na cidade de Obertraun, 
Áustria - onde as temperaturas variam de um máximo de 26oC até mínimas de -6oC 
(negativos). A estrutura é modelada como um semiarco parabólico plano apoiado em 
duas barras de sustentação. O arco está engastado nas barras (Ponto A) e tem 
extremidade livre (Ponto B sobre o eixo da seção transversal do arco) com coordenadas 
(sistema com origem no ponto A) x=4,5 m e y= 0,65 m. O ponto B tem derivada nula. 
A estrutura foi executada sob uma temperatura constante de 13,5ºC. Considerando o 
arco com uma seção transversal constante de 5 cm x 30 cm (largura x altura) e o aço 
com módulo de elasticidade E=210 GPa e constante de dilatação térmica linear 
=1,1x10-5/oC, pedem-se, considerando apenas a ação de uma variação uniforme de 
temperatura em todo o arco: 
a) Os valores máximo e mínimo para a coordenada x do ponto B em mm com dois 
algarismos após a vírgula; 
b) Os valores máximo e mínimo para a coordenada y do ponto B em mm com dois 
algarismos após a vírgula; 
 
 
10. Seja o pórtico abaixo cujas barras têm rigidez à flexão EI = 2 x 105 kN.m2. Aplicando o 
Princípio dos Trabalhos Virtuais, desprezando os efeitos de esforços cortantes e de 
esforços normais, calcule: 
a) O deslocamento horizontal do ponto C; 
b) A rotação da tangente à linha elástica no ponto A. 
 
 
 
 
 
 
 
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Lista de Exercícios 1 
 
 
 
11. Recalcule os itens (a) e (b) do exercício 10, utilizando o Princípio dos Trabalhos 
Virtuais considerando os efeitos dos esforços normais e dos momentos fletores (flexão). 
Despreze apenas o efeito dos esforços cortantes e considere que todas as barras têm 
rigidez axial EA = 2 x 105 kN. 
 
12. Dois galpões idênticos (ver figura abaixo), independentes e adjacentes tem um aumento 
de temperatura uniforme (interior e exterior) de 50º C. Dado que todas as barras tem 
altura de 35 cm e são feitas do mesmo material com  =10-5º/ C, pede-se: 
a) O menor valor da folga, f, entre os apoios para que o sistema continue isostático 
b) Caso fosse considerado o peso da cobertura, o que aconteceria ao valor da folga 
mínima calculado em a? 
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13. Seja o pórtico abaixo cujas barras têm E = 1 x 108 kN/m2 e I = 1 x 10-3 m4 . Calcule a 
rotação da tangente à linha elástica no ponto A causado por um recalque vertical do 
apoio em D, para baixo, de 6 mm. 
 
 
 
14. Calcule o deslocamento horizontal do ponto C, do pórtico do exercício 10, causado por 
um recalque vertical do apoio A de 4 mm para baixo. 
 
15. Recalcule o item (b) do exercício 10 causado pela carga em B e por um recalque 
vertical do apoio D de 6 mm para cima. Utilize o Princípio dos Trabalhos Virtuais e 
despreze os efeitos de esforços cortantes e de esforços normais. 
 
16. Considere o pórtico isostático mostrado abaixo. A estrutura tem como solicitação um 
aumento uniforme de temperatura (T = 12 C) na viga. Todas as barras têm um 
material com módulo de elasticidade E = 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica 
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α= 10–5 /C. Todas a barras têm seções transversais com momento de inércia I = 1,0 x 
10–3 m4. Calcule o deslocamento horizontal do apoio da direita. 
 
 
17. A viga do pórtico abaixo sofreu um aquecimento na face superior de 12 °C. Pede-se o 
deslocamento vertical da extremidade livre da estrutura. Considere que as barras do 
pórtico podem se deformar axialmente, isto é, não despreze a energia de deformação 
axial. O material tem módulo de elasticidade E = 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação 
térmica α = 10–5 /°C. As barras da estrutura têm a seção transversal retangular indicada 
abaixo, que foi posicionada de modo a oferecer a maior resistência ao momento fletor 
atuante. 
 
 
 
 
 
18. Para a viga Gerber mostrada abaixo pede-se a rotação relativa entre os dois vãos no 
apoio central. Utilize o Princípio dos Trabalhos Virtuais e despreze os efeitos de 
esforços cortantes. A viga tem um material com módulo de elasticidade E = 108 kN/m2 
e coeficiente de dilatação térmica α= 10–5 /C. A viga tem seção transversal com área A 
= 1,0 x 10–2 m2 e momento de inércia I = 1,0 x 10–3 m4. A altura da seção transversal é 
h = 0,60 m e o seu centro de gravidade fica posicionado na metade da altura. As 
seguintes solicitações atuam na estrutura concomitantemente: 
· Uma cargaconcentrada de 40 kN no centro de cada vão. 
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Lista de Exercícios 1 
· Aquecimento das fibras superiores da viga de Ts = 50 C ao longo de toda a sua 
extensão (as fibras inferiores não sofrem variação de temperatura, isto é, Ti = 0 C). 
· Recalque vertical (para baixo) de 3 cm do apoio extremo direito. 
 
 
19. Considere o pórtico abaixo no qual atuam concomitantemente as seguintes solicitações: 
· Uma carga concentrada de 48 kN no centro da viga (barra horizontal). 
· Resfriamento das fibras superiores da viga de Ts = -24 C ao longo de toda a sua 
extensão (as fibras inferiores não sofrem variação de temperatura, isto é, Ti = 0 C). 
· Recalque horizontal (para a direita) de 1,8 mm do apoio esquerdo. 
O material com módulo de elasticidade E = 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação 
térmica α= 10–5 /C. As barras da estrutura têm seção transversal com área A = 10–1 m2 
e momento de inércia I = 10–3 m4. A altura da seção transversal é h = 0,60 m e o seu 
centro de gravidade fica posicionado na metade da altura. Determine o deslocamento 
horizontal do apoio da direita. 
 
 
 
20. Considere a estrutura abaixo com todas as barras de seção transversal circular com raio 
de 12 cm, E = 210 GPa e =0,25; Pedem-se 
a) O ângulo de rotação de torção do ponto A; 
b) A flecha vertical do ponto B; 
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS: 
 
1. 
1.a. 2,3 mm  1.b. -2,64 mm ← e 4,95 mm  
2. 
2.a. 
EI
qL
A
24
3

 2.b. 
EI
qL
C
384
5 4

 
3. 
3.a. 
EI
LM B
B
3

 3.b. 
EI
LM B
A
6

. 
4. 
8
3
2
PL
M 
 
5. 
     223 8324234
12
RLRLRL
EI
F
v  
 
6. C = - 5,625 x 10-5 m  
7. B = 77,2 mm  
8. E = 3,1 x 106 kN/m2 
9. 
9.a. xmin=4499,03 mm e xmáx=4500,62 mm 9.b. ymin=649,86 mm e ymáx=650,09 mm 
10. 
10.a C = 6 mm  10.b. A = 2,375 x 10-3 rad  
11. 
11.a. C = 6,54 mm  11.b A = 2,555 x 10-3 rad  
12. f=16 mm 
13. A = 2,0 x 10-3 rad  
14. C = 2,40 mm  
15. A = 1,175 x 10-3 rad  
A B 
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Lista de Exercícios 1 
16.  = 72 x 10-5 m 
17.  = -360 x 10-5 m 
18.  = -180/EI rad 
19.  = 1476 x 10-5 m 
20. 
20.a =0.0175 rad; 20.b. vB=-6,30 cm