Circuitos Elétricos I - Poli - Aula 27 Prof Bete 2017

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PSI 3211 - Circuitos Elétricos I 
Profa. Elisabete Galeazzo 
Aula 27 – 21/06/2017 
TÓPICOS DA AULA: 
 
EXERCÍCIOS PARA DETERMINAR A RESPOSTA COMPLETA DE 
CIRCUITOS DE 2a ORDEM COM EXCITAÇÃO IMPULSIVA 
 
BATIMENTOS 
 
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA DE CIRCUITOS RLC 
Resposta Impulsiva de circuitos RLC 
CC
yd(t) 
vR(t)
vC(t)
i(t)
vL(t)
G
Qd(t)
vC(t)C
iR(t) iC(t)iL(t)
L
Para obter a resposta do circuito: 
 
 Considerar condições iniciais nulas, iL(0- ) = 0 e vC(0- ) = 0, mesmo que elas existam! 
Se iL (0 - ) = 0  não passará corrente pelo 
indutor. 
Indutor  comporta-se como um aberto 
Se vC (0 - ) = 0 
Capacitor  comporta-se como um curto. 
Excitação Impulsiva em RLC série 
CC
yd(t) 
vR(t)
vC(t)
i(t)
vL(t)
CC
yd(t) 
yd(t) 
Considerando-se: 
iL (0- ) = 0 e vC (0- ) = 0 
 
Temos  
𝑣𝐿 = 𝐿 
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 𝑡 = 0− → 𝑣𝐿 = 𝜓𝛿 𝑡 
 𝑣𝐿
0+
0−
𝑑𝑡 = 𝐿
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
0+
0−
𝑑𝑡 = 𝜓𝛿(𝑡)
0+
0−
𝑑𝑡 
𝑖 𝟎+ − 𝒊 𝟎− =
𝝍
𝑳
 
Fluxo magnético é adicionado ao 
circuito em t = 0+ 
Se i(0-)  0, haverá uma 
descontinuidade em degrau na função 
Excitação Impulsiva em RLC paralelo 
Qd(t)
i(t)
G
Qd(t)
vC(t)C
iR(t) iC(t)iL(t)
L
Considerando-se: 
iL (0- ) = 0 e vC (0- ) = 0 
 
Temos  
Com a excitação impulsiva, toda a corrente irá fluir pelo capacitor 
𝑖𝐶 𝑡 = 0− = 𝐶
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑄𝛿 𝑡 
 𝑄𝛿 𝑡
0+
0−
𝑑𝑡 = 𝐶
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
0+
0−
𝑑𝑡 𝑣 0+ − 𝑣 0− =
𝑄
𝐶
 
𝒗 𝟎+ =
𝑸
𝑪
+ 𝒗 𝟎− 
 Carga Q é adicionada ao capacitor em t = 0+ 
 A tensão no capacitor sofre uma descontinuidade 
em degrau em t = 0+ 
Exercício sobre Excitação Impulsiva 
G
Qd(t)
vC(t)C
iR(t) iC(t)iL(t)
L
Dados do exercício: 
 
R= 0,05 ; L = 0,01 H; C= 1 F 
 
𝒊𝒔 𝒕 = 𝟑. 𝜹(𝒕) 
Condições iniciais impostas: 
 
𝑣 0− = 2 𝑉 𝑒 𝑖𝐿 0− = 5 𝐴 
Pergunta-se: 
 
Obtenha a tensão de saída e a corrente no indutor para t  0 
Resolução, parte 1: 
Calcular a tensão sobre o capacitor entre 0− 𝑒 0+ , admitindo-se inicialmente 
condições iniciais nulas, ou seja: 
𝑣 0− = 0 𝑉 (𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎 − 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑚 𝑐𝑢𝑟𝑡𝑜); 
𝑖𝐿 0− = 0 𝐴 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎 − 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑚 𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑜 . 
Qd(t)
i(t)
𝑖 𝑡 = 𝑖𝐶 𝑡 = 0− = 𝐶
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
= 3 𝛿 𝑡 
 3𝛿 𝑡
0+
0−
𝑑𝑡 = 1
0+
0−
𝑑𝑣(𝑡) 
𝑣0+ − 𝑣0− = 3 
Considerando-se a condição inicial imposta no exercício, temos: 
 
𝑣0+ = 3 + 𝑣0− = 5 𝑉 
Resolução, parte 1, continuação 
• E o que acontece com a corrente no indutor 
entre t= 0- e t= 0+? 
𝑣𝐿 0− = 0 
𝑣𝐿 𝑡 = 𝐿
𝑑𝑖 𝑡
𝑑𝑡
 
 𝑣𝐿
0+
0−
𝑑𝑡 = 𝐿𝑑𝑖(𝑡)
0+
0−
 
Entre t= 0- e t= 0+ o indutor manterá a tensão nula, logo: 
 
𝑖 0+ − 𝑖 0− = 0 → 𝒊 𝟎+ = 𝒊 𝟎− = 5 𝐴 (𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑠 𝑐. 𝑖. 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑒𝑟𝑐í𝑐𝑖𝑜) 
Comportamento do circuito, para t > 0 s 
 Circuito comporta-se como um circuito “livre”, sem fonte de excitação. 
 
 Devemos analisar sua resposta natural, ou seja, sua resposta transitória 
(resposta homogênea) 
 Com as seguintes condições iniciais após t = 0+: 
 
𝑣 0+ = 5 𝑉 𝑒 𝑖𝐿 0+ = 5 𝐴 
Logo, deve-se identificar qual é a categoria de resposta do circuito (  e o) 
𝛼 =
𝐺
2𝐶
= 10 𝑠−1 𝜔𝑜 =
1
𝐿𝐶
= 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
Como  = o o circuito terá um comportamento criticamente amortecido, 
obedecendo a seguinte expressão: 
𝒙𝒉 𝒕 = 𝒂𝒆
−𝜶𝒕 + 𝜶𝒂 + 𝒃 𝒕 𝒆−𝜶𝒕 
Obtenção dos coeficientes 
“a” e “b” de xh(t) 
𝒂 = 𝑣 0+ − 𝑣𝑝 0+ 
 
a = 5 V 
𝒃 = 𝑣 0+ − 𝑣 𝑝 0+ 
 
𝑏 =
𝑑𝑣(𝑡 = 0+)
𝑑𝑡
 
Considerando-se que: 
 
𝑖𝐶 𝑡 = 𝐶
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
→ 𝑖𝐶 𝑡 = 0+ =
𝑑𝑣(𝑡 = 0+)
𝑑𝑡
 
A 1ª LK vale para qualquer intervalo de tempo: 
 
𝑖𝐶 𝑡 + 𝑖𝑅 𝑡 + 𝑖𝐿 𝑡 = 0 → 𝑖𝐶 0+ = −
5
0,05
+ 5 = −105 𝐴 
A resposta, v(t), será: 
 
𝒗 𝒕 = 𝟓𝒆−𝟏𝟎𝒕 − 𝟓𝟓𝒕𝒆−𝟏𝟎𝒕 , 𝒕 > 𝟎𝒔 
 
Qual é o comportamento de iL(t) 
para t > 0 s? 
𝒂 = 𝑖𝐿 0+ − 𝑖𝐿𝑝 0+ 
 
a = 5 A 
𝒃 =
𝑑𝑖𝐿
𝑑𝑡
0+ −
𝑑𝑖𝐿𝑝
𝑑𝑡
0+ 
 
𝒃 =
𝑑𝑖𝐿 (𝑡 = 0+)
𝑑𝑡
 
Logo: 
 
𝒊𝑳 𝒕 = 𝟓𝒆
−𝟏𝟎𝒕 + 𝟓𝟓𝟎 𝒕 𝒆−𝟏𝟎𝒕, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 > 𝟎 𝒔 
Sabendo-se que: 
 
𝑣𝐿 0+ = 𝐿
𝑑𝑖𝐿 𝑡 = 0+
𝑑𝑡
→ 
𝑑𝑖𝐿 0+
𝑑𝑡
=
5
0,01
= 𝟓𝟎𝟎 𝑨/𝒔 
BATIMENTO 
• Fenômeno ocorre quando duas funções 
co-senoidais com frequências muito próximas 
são somadas. 
Lembrando-se da relação trigonométrica: 
 
𝑐𝑜𝑠 𝑎 + 𝑐𝑜𝑠 𝑏 = 2. cos
𝑎 − 𝑏
2
. 𝑐𝑜𝑠
𝑎 + 𝑏
2
 
Exemplo: soma de duas funções co-senoidais com mesma amplitude e fase: 
 
cos 𝜔1𝑡 + 𝑐𝑜𝑠 𝜔2𝑡 = 2𝑐𝑜𝑠
𝜔1 − 𝜔2
2
𝑡 . 𝑐𝑜𝑠
𝜔1 + 𝜔2
2
𝑡 
Batimento 
f x = cos 𝜔1𝑡 + 𝑐𝑜𝑠 𝜔2𝑡 = 2𝑐𝑜𝑠
𝜔1 − 𝜔2
2
𝑡 . 𝑐𝑜𝑠
𝜔1 + 𝜔2
2
𝑡 
Função f(x) oscila com 
frequência 
𝜔1+𝜔2
2
 
Modula a amplitude da função f(x) 
 
T= 10 s, f = 0,1 Hz 
Batimentos em circuitos RLC 
• Em que situação é possível observar 
batimentos em circuitos RLC? 
Circuitos RLC com: 
 
. Resposta livre (ou resposta transitória) oscilatória pouco 
amortecida 
. O circuito deve ter excitação senoidal 
. Frequência de oscilação amortecida  frequência de excitação 
. Amplitudes da resposta transitória e função de excitação devem 
ser iguais 
. As duas funções devem ter a mesma fase 
Exemplo de batimento 
em circuitos RLC 
• Circuito RLC paralelo subamortecido, altamente 
oscilatório, excitado por 𝑖𝑠 𝑡 = 𝐼𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 , para t > 0s 
𝑣 𝑡 = 𝐴𝑒−𝛼𝑡𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑑𝑡 + 𝜃 + 𝑉𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜑 
 𝜔𝑑 ≅ 𝜔𝑜 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝛼 ≪ 𝜔𝑑 
 𝐴 = 𝑉 𝑒 𝜃 = 𝜑 
Resposta Permanente de Circuitos RLC 
à excitação senoidal 
𝒀 𝒋𝝎 = 𝑮 +
𝟏
𝒋𝝎𝑳
+ 𝒋𝝎𝑪 = 𝑮 + 𝒋 𝝎𝑪 −
𝟏
𝝎𝑳
 
Impedância do circuito RLC paralelo e 
ressonância 
𝑍 𝑗𝜔 =
1
𝑌(𝑗𝜔)
 = 
1
𝐺+𝑗 𝜔𝐶−
1
𝜔𝐿
 
Módulo: 
𝒁(𝒋𝝎) =
𝟏
𝑮𝟐 + 𝝎𝑪 −
𝟏
𝝎𝑳
𝟐
 
Fase: 
∅(𝑗𝜔) = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑅 𝜔𝐶 −
1
𝜔𝐿
 
 
𝜔𝑟 = 𝜔𝑜 =
1
𝐿𝐶
= 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 
10
4
10
5
10
6
-90
-60
-30
0
30
60
90
fa
se
 (
gr
au
s)
frequência angular (rad/s)
R = 1,5 kohms
C = 100 nF
L = 600 H
 é nula 
em o 
10
4
10
5
10
6
0
500
1000
1500
m
ód
ul
o 
da
 im
pe
dâ
nc
ia
 (
oh
m
s)
frequência angular, rad/s
Zmax em o 
Índice de Mérito, Q 
• Q, índice de Mérito ou fator de qualidade: 
 
 
 
𝑄 =
𝜔𝑜
2𝛼
 
RLC série: 
 
𝑄 =
𝜔𝑜
𝑅
𝐿 
=
𝜔𝑜𝐿
𝑅
= 
𝝎𝒓𝑳
𝑹
 
RLC paralelo: 
 
𝑄 =
𝜔𝑜
1
𝑅𝐶 
= 𝜔𝑜𝑅𝐶 = 𝝎𝒓𝑹𝑪 =
𝑹
𝝎𝒓𝑳
 
Circuitos RLC com Q elevados: 
 São altamente oscilatórios 
 São seletivos (filtro passa-faixa com largura de banda estreita) 
Impedâncias dos circuitos RLC série e 
paralelo em função de Q 
𝑍(𝑗𝜔) = 𝑅 + 𝑗 𝜔𝐿 −
1
𝜔𝐶
 
 
 
𝑍 𝑗𝜔 = 𝑅 1 + 𝑗
𝜔𝐿
𝑅
−
1
𝜔𝑅𝐶
 
 
 
𝑍 𝑗𝜔 = 𝑅 1 + 𝑗
𝜔𝜔𝑟𝐿
𝜔𝑟𝑅
−
𝜔𝑟
2𝐿
𝜔𝑅
 
 
 
𝒁 𝒋𝝎 = 𝑹 𝟏 + 𝒋𝑸
𝝎
𝝎𝒓
−
𝝎𝒓
𝝎
 
𝑌 𝑗𝜔 = 𝐺 + 𝑗 𝜔𝐶 −
1
𝜔𝐿
 
 
 
𝑌 𝑗𝜔 = 𝐺 1 + 𝑗
𝜔𝐶
𝐺
−
1
𝜔𝐿𝐺
 
 
 
𝑌 𝑗𝜔 = 𝐺 1 + 𝑗
𝜔𝜔𝑟𝐶
𝜔𝑟𝐺
−
𝜔𝑟𝑅
𝜔𝜔𝑟𝐿
 
 
 
𝒀 𝒋𝝎 = 𝑮 𝟏 + 𝒋𝑸
𝝎
𝝎𝒓
−
𝝎𝒓
𝝎
 
Circuito RLC paralelo em função de Q 
Banda passante (B): 𝝎𝒄𝒔 −𝝎𝒄𝒊 =
𝟏
𝑹𝑪
 𝑸 =
𝝎𝒓
𝑩
=
𝝎𝒓
𝝎𝒄𝒔 −𝝎𝒄𝒊