Circuitos Elétricos I - Poli - Aula 14 Prof Bete 2017

Prévia do material em texto

PSI 3211 - Circuitos Elétricos I 
Profa. Elisabete Galeazzo 
Aula 14– 03/05/2017 
TÓPICOS DA AULA: 
 
1. Análise Nodal: O que é? 
2. Etapas da Análise Nodal – aplicada em circuito com fonte 
de corrente 
3. Método para obter a matriz de condutância por inspeção 
 
4. Pesquisa sobre a qualidade dos professores e ensino; 
 
5. Testinho!!!! 
Análise Nodal 
 Problema a ser resolvido: 
 Para um circuito com B ramos e N nós, a árvore conterá N – 1 
ramos, ou seja, tem-se N – 1 tensões de ramo. Como calculá-las? 
 
Análise Nodal: método sistemático para calcular as 
correntes e tensões de ramo de um circuito 
• Permite identificar equações linearmente independentes e 
suficientes; 
• É baseada na 1ª Lei de Kirchhoff; 
• Na Análise Nodal as variáveis são as tensões nos N-1 nós 
  precisamos de N – 1 equações nodais 
  as tensões nodais são definidas em relação a um nó de 
 referência 
 
* Método aplicado em programas computacionais (exemplo PSICE) 
OBJETIVO: determinar as tensões e 
correntes nos ramos do circuito 
Aplicar o método sistemático: através das 
tensões dos nós 
G1 G3 
G2 
iS1 iS2 
ETAPAS DA ANÁLISE NODAL 
ETAPA 1: Definir ramos e nós de um circuito 
G1 G3 
G2 
iS1 iS2 
i1 
i2 
i3 
v1 v3 
v2 
ETAPAS DA ANÁLISE NODAL 
ETAPA 1: Definir ramos e nós de um circuito 
G1 G3 
G2 
iS1 iS2 
i1 
i2 
i3 
v1 v3 
v2 
ETAPAS DA ANÁLISE NODAL 
• ETAPA 2: Estabelecer o nó de referência 
i1 
i2 
i3 
v1 v3 
v2 
G1 G3 
G2 
iS1 iS2 
ETAPAS DA ANÁLISE NODAL 
• ETAPA 3: Definir as tensões nodais 
i1 
i2 
i3 
v1 v3 
v2 
G1 G3 
G2 
iS1 iS2 
1 2 
ETAPA 3...tensões nodais 
• e1  tensão nodal do nó 1 ao terra 
  e1 = v1 
 
• e2  tensão nodal do nó 2 ao terra 
  e2 = v3 
 
ETAPAS DA ANÁLISE NODAL 
• ETAPA 4: Aplicar a 1ª LK em cada nó, exceto 
no nó referencial 
Nó 1: 
−𝒊𝒔𝟏 + 𝒊𝟏 + 𝒊𝟐 = 𝟎 
Nó 2: 
 
−𝒊𝟐 + 𝒊𝟑 + 𝒊𝒔𝟐 = 𝟎 Adotar : 
Corrente que sai do nó : (+) 
Corrente que entra no nó: (-) 
ETAPAS DA ANÁLISE NODAL 
• ETAPA 5: Descrever as correntes de ramo em 
função das tensões nodais 
𝑖1 = 𝐺1. 𝑣1 
𝑖3 = 𝐺3. 𝑣3  
𝑖2 = 𝐺2. 𝑣2  
𝒊𝟏 = 𝑮𝟏𝒗𝟏 = 𝑮𝟏𝒆𝟏 
𝒊𝟑 = 𝑮𝟑𝒗𝟑 = 𝑮𝟑𝒆𝟐 
𝒊𝟐 = 𝑮𝟐𝒗𝟐 = 𝑮𝟐 𝒆𝟏 − 𝒆𝟐 
ETAPAS DA ANÁLISE NODAL 
• ETAPA 6: Ordenar as equações da 1ª LK e 
reescrevê-las em relação às tensões nodais 
 
 
Nó 1: 
 
−𝒊𝒔𝟏 + 𝒊𝟏 + 𝒊𝟐 = 𝟎  𝒊𝟏 + 𝒊𝟐 = 𝒊𝒔𝟏 
Nó 2: 
 
 −𝒊𝟐 + 𝒊𝟑 + 𝒊𝒔𝟐 = 𝟎  −𝒊𝟐 + 𝒊𝟑 = −𝒊𝒔𝟐 
𝐺1𝑒1 + 𝐺2 𝑒1 − 𝑒2 = 𝑖𝑠1 
𝑮𝟏 + 𝑮𝟐 𝒆𝟏 − 𝑮𝟐𝒆𝟐 = 𝒊𝒔𝟏 
−𝐺2𝑒1 + 𝐺2𝑒2 + 𝐺3𝑒2 = −𝑖𝑠2 
−𝑮𝟐𝒆𝟏 + 𝑮𝟐 + 𝑮𝟑 𝒆𝟐 = −𝒊𝒔𝟐 
ETAPAS DA ANÁLISE NODAL 
• ETAPA 7: Montar a equação matricial 
 relação entre tensões nodais e excitações 
1 𝑮𝟏 + 𝑮𝟐 𝒆𝟏 − 𝑮𝟐𝒆𝟐 = 𝒊𝒔𝟏 
𝟐 − 𝑮𝟐𝒆𝟏 + 𝑮𝟐 + 𝑮𝟑 𝒆𝟐 = −𝒊𝒔𝟐 
𝑮𝟏 + 𝑮𝟐 −𝑮𝟐
−𝑮𝟐 𝑮𝟐 + 𝑮𝟑
𝒆𝟏
𝒆𝟐
=
𝒊𝒔𝟏
−𝒊𝒔𝟐
 
ETAPAS DA ANÁLISE NODAL 
• ETAPA 8: Resolver o sistema e obter as tensões 
nodais. 
 Exemplo: G1 = 0,5 S; G2 = 0,2 S; G3 = 1,0 S 
 iS1 = 3A; iS2 = - 2A 
𝟎, 𝟕 −𝟎, 𝟐
−𝟎, 𝟐 𝟏, 𝟑
𝒆𝟏
𝒆𝟐
=
𝟑
−𝟐
 
Gn e ~ 
isn 
~ 
Solução do sistema 
representado por matrizes 
Quanto houver 2 ou 3 equações  Regra de Cramer 
Caso geral  eliminação de Gauss 
det Gn = 0,7 x 1,3 - (-0,2 x -0,2) = 0,8 
𝑒1 =
3 −0,2
2 1,3
𝑑𝑒𝑡𝐺𝑛
= 5 𝑉 𝑒2 =
0,7 3
−0,2 −2
𝑑𝑒𝑡𝐺𝑛
= 5 𝑉 
Equação geral da Análise Nodal de 
redes resistivas lineares 
Gn isn ~ 
e 
~ 
= 
Gn Matriz de condutâncias nodais 
e 
~ 
Vetor de tensões nodais 
Vetor de fontes de corrente independentes 
Método para obter Gn: por inspeção 
 O elemento (k, k): soma das condutâncias 
ligadas ao nó k; 
 
 Elemento (k, l): negativo da soma das 
condutâncias existentes nos ramos que 
interligam os nós k e l, sendo k  l 
 
 Gn: simétrica e não-singular 
Para obter o vetor das fontes de corrente: 
 K-ésimo elemento: soma das correntes de 
geradores independentes que pertencem ao 
nó k. 
 
 
Aplicação do método da inspeção no 
circuito exemplo: 
𝐺1 + 𝐺2 −𝐺2
−𝐺2 𝐺2 + 𝐺3
𝑒1
𝑒2
=
 𝑖𝑠1
−𝑖𝑠2
 
Para a matriz de 
correntes 
independentes: 
(+) para entrar no nó 
(-) para sair do nó. 
Exercício: monte o sistema de equações 
nodais pelo método de inspeção 
G3 
G2 
iS2 
G1 
iS1 
iS3 
G4 G5 
G6 
i1 
i3 
i4 1 
2 
3 
0 
ref 
RESOLUÇÃO 
𝐺1 + 𝐺3 + 𝐺4 −𝐺4 −𝐺3
−𝐺4 𝐺4 + 𝐺5 + 𝐺6 −𝐺5
−𝐺3 −𝐺5 𝐺2 + 𝐺3 + 𝐺4
𝑒1
𝑒2
𝑒3
=
𝑖𝑠1 + 𝑖𝑠3
0
−𝑖𝑠2 − 𝑖𝑠3
 
Para a matriz de 
correntes 
independentes: 
+ para entrar no nó 
- Para sair do nó.