2 Aula 14 Teoremas de Pappus e Guldinus

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ENG 1156
MECÂNICA
Aula 14
Teoremas de Pappus e 
Guldinus
Prof. Sérgio Filipe Veloso Marques
2017/2
Escola de Engenharia
Departamento de Engenharia Civil
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Teoremas de Pappus e Guldinus
Desenvolvidos por Pappus de Alexandria (III 
a.C.) e reintroduzidos pelo suíço Guldin ou 
Guldinus em 1577-1643.
Os teoremas são utilizados para 
determinação de áreas ou volumes de 
sólidos de revolução.
Sólidos de revolução
a) Superfícies de revolução: geradas pela rotação de uma 
curva (linha) em torno de um eixo fixo.
b) Corpos de revolução: gerados pela rotação de uma área
em torno de um eixo fixo
Generalizando:
Linha gera área - TEOREMA I (Área de Superfície)
Área gera volume - TEOREMA II (Volume)
Teoremas de Pappus e Guldinus
Teorema I (Área de Superfície)
Quando um elemento infinitesimal dL gira por uma 
distância percorrida 2r em torno de um eixo, este 
elemento gera um anel com área de superfície 
dA=2r.dL
2xG = distância percorrida pelo centróide de L
xG
 




LxxdLrdL
masrdLA
rdLdA
G .
,2
2


LxA G .2
Teorema II (Volume)
O volume de um corpo de revolução é igual à area
geratriz multiplicada pela distância percorrida pelo 
centróide da área, durante a geração do corpo
2xG = distância percorrida pelo centróide de A
 




AxxdArdA
masrdAV
rdAdV
G .
,2
2


AxV G .2
xG
Mostre que a área da superfície de uma esfera 
é A = 4r2 e o seu volume é V = 4/3r3 através 
dos teoremas de Pappus-Guldin.
Exemplo
Determine a área da superfície do anel. A 
seção transversal é circular, como mostra a 
figura.
Exercício 1 
O aro de um volante tem uma seção transversal 
A-A mostrada na figura. Determine o volume do 
material necessário para a sua construção
Exercício 2 
O tanque de processamento é utilizado para 
armazenar líquidos durante a manufatura. 
Estime o volume e a área da superfície do 
tanque. Ele tem a parte superior plana e as 
placas das quais é feito possuem espessura 
desprezível.
Exercício 3 
Exercício 4 
Qual a altura (h) de café que deve ser colocada 
na chávena de modo a que este entre em 
contato com metade da área interna da 
chávena. Despreze a espessura da chávena.