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Circuitos Elétricos I - Poli - Aula 16 Prof Bete 2017

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PSI 3211 - Circuitos Elétricos I
Profa. Elisabete Galeazzo
Aula 16– 10/05/2017
TÓPICOS DA AULA:
1. Revisão de circuitos com Amplificadores Operacionais
2. Análise Nodal aplicada a circuitos com Amplificadores
Operacionais
3. Análise Nodal aplicada a circuitos em RPS - Regime 
Permanente Senoidal
Revisão de Circuitos com 
Amplificadores Operacionais
CARACTERÍSTICAS DOS AMPLIFICADORES OPERACIONAIS:
Zin 
Ganho em malha aberta é muito elevado,  
vn  vp para que a tensão de saída, vo seja mensurável.
-
+
vp
vn
v0
v1
+
-
m.(vp – vn) 
vo
vn
vp ip
in
+
-
Circuito Integrador
Nó e1 = es  a tensão no nó e1 não é incógnita.
Nó e2: i = 0  - i1 + i2 = 0  i1 = i2; Como e2 = 0, temos que: 𝒊𝟏 =
𝒆𝒔
𝑹
= 𝒊𝟐
−𝒗𝑪 + 𝒗𝒔 = 𝟎  𝒗𝒄 = 𝒗𝒔 = −
𝟏
𝑪
 𝟎
𝒕
𝒊 𝝀 𝒅𝝀 + 𝒗𝒔 𝟎  𝒗𝒔 𝒕 = −
𝟏
𝑹𝑪
 𝟎
𝒕
𝒆𝒔 𝝀 𝒅𝝀 + 𝒗𝒔 𝟎
Somatória das tensões num laço é igual a zero
-
+ vS
CA
C
R
es
-
+ vS
CA
C
R
es
i1
i2
es
vC
O V
O Ve1
e2
e3
Amplificador não inversor
-
+ vS
CA
R2
R1
es
Nó e1:
𝑒1 = 𝑒𝑠 ⇒ 𝑖 =
− 𝑉𝑅1
𝑅1
= 
−𝑒𝑠
𝑅1
-
+ vS
CA
R2
R1
es
e1i
i
vR1
vR2
Em VR2:
𝑣𝑅2 = 𝑅2𝑖 = −
𝑅2
𝑅1
𝑒𝑠
vs será:
𝑒𝑠 − 𝑣𝑠 = 𝑣𝑅2
𝑣𝑠 = 𝑒𝑠 +
𝑅2
𝑅1
𝑒𝑠
Análise Nodal aplicada a circuitos 
com Amplificadores Operacionais
LEMBRAR QUE:
• As correntes nos terminais de entrada do
AmpOp são nulas;
• As tensões nas entradas do AmpOp são iguais;
• Não é possível substituir a corrente fornecida
pelo nó ligado à saída do AmpOp por alguma
relação constitutiva (pois não existe!)  a
corrente neste nó é incógnita da A.N.
Análise Nodal aplicada a circuitos com 
Amplificadores Operacionais
-+
is
G1
G2
G3 G4
G5 -+
is
G1
G2
G3 G4
G5
i1
i2
i3
i4
i5
i6
ip in
e1
e2
e3 e4
v saída
Exemplo: 
Montar a equação matricial
do circuito abaixo:
No exemplo, aplicar a 1ª LK nos nós e a 
seguir, as leis constitutivas....
-+
is
G1
G2
G3 G4
G5
i1
i2
i3
i4
i5
i6
ip in
e1
e2
e3 e4
v saída
Nó 1: −𝑖1 + 𝑖6 + 𝑖5 = 0
 Não há relação constitutiva para i6:
−𝐺1 𝑒2 − 𝑒1 + 𝐺5 𝑒1 − 𝑒4 + 𝑖6 = 0
 𝑮𝟏 + 𝑮𝟓 𝒆𝟏 − 𝑮𝟏𝒆𝟐 − 𝑮𝟓𝒆𝟒 + 𝒊𝟔 = 𝟎
Nó 2: 𝑖1 + 𝑖2 = 0
𝐺1 𝑒2 − 𝑒1 + 𝐺2 𝑒2 − 𝑒3 = 0
 −𝑮𝟏𝒆𝟏 + 𝑮𝟏 + 𝑮𝟐 𝒆𝟐 − 𝑮𝟐𝒆𝟑 = 𝟎
Nó 3: −𝑖𝑠 − 𝑖2 + 𝑖3 = 0 (𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒊𝒑 = 𝟎)
−𝐺2 𝑒2 − 𝑒3 + 𝐺3𝑒3 = 𝑖𝑠
 −𝑮𝟐𝒆𝟐 + 𝑮𝟐 + 𝑮𝟑 𝒆𝟑 = 𝒊𝒔
Nó 4: 𝑖4 − 𝑖5 = 0 já que in = 0
𝐺4𝑒4 − 𝐺5 𝑒1 − 𝑒4 = 0
−𝐺5𝑒1 + 𝐺4 + 𝐺5 𝑒4 = 0
Como 𝒆𝟒 = 𝒆𝟑 𝒕𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆:
 −𝑮𝟓𝒆𝟏 + 𝑮𝟒 + 𝑮𝟓 𝒆𝟑 = 𝟎
A Equação Matricial será:
𝐺1 + 𝐺5 −𝐺1 −𝐺5 1
−𝐺1 𝐺1 + 𝐺2 −𝐺2 0
0
−𝐺5
−𝐺2
0
𝐺2 + 𝐺3
𝐺4 + 𝐺5
0
0
𝒆𝟏
𝒆𝟐
𝒆𝟑
𝒊𝟔
=
0
0
𝑖𝑠
0
𝑮𝟏 + 𝑮𝟓 𝒆𝟏 − 𝑮𝟏𝒆𝟐 − 𝑮𝟓𝒆𝟑 + 𝒊𝟔 = 𝟎
−𝑮𝟏𝒆𝟏 + 𝑮𝟏 + 𝑮𝟐 𝒆𝟐 − 𝑮𝟐𝒆𝟑 = 𝟎
−𝑮𝟐𝒆𝟐 + 𝑮𝟐 + 𝑮𝟑 𝒆𝟑 = 𝒊𝒔
−𝑮𝟓𝒆𝟏 + 𝑮𝟒 + 𝑮𝟓 𝒆𝟑 = 𝟎
Análise Nodal em R.P.S.
Yn(j) 𝐈sn
~
 𝐄
~
= 
Matriz das admitâncias nodais
Vetor dos fasores das tensões nodais
Yn(j)
 𝐄
~
 𝐈sn
~
Vetor dos fasores das fontes de corrente
 Usar fasores e relações fasoriais
 Usar admitâncias ao invés de condutâncias
Equação Matricial Nodal em RPS
Impedância e Admitância em RPS, 
revisão
Resistor: 
 𝑽
 𝑰
= R; R = Resistência, em ohms
Indutor:
 𝑽𝑳
 𝑰𝑳
= 𝒋𝝎𝑳; 𝒁𝑳= 𝑿𝑳 = Reatância
Indutiva, em ohms, . 
Capacitor:
 𝑽𝑪
 𝑰𝑪
= 
𝟏
𝒋𝝎𝑪
= 
−𝒋
𝝎𝑪
; 𝒁𝑪 = 𝑿𝑪 = Reatância
Capacitiva, em ohms, . 
Impedância: 
𝒁 𝒋𝝎 = 𝑹 + 𝒋𝑿
Admitância: 
𝒀 (𝒋𝝎) = G + jB
 𝑰
 𝑽
= 
𝟏
𝑹
= G; G = Condutância, 
em siemens, S
𝒀𝑳(j)= 
𝟏
𝒁𝑳
=
𝟏
𝒋𝝎𝑳
= Susceptância
Indutiva, em siemens, S
𝒀𝑪(j)= 
𝟏
𝒁𝑪
= 𝐣𝛚𝑪 = Susceptância
Capacitiva, em siemens, S
Exemplo: 
Calcular as tensões Nodais do circuito
is
1 S
0,5 S
2 H
C= 1 F
Considere que: 𝑖𝑠 𝑡 = 10 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 + 45
𝑜 , 𝐴, 𝑠
ETAPAS
1. Indicar os fasores das 
tensões nodais e das 
correntes;
2. Substituir os componentes 
por suas admitâncias;
3. Indicar os sentidos das 
correntes no circuito;
4. Aplicar a 1ª LK;
5. Utilizar as relações fasoriais;
6. Montar a equação matricial.
Fasores das tensões nodais e 
fasores das correntes
10 45o
1 
0,5 
-j0,25
j2 ^
 E1
 ^
 E2
 ^
 I1
 ^
 I3
 ^
 I4
 ^
 I2
Aplicação da 1ª LK em cada nó, assim 
como das relações fasoriais
10 45o
1 
0,5 
-j0,25
j2 ^
 E1
 ^
 E2
 ^
 I1
 ^
 I3
 ^
 I4
 ^
 I2
Nó 1: 𝐼1 + 𝐼2 − 𝐼𝑠 = 0
1 𝐸1 + 𝑗2 𝐸1 − 𝐸2 = 10∠45
𝑜
𝟏 + 𝒋𝟐 𝑬𝟏 − 𝒋𝟐 𝑬𝟐 = 𝟏𝟎∠𝟒𝟓
𝒐
Nó 2: − 𝐼2 + 𝐼3 + 𝐼4 = 0
−𝑗2 𝐸1 − 𝐸2 + 0,5 𝐸2 − 𝑗0,25 𝐸2 = 0
−𝒋𝟐 𝑬𝟏 + 𝟎, 𝟓 + 𝒋𝟏, 𝟕𝟓 𝑬𝟐 = 𝟎
Equação Matricial e Cálculo dos 
Fasores das Tensões Nodais
𝟏 + 𝒋𝟐 𝑬𝟏 − 𝒋𝟐 𝑬𝟐 = 𝟏𝟎∠𝟒𝟓
𝒐 −𝒋𝟐 𝑬𝟏 + 𝟎, 𝟓 + 𝒋𝟏, 𝟕𝟓 𝑬𝟐 = 𝟎
1 + 𝑗2 −𝑗2
−𝑗2 0,5 + 𝑗1,75
 𝐸1
 𝐸2
= 10∠45
𝑂
0
 𝐸1 =
5 2 + 𝑗5 2 −𝑗2
0 0,5 + 𝑗1,75
𝑑𝑒𝑡𝑌𝑛 𝑗𝜔
 𝐸1 = 4,0775 + 𝑗 4,6968 = 6,22∠41
0
 𝐸2 = 6,83∠65
𝑜
Exercício: Determine as tensões nodais
e a corrente do gerador de tensão
CA
0,5 F
2  
1F
4  
2 H
vs(t)
is(t)
𝑖𝑠 𝑡 = 10 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 − 15
𝑜 , 𝐴, 𝑠
𝑣𝑠 𝑡 = 2 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 + 30
𝑜 , 𝑉, 𝑠
Resolução: identificação dos fasores das tensões
nodais e do fasor corrente no gerador
As incógnitas do circuito serão: 𝑬𝟏, 𝑬𝟐, 𝑬𝟑, 𝑰𝒈
CA
j
0,5
j2
0,25 
-j0,25
vs(t)
10-15o
^ 
 I1
^ 
 I2
^ 
 I3
^ 
 I4
^ 
 Ig
^ 
 I5
^
 E1
^
 E2
^
 E3
+ -
Resolução: Equação Matricial
CA
j
0,5
j2
0,25 
-j0,25
vs(t)
10-15o
^ 
 I1
^ 
 I2
^ 
 I3
^ 
 I4
^ 
 Ig
^ 
 I5
^
 E1
^
 E2
^
 E3
+ -
0,5 + 𝑗0,75 −0,5 𝑗0,25 0
−0,5 0,5 + 𝑗2 0 −1
𝑗0,25
0
0
1
0,25 − 𝑗0,25 1
−1 0
 𝐸1
 𝐸2
 𝐸3
 𝐼𝑔
=
0
0
10∠ − 15𝑜
2∠30𝑜

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