P2 2017(1) A2(a)pdf - ÁLGEBRA LINEAR

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UFRGS - DMPA 
P2 MAT 01355 ÁLGEBRA LINEAR 1- TURMA: A2 18/07/2017 (a) 
NOME: __________________________________________________ No cartão: 
Obs: Mantenha o caderno de questões grampeado 
 Não é permitido calculadoras ou telefones celulares 
 


A B C D E
1
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3
4
5
6
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20
1. Considere � com o PI definido por � . Qual o valor de � se 
� ?



( A ) 1 ( B ) 2 ( C ) 5 ( D ) -1 ( E ) -2



2. � é uma matriz real, diga se é verdadeiro ou falso: 



( ) � é autovalor de � sse a equação � possui solução. 

( ) autovetores de � provenientes de autovalores distintos são ortogonais. 

( ) Se a matriz � é simétrica então é diagonalizavel.



( A ) FVV ( B ) VVV ( C ) FFV ( D ) VFV ( E ) VVF

3. Sabendo que � , � são reais e � o valor de � : 



( A ) -ab ( B ) b ( C ) a ( D ) -a ( E ) ab



4. Considere as matrizes � e � o valor de � vale: 

( A ) 1 ( B ) 2 ( C ) 0 ( D ) -1 ( E ) -2

5. Considere a matriz � , podemos afirmar que: 

( I ) A matriz possui 3 autovalores distintos

( II ) A matriz � é diagonalizavel

( III ) A matriz � possui 3 autovalores reais não nulos



( A ) FVV ( B ) VVV ( C ) FFV ( D ) VFV ( E ) VVF
6. Assinale a alternativa que possui os autovalores da matriz � : 

( A ) 0,1,2,3 ( B ) -1,1,4,1 ( C ) 1,3,-1,4 ( D ) 1,2,3 8 ( E ) 1,3,5,-3



7. Seja � são verdadeiras as afirmações:

( I ) � possui autovalores reais

( II ) Se as colunas da � for matriz ortogonal, então � 

( III ) � .



( A ) I e III ( B ) II e III ( C ) I e II ( D ) I ( E ) II
ℝ2 ⟨x, y⟩ = 2x1y1 + x2y2
4
∑
n=1
⟨vn, vn+1⟩
v1 = (11), v2 = (01), v3 = (02), v4 = (−11 ), v5 = (30)
An×n
λ A (A − λ I )x = 0
A
A
a b Det
1 2 a
b 1 1
1 a + b 2
= 1 Det
1 2 a
b ba + b2 2b
ab a a
A =
1 0 1
0 1 5
3 0 1
B = (
2 2 2
0 2 2
1 1 2) Det (A
−1BT )
A =
9 0 0
3 7 −1
3 −2 8
A
A
A =
1 0 0 0
−1 2 3 0
4 5 0 0
1 1 −1 3
A3×4
AAT
A ATA = I4×4
𝒞ol(A) = 𝒞ol(AT )
8. Sejam � . Qual a projeção ortogonal de � em � 

 ( A ) � ( B ) � ( C ) � ( D ) � ( E ) � 



9. Seja � uma matriz simétrica, é correto afirmar que:

( I ) � é uma matriz inversível.

( II )Os autovalores de � são reais e distintos.

( III ) Existem matrizes � e � de forma que � 



( A ) I, II e III ( B ) I e II ( C ) III ( D ) II e III ( E ) I



10. Seja � uma transformação linear definida por � . Se � é 
a matriz canônica desta transformação o seu polinômios característico é dado por:



( A ) � ( B ) � ( C ) � 

( D ) � ( E ) � 



11. Seja � uma matriz � de forma que a soma dos elementos de cada linha ou coluna seja 
uma constante � quais dos vetores abaixo são necessariamente autovetores de � ?



( I ) � ( II ) � ( III ) � 



( A ) Apenas I ( B ) Apenas II ( C ) Apenas III ( D ) I e III ( E ) todos



12. Diga se as afirmações são verdadeiras ou falsas ( � )

( ) Se � é autovalor de � então � também é autovalor de � 

( ) Se � é inversível, então � e � possuem os mesmos autovetores

( ) Existe uma matriz real � que não possuem autovetores em � 

 

( A ) FVV ( B ) VVV ( C ) FFV ( D ) VFV ( E ) VVF 



13. Um vetor unitário perpendicular a � e � é:



( A )� ( B ) � ( C ) � ( D ) � ( E ) � 



v1 = (
1
1
0), v2 = (
−2
−2
2 ) (
1
1
1) W = Span{v1, v2}
1/5
3/5
4/5
7/9
11/9
1/9
1/9
3/9
4/9 (
1
1
1)
3/5
2/5
1/5
A
A
A
D P A = PDPT
T : ℝ2 → ℝ2 T (x1, x2) = (2x1 + x2,3x2) A
p(λ) = λ2 + 5λ − 6 p(λ) = 2λ2 + λ + 3 p(λ) = λ2 − 4λ + 6
p(λ) = λ2 − 5λ + 6 p(λ) = 2λ2 − λ + 3
A 2 × 2
k ≠ 0 A
(10) (01) (11)
An×n
λ A λ A2
A A A−1
2 × 2 ℝ2
(
2
1
1) (
2
0
2)
1
3
− 1
3
1
3
1
3
− 13
− 13
1
3
− 1
3
− 1
3
1
3
1
3
1
3
(
3
−3
−3)


Para as questões 14, 15 e 16 considere o Espaço Linear � (polinômios de grau menor ou 
igual a 2), com o PI definido por � e 
considere o seguinte subespaço � .

14. A dimensão de � é 2. Encontre uma base ortogonal para � é: 

( A ) � ( B ) � ( C ) � ( D ) � ( E ) NRA



15. Qual a projeção de � sobre � ?



( A ) � ( B ) � ( C ) � ( D ) � ( E ) NRA



16. Qual a distância de � até � ?



( A ) 2,5 ( B ) 2 ( C ) 1,3 ( D ) 1 ( E ) NRA



17. Considere a matriz � onde � são reais não nulos. Podemos afirmar:

( A ) � possui 3 autovalores reais não nulos 

( B ) � possui 2 autovalores complexos e um real 

( C ) � possui dois autovalores não nulos 

( D ) � possui apenas um autovalor não nulo 

( E ) � não possui autovetores reais



18. Seja a matriz � . Então � é:



( A ) Diagonalizável ( B ) Simétrica ( C ) Não Diagonalizável ( D ) Projeção ( E ) NRA



19. Responda se é Verdadeiro ou Falso:

( ) Um conjunto Ortonormal é um conjunto LI

( ) Se as colunas de uma matriz � são ortonormais então a TL � preserva a norma 

( ) Se � então � são ortogonais



( A ) FVV ( B ) VVV ( C ) FFV ( D ) VFV ( E ) VVF 



20. Se uma matriz é diagonalizável por matriz ortogonal, podemos afirmar que ela:

( A ) possui 3 autovalores distintos. ( B ) é inversível ( C ) é matriz Ortogonal

( D ) É matriz simétrica ( E ) NRA

𝒫2
⟨p(t), q(t)⟩ = p(−1)q(−1) + p(0)q(0) + p(1)q(1)
W = {p(t) ∈ 𝒫2 tal que p(0) = 0}
W W
{1,t} {t, t2} {t, t2 + 1} {1 + t, t2}
p(t) = t + 1 W
t2 + t 2t2 + 2 t2 + 3t t2 + 4
p(t) = t + 1 W
A =
a2 ab ac
ab b2 bc
ac bc c2
a, b e c
A
A
A
A
A
M = (
2 0 0
1 2 0
0 0 1) M
Am×n x → Ax
dist (u, v) = dist (u, − v) u e v