2 Aula 15 Momentos de Inércia de áreas compostas

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ENG 1156
MECÂNICA
Aula 15
Momentos de Inércia de 
áreas
Prof. Sérgio Filipe Veloso Marques
2017/2
Escola de Engenharia
Departamento de Engenharia Civil
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Inércia e Momento de Inércia
Inércia: é a dificuldade que se 
têm em fazer um corpo girar em 
torno de um eixo
Momento de Inércia (I): mede o 
grau em que um objeto resiste a 
aceleração de um corpo; ou
O momento de inércia de um 
partícula é dado por:
O momento de inércia de um 
conjunto de partículas é dado por:
𝐈 =෍
𝟏
𝒏
(𝒎 . 𝒓𝟐)𝐈 = 𝒎 . 𝒓
𝟐
Indica como a massa de um corpo 
em rotação está distribuída em 
torno do eixo de rotação
Momento Estático ou momento de 1a
ordem
Na aula 12 definimos o momento de primeira 
ordem de uma área em relação a um eixo
Relembrando:
Sx: momento estático da área em relação a x
Sy: momento estático da área em relação a y




AxxdAS
AyydAS
Gy
Gx
.
.
Obs: se o centróide está localizado em um eixo 
coordenado, então o S em relação a este eixo é nulo.
Momento de inércia de áreas ou 
momento de 2ª ordem.
Relaciona tensão normal (=F/área) com o 
momento externo aplicado, M.
» A tensão na viga varia linearmente com a distância do centróide (z):  = k.z
» A força atuante no elemento dA é igual da dF = .dA = k.z.dA
» Então, o momento da força F em relação a y é igual a dM = dF.z = k.z.dA.z
 dAzkM
2
Sempre que uma carga distribuída 
atua perpendicularmente a uma 
área e sua intensidade varia 
linearmente, o cálculo do 
momento em relação a um eixo 
envolverá uma quantidade 
chamada momento de inércia de 
área
Momento de Inércia de áreas (I)
Considerando a área A:




dAxI
dAyI
y
x
2
2
dAxdI
dAydI
y
x
2
2


Momento polar de Inércia (eixo z)
dArdI 20 
yx IIdArI  
2
0
     yx IIdAydAxdAyxdArI
22222
0
Como r2=x2+y2,
Unidade
: [L]4, 
sempre 
positivo.
Teorema dos Eixos Paralelos
Teorema de STEINER
Quando o momento de inércia de uma área 
em relação a um eixo que passa pelo 
centróide da área é conhecido, pode-se 
empregar o Teorema dos eixos paralelos 
para determinar o momento de inércia da 
área em relação a um outro eixo, paralelo 
ao eixo central.
   dAddAyddAyI yyx
22 2Teorema dos eixos paralelos para uma áreax’, y’ – eixos centrais (centroide da área)   dAdyI yx
2)(
Ix’ ou momento em 
relação ao eixo 
central 
Sx’=yG.dA
=0, pois x’ é eixo 
central
Área 
A
Constante
2
0
2
2
.
.
.
dAII
dAII
dAII
c
xyy
yxx





dx e dy são as 
distâncias do eixo 
considerado até o 
eixo central
Raio de Giração de uma área
O raio de giração tem unidades de 
comprimento e é uma quantidade 
frequentemente utilizada em projetos de 
colunas em mecânica estrutural. 
Desde que as áreas e momentos de inércia 
sejam conhecidos, os raios de giração podem 
ser determinados através das fórmulas: 
A
I
k xx 
A
I
k
y
y  A
I
k 00 
Cálculo do momento de inércia 
por integração
O cálculo por integração é útil para obter os 
momentos de inércia de figuras mais comuns, as 
quais já estão tabeladas
Ex: Momento de inércia de um retângulo (Ix’, Ix)
y
Usando o Teorema de Steiner:
2
'
.yAII
xx
𝐼𝑥′ = න𝑦′2𝑑𝐴 = න−ℎ/2
ℎ/2
𝑦′
2
𝑏. 𝑑𝑦′ = 𝑏න
−ℎ/2
ℎ/2
𝑦′
2
𝑑𝑦 = 𝑏
𝑦′3
3
−ℎ/2
ℎ/2
=
𝑏ℎ3
12 3412
212
333
23
bhbhbh
I
h
bh
bh
I
x
x






Momento de Inércia de um 
Retângulo
y
x
100 mm
4
0
 m
m
𝐼 =
𝑏ℎ3
12
Cálculo do momento de inércia 
por integração
O cálculo por integração é útil para obter os 
momentos de inércia de figuras mais comuns, as 
quais já estão tabeladas
Momento de Inércia de áreas 
compostas
O processo consiste em decompor as áreas 
em figuras simples cuja solução seja 
conhecida, tabelada ou de fácil 
determinação
O momento de inércia de toda a área em 
relação a um eixo de referência é igual ao 
somatório dos resultados de suas partes 
constituintes
Exercício 1 
Determine a o momento de inércia da ára da 
figura em relação ao eixo x
Determine os momentos de inércia para a área 
da seção transversal da figura em relação aos 
eixos centroides x e y
Exercício 2