Equações de 3º e 4º Graus

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Por volta de 1700 a.C., os babilônios já sabiam resolver equações do 2º grau. Todavia, foi apenas no 
final do século XV, com a Renascença, que a equação do 3º grau foi estudada de forma efetiva na 
Europa.
Em 1.494, Frei Luca Pacioli imprimiu (graças ao invento de Guttemberg) o livro Summa de Aritmética e 
Geometria. Ele afirmava não existir uma regra para resolver uma equação do tipo 
x3+px=q" /> que na época se lia cubo e coisas igual a número.
Provavelmente o feito matemático mais extraordinário do século XVI foi a descoberta, por matemáticos 
italianos, da solução algébrica das equações cúbica e quártica. A história dessa descoberta, em sua 
versão mais matizada, rivaliza com qualquer página escrita por Benvenuto Cellini (EVES, 2011, p.302).
De forma sucinta, abaixo apresentamos nomes e fatos...
Personagens e fatos históricos
Scipione del Ferro (1465-1526), professor da Universidade de Bolonha, 
por volta de 1526, foi o primeiro a resolver a equação do 3º grau, mas 
nunca publicou nada. Comunicou a solução a Annibale Della Nave (futuro 
genro) e também a Antonio Maria Fiore (ou Antonio Fior), grande amigo, 
que recebeu a regra sem sua demonstração.
Por volta de 1535, Nicolo Fontana de Brescia, mais 
conhecido como Tartaglia (o tartamudo), devido a 
lesões físicas sofridas quando criança que afetaram
sua fala, anunciou ter descoberto uma solução 
algébrica para a equação cúbica x3+px2=n." /> . 
(EVES, 2011, 302-303).
De posse do novo conhecimento, e achando que Fiore estava blefando, 
em 1.535 Fiore desafiou Nicolo Tartaglia (Nicolo Fontana) em resolver 
problemas a partir de listas trocadas entre competidores (desafios 
científicos parecidos eram muito comuns naquela época).
Tartaglia (1499-1557), eminente professor em Veneza, desconfiou que 
existiria uma solução para equação do 3º grau também de posse de Fiore, 
já que a lista proposta por seu rival (Fiore), só continha problemas desta 
natureza.
Nessa disputa, Tartaglia resolveu a equação do 3º grau e venceu o duelo 
com relativa facilidade, pois os problemas que seu oponente deveria 
resolver estavam além da sua capacidade. Mas Tartaglia manteve sua resolução em segredo.
Em 1.539, Girolamo Cardano (1501-1576), médico e cientista, rico e influente em sua época, gênio 
inescrupuloso, conseguir arrancar de Tartaglia a regra para resolver a equação do 3º grau, sob a forma 
de versos enigmáticos, mas sem demonstração. Foi então que Cardano jurou a Tartaglia que não 
dilvulgaria a regra. Assim, Cardano e seu discípulo, Ludovico Ferrarri (1522-1557), demonstraram a 
regra de Tartaglia para solução de x3+px=q" /> . Eles propuseram a mudança 
x=y−a3x3+ax2+bx+c=0" />, além de resolverem 13 tipos de 
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Equações de 3º e 4º Graus - Fernanda Oliveira Simon
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equações do 3º grau, que hoje em dia são conhecidas como sendo uma só. Pouco tempo depois Ferrari 
resolve a equação do 4º grau.
Devido ao juramento, Cardano não podia publicar a solução de Tartaglia. Todavia, em 1.542, ele e 
Ferrari obtiveram permissão de Della Nave para examinar os manuscritos de Ferro.
Depois disso, em 1.545, Cardano publicou o livro Ars Magna, que continha, entre outros pontos, a 
solução da equação de 3º grau devido a Ferro. Isto provocou uma reação contrária de Tartaglia, que, em 
1.546, publicou o livro Quesiti et Inventioni Diverse, no qual ataca duramente Cardano pela quebra do 
juramento.
No período compreendido entre fevereiro de 1.547 e julho de 1.558, houve um duelo com trocas de 6 
panfletos de Ferrari e 6 panfletos de Tartaglia, mais um debate final. Esse duelo culminou com a perda 
de emprego por parte de Tartaglia. Por isso, Tartaglia, residente em Brescia, volta a Veneza, onde 
morreria no esquecimento nove anos mais tarde.
Pouco depois da resolução da equação cúbica, encontrou-se também a solução da equação quártica 
geral. Em 1540, o matemático italiano Zuanne de Tonini da Coi propôs um problema a Cardano que 
recaía numa equação quártica. Embora não conseguisse resolver essa equação, seu discípulo Ferrari 
teve êxito nessa tarefa, e Cardano teve o prazer de publicar também essa solução em sua Ars Magna 
(EVES, 2011, p.303).
Girolamo Cardano é um 
dos personagens mais 
extraordinários da história 
da matemática. Nasceu 
em Pávia, em 1501, filho 
ilegítimo de um jurista, 
vindo sua personalidade 
a revelar-se 
extremamente 
contraditória e 
arrebatada. Começou sua 
tumultuada vida profissional como médico, mas, 
paralelamente, dedicava-se à matemática, 
estudando, ensinando e escrevendo. Depois de 
uma viagem que fez, certa feita, à Escócia, veio a 
ocupar, sucessivamente, cadeiras importantes nas 
Universidades de Pávia e Bolonha. Esteve preso 
por algum tempo, acusado de heresia por ter feito e 
publicado um horóscopo de Jesus Cristo. 
Renunciando a sua cadeira em Bolonha, mudou-se 
para Roma, onde se notabilizou como astrólogo, 
inclusive do Papa, pelo que recebia uma pensão. 
Faleceu em Roma no ano de 1576 e segundo uma 
versão, pôs fim à própria vida para não contrariar 
previsão astrológica feita por ele mesmo sobre a 
data de sua morte. Contam-se muitas histórias 
sobre sua perversidade; como a de que, num 
acesso de raiva, teria cortado as orelhas de seu 
Tartaglia teve uma 
infância difícil. Nasceu 
em Brescia no ano de 
1499, filho de pais 
muito pobres, e 
presenciou a tomada de 
sua cidade natal pelos 
franceses em 1512. 
Durante o período de 
violências da invasão 
francesa, ele e seu pai 
(que era mensageiro postal da cidade), como 
muitas outras pessoas, refugiaram-se na catedral 
local. Mas os soldados franceses não respeitaram 
o local e massacraram os que lá estavam. O pai de 
Tartaglia foi morto e ele, com o crânio fraturado e 
com um corte de sabre profundo que lhe atingiu o 
palato, foi deixado como morto. Quando sua mãe 
chegou à catedral, à procura dos parentes, 
encontrou o filho ainda com vida e diligenciou para 
transportá-lo seguro de lá. Carecendo de recursos 
para assistência médica, ela lembrou que um cão 
machucado sempre lambe suas próprias feridas; 
de fato, mais tarde Tartaglia atribuiu sua 
recuperação a esse tratamento. O ferimento no 
palato deixou-o com um defeito na fala, razão pela 
qual ganhou a alcunha de “o gago”. Sua mãe só 
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filho mais jovem. Algumas dessas histórias podem 
resultar de exageros de seus inimigos; pode ser 
mesmo que ele tenha sido vítima de muita 
difamação. Pelo menos é isso que sustenta em sua 
autobiografia. Um dos homens mais talentosos e 
versáteis de seu tempo, Cardano deixou uma obra 
vasta, abrangendo aritmética, astronomia, física, 
medicina e outros assuntos. Mas dentre os seus 
muitos livros o mais importante, sem dúvida, é a 
Ars Magna, o primeiro grande tratado em latim 
dedicado exclusivamente à álgebra.
EVES, 2011, p.306-307
conseguiu dinheiro para mandá-lo à escola por 15 
dias e assim Tartaglia teve de aprender a ler e a 
escrever sozinho, usando para isso, inclusive, um 
caderno que roubara. Conta-se que, não dispondo 
de recursos para comprar papel, usava as lápides 
do cemitério como quadro-negro. Mais tarde 
passou a ganhar a vida ensinando ciências e 
matemática em várias cidades da Itália. Faleceu 
em Veneza em 1557.
EVES, 2011, p.307
REFERÊNCIA
EVES, H. Introdução à História da Matemática. Trad. DOMINGUES, H.H. 5a. edição, Campinas. Ed. UNICAMP. 
2011.
[1] Artista da Renascença, nascido em 1500 e falecido em 1571, cuja foi marcada pela aventura. Ainda jovem, 
envolveu-senuma discórdia e foi banido para a cidade de Siena. De volta à sua cidade natal, Florença, foi condenado 
à morte e fugiu para Roma. Ali, protegido pelo papa Clemente 7º, realizou muitos trabalhos artísticos.
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