Eudoxo e os incomensuráveis

Prévia do material em texto

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
INTRODUÇÃO
A descoberta no século V a.C. da existência de grandezas incomensuráveis (como a diagonal e o lado 
de um quadrado) abalou a matemática grega, dado o peso que tinha a escola pitagórica
(DOMINGUES, 2017).
Além disso, a cultura grega era muito diferente do povo babilônio, por exemplo, que aceitava as 
aproximações de números irracionais surgidos em problemas sem questionamento de ordem teórica.
Os pitagóricos, não encontrando saída matemática satisfatória para o impasse, limitavam-se sempre ao 
uso de grandezas comensuráveis (no caso das razões).
A primeira teoria das proporções, envolvendo grandezas incomensuráveis, é de Eudoxo 
(aproximadamente 408a.C. a 355a.C.).
A solução encontrada para o problema da incomensurabilidade, embora brilhante, tinha como inconveniente o fato de 
ser meramente geométrica, o que contribuiu fortemente para que nos dois milênios seguintes a Geometria se 
tornasse praticamente a única base de rigor da Matemática (DOMINGUES, 2017).
Eudoxo introduziu a noção de grandeza para representar genericamente coisas como segmentos,
ângulos, áreas, volumes e tempo, por exemplo, e a ideia de múltiplo de uma grandeza segundo um 
número natural não nulo.
Assim, se a, b, c e d são grandezas (a e b da mesma espécie; c e d também da mesma espécie), o 
conceito de proporção segundo Eudoxo (e que irá figurar nos Elementos de Euclides como 
definição 5 do livro V) é o seguinte:
Sendo se, e somente se, para quaisquer números naturais não nulos m e n:
(ma = nb⟹ mc = nd) ou (ma > nb⟹ mc > nd) ou (ma < nb⟹ mc < nd).
Eudoxo e os incomensuráveis3
TEXTO­BASE
Eudoxo e os incomensuráveis 
[1]
Página 1 de 3Texto-base - Eudoxo e os incomensuráveis | Fernanda Oliveira Simon: HISTÓRIA ...
21/03/2018https://cursos.univesp.br/courses/1023/pages/texto-base-eudoxo-e-os-incomensuraveis...
Com isso, o conjunto dos números racionais maiores que zero fica dividido em duas classes: 
Todavia, faltou aos gregos destacar o ente definido por essas classes, ou seja, o número real α que é a 
medida de b em relação a a.
 Como vimos anteriormente, essa escola apoiava-se na convicção de que o universo numérico não 
excedia os limites do que hoje conhecemos como conjunto dos números racionais positivos.
Eudoxo, de Cnido
Eudoxo, natural de Cnido, colônia grega localizada na Ásia Menor, é considerado, depois de 
Arquimedes, o maior matemático da Antiguidade.
Muito jovem, deixou sua cidade natal para estudar Geometria com Arquitas, um pitagórico.
Depois, seguiu para Atenas para estudar filosofia na Academia de Platão.
Muito pobre, morou na cidade de Pireu (a duas milhas de Atenas), onde a pensão era mais barata. 
Todos os dias percorria o caminho até a Academia na ida e na volta.
Eudoxo também passou 6 meses no Egito estudando. Quando regressou à Grécia, fundou em Cízico 
uma escola que teve muito êxito.
Com cerca de 40 anos de idade, voltou em visita à Atenas, acompanhado de alguns alunos. Foi 
recepcionado por Platão com um banquete. Retornou por fim a Cnido, para ensinar e participar da vida 
da cidade, terminando seus dias cercado de prestígio.
Outra criação importante de Eudoxo foi o método da exaustão (como é conhecido hoje em dia) para 
determinar áreas e volumes de figuras curvas. Tal método baseia-se em postulado que leva o nome de 
Arquimedes, mas que, segundo este, foi formulado graças a Eudoxo:
Dada duas grandezas não nulas de mesma espécie, sempre há um múltiplo de uma que supera a outra.
É possível ilustrar o Método da Exaustão usando o cálculo da área do círculo. Para tanto, temos de 
inscrever e circunscrever polígonos regulares na figura geométrica em estudo. À medida que os lados 
dos polígonos aumentam, temos uma convergência para a área real do círculo.
dos quocientes m/n tais que ma ≤ nb ea.
dos quocientes m/n para os quais ma > nb.b.
[1]
Página 2 de 3Texto-base - Eudoxo e os incomensuráveis | Fernanda Oliveira Simon: HISTÓRIA ...
21/03/2018https://cursos.univesp.br/courses/1023/pages/texto-base-eudoxo-e-os-incomensuraveis...
Figura 1. Método da Exaustão de Eudoxo.
Com isso, Eudoxo provou, por exemplo, que as áreas de dois círculos estão entre si como os quadrados 
de seus raios e os volumes de duas esferas como os cubos de seus raios.
Resultados como esses, embora notáveis, por não se traduzirem em métodos numéricos, põem em 
relevo a face negativa da matemática de Eudoxo (DOMINGUES, 2017).
REFERÊNCIAS
DOMINGUES, H.H. Eudoxo e os incomensuráveis. O Baricentro da Mente: Matemática, Física, 
Ciências e afins. 2017.
Página 3 de 3Texto-base - Eudoxo e os incomensuráveis | Fernanda Oliveira Simon: HISTÓRIA ...
21/03/2018https://cursos.univesp.br/courses/1023/pages/texto-base-eudoxo-e-os-incomensuraveis...