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PSI 3211 - Circuitos Elétricos I Profa. Elisabete Galeazzo Aula 16– 10/05/2017 TÓPICOS DA AULA: 1. Revisão de circuitos com Amplificadores Operacionais 2. Análise Nodal aplicada a circuitos com Amplificadores Operacionais 3. Análise Nodal aplicada a circuitos em RPS - Regime Permanente Senoidal Revisão de Circuitos com Amplificadores Operacionais CARACTERÍSTICAS DOS AMPLIFICADORES OPERACIONAIS: Zin Ganho em malha aberta é muito elevado, vn vp para que a tensão de saída, vo seja mensurável. - + vp vn v0 v1 + - m.(vp – vn) vo vn vp ip in + - Circuito Integrador Nó e1 = es a tensão no nó e1 não é incógnita. Nó e2: i = 0 - i1 + i2 = 0 i1 = i2; Como e2 = 0, temos que: 𝒊𝟏 = 𝒆𝒔 𝑹 = 𝒊𝟐 −𝒗𝑪 + 𝒗𝒔 = 𝟎 𝒗𝒄 = 𝒗𝒔 = − 𝟏 𝑪 𝟎 𝒕 𝒊 𝝀 𝒅𝝀 + 𝒗𝒔 𝟎 𝒗𝒔 𝒕 = − 𝟏 𝑹𝑪 𝟎 𝒕 𝒆𝒔 𝝀 𝒅𝝀 + 𝒗𝒔 𝟎 Somatória das tensões num laço é igual a zero - + vS CA C R es - + vS CA C R es i1 i2 es vC O V O Ve1 e2 e3 Amplificador não inversor - + vS CA R2 R1 es Nó e1: 𝑒1 = 𝑒𝑠 ⇒ 𝑖 = − 𝑉𝑅1 𝑅1 = −𝑒𝑠 𝑅1 - + vS CA R2 R1 es e1i i vR1 vR2 Em VR2: 𝑣𝑅2 = 𝑅2𝑖 = − 𝑅2 𝑅1 𝑒𝑠 vs será: 𝑒𝑠 − 𝑣𝑠 = 𝑣𝑅2 𝑣𝑠 = 𝑒𝑠 + 𝑅2 𝑅1 𝑒𝑠 Análise Nodal aplicada a circuitos com Amplificadores Operacionais LEMBRAR QUE: • As correntes nos terminais de entrada do AmpOp são nulas; • As tensões nas entradas do AmpOp são iguais; • Não é possível substituir a corrente fornecida pelo nó ligado à saída do AmpOp por alguma relação constitutiva (pois não existe!) a corrente neste nó é incógnita da A.N. Análise Nodal aplicada a circuitos com Amplificadores Operacionais -+ is G1 G2 G3 G4 G5 -+ is G1 G2 G3 G4 G5 i1 i2 i3 i4 i5 i6 ip in e1 e2 e3 e4 v saída Exemplo: Montar a equação matricial do circuito abaixo: No exemplo, aplicar a 1ª LK nos nós e a seguir, as leis constitutivas.... -+ is G1 G2 G3 G4 G5 i1 i2 i3 i4 i5 i6 ip in e1 e2 e3 e4 v saída Nó 1: −𝑖1 + 𝑖6 + 𝑖5 = 0 Não há relação constitutiva para i6: −𝐺1 𝑒2 − 𝑒1 + 𝐺5 𝑒1 − 𝑒4 + 𝑖6 = 0 𝑮𝟏 + 𝑮𝟓 𝒆𝟏 − 𝑮𝟏𝒆𝟐 − 𝑮𝟓𝒆𝟒 + 𝒊𝟔 = 𝟎 Nó 2: 𝑖1 + 𝑖2 = 0 𝐺1 𝑒2 − 𝑒1 + 𝐺2 𝑒2 − 𝑒3 = 0 −𝑮𝟏𝒆𝟏 + 𝑮𝟏 + 𝑮𝟐 𝒆𝟐 − 𝑮𝟐𝒆𝟑 = 𝟎 Nó 3: −𝑖𝑠 − 𝑖2 + 𝑖3 = 0 (𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒊𝒑 = 𝟎) −𝐺2 𝑒2 − 𝑒3 + 𝐺3𝑒3 = 𝑖𝑠 −𝑮𝟐𝒆𝟐 + 𝑮𝟐 + 𝑮𝟑 𝒆𝟑 = 𝒊𝒔 Nó 4: 𝑖4 − 𝑖5 = 0 já que in = 0 𝐺4𝑒4 − 𝐺5 𝑒1 − 𝑒4 = 0 −𝐺5𝑒1 + 𝐺4 + 𝐺5 𝑒4 = 0 Como 𝒆𝟒 = 𝒆𝟑 𝒕𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆: −𝑮𝟓𝒆𝟏 + 𝑮𝟒 + 𝑮𝟓 𝒆𝟑 = 𝟎 A Equação Matricial será: 𝐺1 + 𝐺5 −𝐺1 −𝐺5 1 −𝐺1 𝐺1 + 𝐺2 −𝐺2 0 0 −𝐺5 −𝐺2 0 𝐺2 + 𝐺3 𝐺4 + 𝐺5 0 0 𝒆𝟏 𝒆𝟐 𝒆𝟑 𝒊𝟔 = 0 0 𝑖𝑠 0 𝑮𝟏 + 𝑮𝟓 𝒆𝟏 − 𝑮𝟏𝒆𝟐 − 𝑮𝟓𝒆𝟑 + 𝒊𝟔 = 𝟎 −𝑮𝟏𝒆𝟏 + 𝑮𝟏 + 𝑮𝟐 𝒆𝟐 − 𝑮𝟐𝒆𝟑 = 𝟎 −𝑮𝟐𝒆𝟐 + 𝑮𝟐 + 𝑮𝟑 𝒆𝟑 = 𝒊𝒔 −𝑮𝟓𝒆𝟏 + 𝑮𝟒 + 𝑮𝟓 𝒆𝟑 = 𝟎 Análise Nodal em R.P.S. Yn(j) 𝐈sn ~ 𝐄 ~ = Matriz das admitâncias nodais Vetor dos fasores das tensões nodais Yn(j) 𝐄 ~ 𝐈sn ~ Vetor dos fasores das fontes de corrente Usar fasores e relações fasoriais Usar admitâncias ao invés de condutâncias Equação Matricial Nodal em RPS Impedância e Admitância em RPS, revisão Resistor: 𝑽 𝑰 = R; R = Resistência, em ohms Indutor: 𝑽𝑳 𝑰𝑳 = 𝒋𝝎𝑳; 𝒁𝑳= 𝑿𝑳 = Reatância Indutiva, em ohms, . Capacitor: 𝑽𝑪 𝑰𝑪 = 𝟏 𝒋𝝎𝑪 = −𝒋 𝝎𝑪 ; 𝒁𝑪 = 𝑿𝑪 = Reatância Capacitiva, em ohms, . Impedância: 𝒁 𝒋𝝎 = 𝑹 + 𝒋𝑿 Admitância: 𝒀 (𝒋𝝎) = G + jB 𝑰 𝑽 = 𝟏 𝑹 = G; G = Condutância, em siemens, S 𝒀𝑳(j)= 𝟏 𝒁𝑳 = 𝟏 𝒋𝝎𝑳 = Susceptância Indutiva, em siemens, S 𝒀𝑪(j)= 𝟏 𝒁𝑪 = 𝐣𝛚𝑪 = Susceptância Capacitiva, em siemens, S Exemplo: Calcular as tensões Nodais do circuito is 1 S 0,5 S 2 H C= 1 F Considere que: 𝑖𝑠 𝑡 = 10 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 + 45 𝑜 , 𝐴, 𝑠 ETAPAS 1. Indicar os fasores das tensões nodais e das correntes; 2. Substituir os componentes por suas admitâncias; 3. Indicar os sentidos das correntes no circuito; 4. Aplicar a 1ª LK; 5. Utilizar as relações fasoriais; 6. Montar a equação matricial. Fasores das tensões nodais e fasores das correntes 10 45o 1 0,5 -j0,25 j2 ^ E1 ^ E2 ^ I1 ^ I3 ^ I4 ^ I2 Aplicação da 1ª LK em cada nó, assim como das relações fasoriais 10 45o 1 0,5 -j0,25 j2 ^ E1 ^ E2 ^ I1 ^ I3 ^ I4 ^ I2 Nó 1: 𝐼1 + 𝐼2 − 𝐼𝑠 = 0 1 𝐸1 + 𝑗2 𝐸1 − 𝐸2 = 10∠45 𝑜 𝟏 + 𝒋𝟐 𝑬𝟏 − 𝒋𝟐 𝑬𝟐 = 𝟏𝟎∠𝟒𝟓 𝒐 Nó 2: − 𝐼2 + 𝐼3 + 𝐼4 = 0 −𝑗2 𝐸1 − 𝐸2 + 0,5 𝐸2 − 𝑗0,25 𝐸2 = 0 −𝒋𝟐 𝑬𝟏 + 𝟎, 𝟓 + 𝒋𝟏, 𝟕𝟓 𝑬𝟐 = 𝟎 Equação Matricial e Cálculo dos Fasores das Tensões Nodais 𝟏 + 𝒋𝟐 𝑬𝟏 − 𝒋𝟐 𝑬𝟐 = 𝟏𝟎∠𝟒𝟓 𝒐 −𝒋𝟐 𝑬𝟏 + 𝟎, 𝟓 + 𝒋𝟏, 𝟕𝟓 𝑬𝟐 = 𝟎 1 + 𝑗2 −𝑗2 −𝑗2 0,5 + 𝑗1,75 𝐸1 𝐸2 = 10∠45 𝑂 0 𝐸1 = 5 2 + 𝑗5 2 −𝑗2 0 0,5 + 𝑗1,75 𝑑𝑒𝑡𝑌𝑛 𝑗𝜔 𝐸1 = 4,0775 + 𝑗 4,6968 = 6,22∠41 0 𝐸2 = 6,83∠65 𝑜 Exercício: Determine as tensões nodais e a corrente do gerador de tensão CA 0,5 F 2 1F 4 2 H vs(t) is(t) 𝑖𝑠 𝑡 = 10 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 − 15 𝑜 , 𝐴, 𝑠 𝑣𝑠 𝑡 = 2 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 + 30 𝑜 , 𝑉, 𝑠 Resolução: identificação dos fasores das tensões nodais e do fasor corrente no gerador As incógnitas do circuito serão: 𝑬𝟏, 𝑬𝟐, 𝑬𝟑, 𝑰𝒈 CA j 0,5 j2 0,25 -j0,25 vs(t) 10-15o ^ I1 ^ I2 ^ I3 ^ I4 ^ Ig ^ I5 ^ E1 ^ E2 ^ E3 + - Resolução: Equação Matricial CA j 0,5 j2 0,25 -j0,25 vs(t) 10-15o ^ I1 ^ I2 ^ I3 ^ I4 ^ Ig ^ I5 ^ E1 ^ E2 ^ E3 + - 0,5 + 𝑗0,75 −0,5 𝑗0,25 0 −0,5 0,5 + 𝑗2 0 −1 𝑗0,25 0 0 1 0,25 − 𝑗0,25 1 −1 0 𝐸1 𝐸2 𝐸3 𝐼𝑔 = 0 0 10∠ − 15𝑜 2∠30𝑜
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