Circuitos Elétricos II - Poli - Lista 2 - Funções de Rede

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PSI3213 – CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
Lista 2: Funções de Rede 
 
1 – Um problema de valor inicial é dado pela equação diferencial 
 
 tuyyy  52 
, 
 
com as condições iniciais y( 0- ) = 2 e 
y
( 0- ) = 0. 
 Determine y(t), para os t > 0, sabendo que: 
a) u(t) = 5(t) 
b) u(t) = 5H(t) 
 Em ambos os casos, calcule y(0) e compare com as condições iniciais dadas. 
 
2 – No circuito da Figura 1, sabe-se que 
 
 i(0-) = 1 A e es(t) = 10 [ H(t) - H(t-1) ] volts 
 
a) Determine a transformada de Laplace de v(t). 
b) Determine v(t). 
c) Construa os gráficos de v(t) e de i(t) sem usar os resultados do item (b), ou 
seja, resolva o circuito diretamente no tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 – Dado o circuito da Figura 2: 
 
a) Determine as funções de rede G1(s) = I(s) / Es(s) e G2(s) = V(s) / Es(s). Use 
o teorema de Thévenin para simplificar o circuito e indique as unidades dos 
resultados. 
b) Verifique a relação entre a constante de tempo do circuito e os polos de G1(s) e 
G2(s). 
c) Suponha que es(t) = 2H(t) V e v(0-) = 5 V. Determine v(t) para t  0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 
es 
2 i 
v 2H 
Figura 2 
5k 
10k 0,1F 
i 
v es(t) 
 
 
2 
 
4 – Um certo circuito tem a função de rede 
 
 
 
  65ss
1s
sI
sV
sG
2
s 


 , 
 
em unidades do sistema AF. As mesmas unidades serão usadas abaixo. 
 
a) Determine as constantes de tempo do circuito. 
b) Determine uma descrição entrada-saída do circuito (equação diferencial no 
domínio do tempo). 
c) Calcule a resposta do sistema, para os t  0, is(t) = 5H(t) e condições iniciais 
quiescentes. 
d) Repita o cálculo anterior, mas com as condições iniciais v(0-) = 1 e 
v
(0-) = 2. 
 
5 – Aplicando a um certo circuito, linear e fixo, de primeira ordem, uma excitação 
constituída pela soma de um degrau de amplitude 5 e de uma exponencial 
decrescente de constante de tempo 0,5, a partir de t = 0 e com condições iniciais 
nulas, obtém-se a resposta 
 
     2t 4ty t 5e 7,5e 2,5 H t   
. 
 
a) Determine a função de rede 
     G s Y s U s
 deste circuito. 
b) Determine a equação diferencial que relaciona y(t) e u(t). 
 
6 – Dado o sistema de equações diferenciais, 
 
 





)()()12()(5
)()(5)()1(
221
121
tuteDte
tuteteD 
 
a) Determine sua equação característica. 
b) Calcule 
 
 
 
1
1
1
E s
G s
U s

, 
 
 
 
2
2
2
E s
G s
U s

e determine seus polos e zeros. 
c) Calcule e2(t), supondo u1(t) = 0 , u2(t) = (t) e condições iniciais nulas. 
 
 
7 – Um certo circuito linear e fixo tem uma função de rede 
 
 
12s8s
5s10
sG
2 


 
 
Sabendo que este circuito alcança o regime permanente, determine a resposta do 
circuito, em regime, a uma excitação u(t) = 10 sen( 5t + 30 ). 
 
 
 
 
 
3 
 
8 – Dado o circuito da Figura 3 (unidades AF), 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3 
 
 
Admita que ele alcança o regime permanente senoidal e que is(t) = 5 cos 0,25t. 
Determine os fasores de e1(t) e e2(t), em RPS. 
 
 
9 – A resposta de um circuito linear e invariante no tempo, com condições iniciais nulas, 
para uma excitação u(t) = (t), é dada por1: 
 
y(t) = e-3t ( cos5t - 0,6sen5t) H(t). 
 
a) Determine a correspondente função de rede desse circuito. 
b) Sabendo que essa resposta é uma corrente causada por uma tensão aplicada, você 
pode determinar um circuito que admita a resposta ao impulso unitário acima? 
 
 
Exercício com o Simulador Numérico 
 
Considere o Exercício 9. Para o circuito desse exercício (Figura 4), adote os valores dos 
parâmetros apresentados no item (b) e gm = 24. Considere todas as grandezas no sistema 
AF. Nessa situação, o que é possível dizer quanto à estabilidade do circuito? 
Considerando a excitação como is(t) = 10 cos 5000t, simule o comportamento de e2(t) 
para t de 0 a 0,2 ms. 
 
 
 Instruções (para o Multisim 14.0): 
(a) A simulação deve ser uma análise de transitório, que calcula o 
comportamento de tensões e correntes do circuito ao longo do tempo. 
Configure a simulação em Simulate → Analyses and simulation. Em Active 
Analysis, selecione Transient. 
 Na aba Analysis parameters, escolha Set to zero em Initial 
Conditions. Adote os valores de TSTART e TSTOP pedidos. 
 Na aba Output, selecione a tensão correspondente a e2(t) no 
schematic. Prossiga clicando em ►Run. 
 
1 Observação: y(t) é também conhecida como resposta ao impulso unitário ou resposta impulsiva. 
iL 
R2 = 2 is R1 = 1 
2 
2 
vC 
e1 e2 
 
 
4 
 
 
(b) A janela do Grapher View deverá mostrar o gráfico de e2(t) no intervalo de 
tempo pedido. Com o valor de gm escolhido, esse circuito atinge o RPS? 
 
 
1 
 
PSI3213 – CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
Solução da Lista 2: Funções de Rede 
 
1 – Transformando a equação diferencial, com as condições iniciais dadas, resulta 
 
  )()(5)0(2)(2)0(*)0()(
2 sUsYysYysysYs 
 
52
42)(
)(
2 


ss
ssU
sY
 
 
a) u(t) = 5(t)  U(s) = 5 
 







4)1(
)5,4(2
52
92
)(
22 s
s
ss
s
sY
 
     ty t 2cos2t 3,5 sen 2t e H t 
 
 y(0+) = 2 
 
b) u(t) = 5.H(t)  U(s) = 5/s 
 
 
4)1(
)2(2
5
)(
2 


s
s
ssY
 
 
 – Equação característica: 
 






21
0
052
2
123
js
s
sss
 
 
 y(t) = [ 1 + 1,12 e – t cos ( 2 t + 26,57 ) ] H(t) 
 
 y(0+) = 2 
 
2 – a) 
)1(2
)(2
)(
1)0(
22
0
0











s
sEi
sI
ii
ei
dt
di
ss
 
 
 
1
2)(
)(
22)0(
2
0
0 







 s
issE
sV
iv
iev
ss
, com Es(s) = 
)1(
10 se
s

 
 
b) v(t) = 8e-t . H(t) - 10e- ( t – 1 ) H( t –1 ) 
 
 
2 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 – Por Thévenin ( unidades AF ): 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 








ms
mS
s
s
sE
sI
sG
s
1
,
3
2,0
)(
)(
)(1
 
 
 








ms
ad
ssE
sV
sG
s
1
.,
3
2
)(
)(
)(2
 
 
b) 
  10
3
0 1 0 333. , ,
 ( ms ) 
 p1 = - 3 ( 1/ms ) 
  
1
p1
 ( ms ) 
 
c) v(t) = 4/3 + ( 11/3 ) . e-3t , t  0 ( V, ms ) 
 
 
4 – a) Raízes do polinômio característico: s2 + 5s + 6 = 0 
 
FCP
s
s





2
3
2
1
 
 
Portanto as constantes de tempo do circuito são 1/3 e 1/2 ( em ms ). 
 
b) Pela função de rede: 
 
 s2 V(s) + 5s V(s) + 6 V(s) = sIs(s) + Is(s) 
v(t) 
8 
2 
-2 
0 
-7,06 
2,94 
2 
t t 2 1 0 
1 
5 5 
0 
3,53 
i(t) 
 
2es/3 
i 
10/3 
c 
0,1 0,1 es 
i 
10 
5 
v v 
 
 
3Equação diferencial correspondente: 
 
 
d v
dt
5
d v
d t
6v
d i s
dt
i
2
2 s
   
 
 
c) 
)(
65
1
)(
2
sI
ss
s
sV s



  
sss
s
sV
5
65
1
)(
2




 
 
23
)(




s
C
s
B
s
A
sV
, com A = 5/6, B = -10/3 e C = 2,5 
 
 
)(5,2
3
10
6
5
)( 2 tHetv t 





 
 resposta forçada ! 
 
 
d) Da equação diferencial do item (b), e supondo is( 0- ) = 0, tem-se: 
 
 s2 V(s) - s v( 0- ) - v ( 0- ) + 5s V(s) - 5v( 0- ) + 6 V(s) = sIs(s) + Is(s) 
 
 V(s) ( s2 + 5s + 6 ) = ( s + 1 ) Is(s) + ( s + 7 ) 
 
 







65
7
)65(
)1(5
)(
22 ss
s
sss
s
sV
 
 
2323
)(








s
E
s
D
s
C
s
B
s
A
sV
 
 
 A, B, C já determinados no item (c). 
 D = - 4, E = 5 
 
 v(t) = 
5
6
10
3
e 2,5e
forçada
4e 5e
livre
3t 2t 3t 2t      
     
 , t > 0 
 
 ou 

)(5,7
3
22
6
5
)( 23 tHeetv
atransitóri
tt
permanente










 
  
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
5 – a) A transformada da resposta é 
 
   
  4s2ss
1s
20
4s
7,5
2s
5
s
2,5
sY







 
 
Com os dados do problema, a transformada da entrada é 
 
)2(
10)5(
2
5
)(





ss
sK
s
K
s
sU
 
 
onde K é uma constante real a ser determinada. 
 
Em consequência, a função de rede será 
 
)
5
10
)(4(
1
5
20
)10)5)((4(
)1(20
)(
)(
)(
K
ss
s
KsKs
s
sU
sY
sG








 
 
Como a função de rede só deve ter polo em s = - 4 ( já que o polo em –2 que 
aparece na resposta Y(s) é devido à excitação exponencial ), s + 10/(5 + K) 
deve cancelar com (s + 1): 
s 1 s
10
5 K
  

  5 + K = 10  K = 5 , 
de modo que 
4
2
)(


s
sG
 
b) G(s) = Y(s) / U(s)  
)(24 tuy
dt
dy

 
 
6 – a) equação característica: 
 
 s 1 5
5 2s 1
 

 = 2s2 + 3s + 26  s2 + 1,5s + 13 = 0  
 
 s1,2 = - 0,75  j3,4551 
 
b) 




















)(
)(
)(
)(
125
51
2
1
2
1
sU
sU
sE
sE
s
s  
 
 
 





















)(
)(
15
512
2632
1
)(
)(
2
1
2
2
1
sU
sU
s
s
sssE
sE 
 
 
 
5 
 
 – Com U2( s ) = 0, 
)(
2632
12
)( 121 sUss
s
sE



  
 
  
 
 1 1 2
1
polos: 0,75 j3,5267E s s 0,5
G s
zeros: 0,5U s s 1,5s 13
 
  
  
 
 
– Com U1( s ) = 0 : 
 
135,1
1
2
1
2632
1
)(
)(
)(
222
2
2






ss
s
ss
s
sG
sU
sE
 
 
polos: 0,75 j3,5267
zero: 1; fator de escala: 0,5
 


 
 
c) 
135,1
1
2
1
1)()(
222 


ss
s
sGsE
  
 
  e2(t) = 0,5e-0,75t cos( 3,5267t - 4,05 ), t > 0. 
 
7 – De s2 + 8s + 12 = 0 determinamos os polos da função de rede: 
 
s1 = -2; s2 = -6. 
 
Como ambos têm parte real negativa, o circuito atinge o regime permanente, de fato. 
 
Como: 
 
u(t) = 10 cos(5t - 60)  U^ = 10 -60 
 
  = 5  
 
40j13
50j5
1240j25
50j5
5jG






 = 1,1947 -23,71 
 
 Y^ = 1,1947 -23,71 . 10 -60 = 11,947 -83,71 
 
 
A resposta é y(t) = 11,947 cos(5t - 83,71). 
 
 
8 – Equação característica: 
 
 det 
0
2
1
2
2
1
2
221











s
ss
ss  
s 0,5s
1
6
02   
 
 
 – polos: s1,2 = - 0,25  j 0,3228 
 
 
6 
 
 
 Como os polos têm parte real negativa, o circuito admite RPS, de fato. 
 
b) 
Is
 = 5 0 ,  = 0,25 
 
 

























0
5
ˆ
ˆ
5,0
1
5,05,05,0
5,05,01
2
1
E
E
j
jj
jj  
 
 

























º81,1292804,1
º75,310491,4
984,082,0
131,2443,3
ˆ
ˆ
2
1
j
j
E
E  
 
 e1(t) = 4,0491 cos( 0,25t - 31,75 ) ( V ) 
 e2(t) = 1,2804 cos( 0,25t + 129,81 ) ( V ) 
 
9 – a) 
 
2
Y(s) s
H s =
U(s) s 6s 34

 
 
 
 b) 
)(
)(
)(
sV
sI
sH 
  circuito R, L, C série, por exemplo com R = 6, L = 1, C 
= 1/34, num sistema de unidades coerente.