Os números complexos

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Rafael Bombelli
Rafael Bombelli (1526-1572), matemático, natural de Bologna, foi o mais 
importante algebrista da história da matemática da Itália e foi pi oneiro no 
estudo sobre os números imaginários. A principal publicação de Bombelli 
sobre álgebra foi a obra intitulada "Algebra".
Não recebeu educação universitária, mas fora ensinado por um engenheiro-
arquiteto Pier Francesco Clementi. Bombelli encontrou um patrono, 
Alessandro Rufini, um nobre romano, que viria a ser o bispo de Melfi.
Neste período interessou-se por matemática e envolveu-se no grande 
desafio da época que era a solução das equações cúbicas e quárticas. Essa 
disputa, envolveu del Ferro, Fior, Tartaglia, Cardano e Ferrari, conforme foi 
visto na aula anterior.
Após uma visita ao professor da Universidade de Roma, Antonio Maria Pazzi, este lhe mostrou um 
manuscrito de Diofanto (Aritmética), deixando-o encantado.
Os 2 resolveram fazer uma tradução. Desafortunadamente morreu, provavelmente em Roma, antes de 
completar os livros IV e V. Mesmo assim sua criação mudou a história da álgebra.
Em 1.923 o pesquisador Bortolotti encontrou seus manuscritos numa biblioteca de Bologna e republicou 
seus cinco livros (1.929). Esta foi uma contribuição fundamental para o estudo dos números complexos.
A utilização da fórmula de Cardano para solução de equações de 3º grau em problemas práticos logo 
começou a apresentar resultados que desafiavam o entendimento dos matemáticos da época.
Em 1572, uns poucos anos antes de Cardano morrer, Rafael Bombelli publicou uma álgebra que se 
constituiu numa contribuição notável à resolução das equações cúbicas. Os textos de teoria das 
equações mostram que, se (n/2)2 + (m/3)3 é negativa, então a equação cúbica x3 + mx = n tem três 
raízes reais. Mas nesse caso, pela fórmula de Cardano-Tartaglia, essas raízes se expressam como 
diferença de duas raízes cúbicas de números complexos imaginários. Essa aparente anomalia, que 
tantos transtornos causou aos antigos algebristas, caracteriza o chamado caso irredutível das equações 
cúbicas. Bombelli chamou a atenção para o fato de que só aparentemente as raízes são imaginárias no 
caso irredutível. Bombelli colaborou também para o aprimoramento da notação algébrica corrente 
(EVES, 2011, p.308).
Vamos pegar como exemplo a equação: 
Diante de simples verificação constata-se que x = 4 é uma de suas raízes (as outras duas menos 
evidentes, são: e .
Entretanto se tentarmos resolvê-la pela fórmula de Cardano, teremos:
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 e 
Chegamos não apenas na extração de raízes quadradas de números negativos, mas também na 
extração de raízes cúbicas de números de natureza desconhecida.
Esta é uma questão que não poderia ser ignorada.
Quando nas equações de 2º grau podiam ser obtidas raízes de números negativos, era simples justificar 
que se tratava da inexistência de soluções.
Porém agora, encontrava-se diante de equações com soluções evidentes, mas cuja determinação 
passava pela extração de raízes quadradas de números negativos.
O que ocorria com a equação pode ser generalizado.
REFERÊNCIA
EVES, H. Introdução à História da Matemática. Trad. DOMINGUES, H.H. 5a. edição, Campinas. Ed. UNICAMP. 
2011.
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