Sistemas Digitais - Mapas de Karnaugh

Sistemas Digitais I
Introduc¸a˜o
Myle`ne Christine Queiroz de Farias
Departamento de Engenharia Ele´trica
Universidade de Bras´ılia (UnB)
Bras´ılia, DF 70910-900
mylene@unb.br
March 22, 2018
Aula 04: Mapas de Karnaugh
Suma´rio
Mapas de Karnaugh;
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Mapas de Karnaugh
Mapas de Karnaugh
Forma de Tabela verdade ou uma extensa˜o do diagrama de Venn;
Cada ‘quadrado’ representa um mintermo da expressa˜o booleana;
Permite encontrar as redundancias das varia´veis de entrada da
expressa˜o, ajudando a reduzir a expressa˜o de sa´ıda
Cada mapa mostra os termos-produto (mintermos) que podem ser
formados por n varia´veis, cada um em um quadrado distinto.
3 varia´veis: 8 mintermos
4 varia´veis: 16 mintermos
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Mapas de Karnaugh
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Mapas de Karnaugh
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Mapas de Karnaugh
Um mapa de n varia´veis tera´ 2n quadrados, cada um representado um
mintermo;
O mintermo em cada quadrado ou elemento do mapa e´ o produto das
varia´veis listadas na linha e na coluna do elemento;
O mapa e´ preenchido colocando-se 1’s nos quadrados cujos
mintermos correspondentes levam a resposta a zero.
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Mapas de Karnaugh
O uso do mapa de Karnaugh e´ regido pela disposic¸a˜o de seus
elementos (quadrados);
Cada elemento difere do elemento adjacente por ter exatamente uma
varia´vel complementar em seu mintermo;
Cada expressa˜o deve ser escrita em sua forma canonica e cada termo
da expresso deve conter cada uma das varia´veis de entrada.
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Mapas de Karnaugh
Exemplo:
Z = A · B · C + A · B · C + A · B · C + A · B · C
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Mapas de Karnaugh
Exemplo:
Z = A · B · C + A · B · C + A · B · C + A · B · C
A linha BC e´ numerada de modo que somente ocorra mudana de 1
bit quando se passar de um quadrado para outro adjacente (Na˜o e´
numerada na sequencia usual, mas em relac¸a˜o a`s varia´veis.
Se elementos adjacentes tiverem o valor 1:
O produto dos termos correspondentes diferem em apenas uma varia´vel
Os termos podem ser simplificados de modo a eliminar essa varia´vel. 9 / 65
Mapas de Karnaugh
Exemplo:
Z = A · B · C + A · B · C + A · B · C + A · B · C
Expressa˜o Mı´nima:
Z = A · B + B · C
... Pode-se incluir o terceiro c´ıculo:
Z = A · B + B · C + A · C
Mas, na˜o seria a expressa˜o m´ınima. Os dois c´ırculos cobrem a expressa˜o
m´ınima.
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Mapas de Karnaugh
Exemplo:
Z = A · B · C + A · B · C + A · B · C + A · B · C
Expressa˜o Mı´nima:
Z = A · B + B · C
... Pode-se incluir o terceiro c´ıculo:
Z = A · B + B · C + A · C
Mas, na˜o seria a expressa˜o m´ınima. Os dois c´ırculos cobrem a expressa˜o
m´ınima.
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Mapas de Karnaugh
Exemplo1:
F = B(A + A)
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Mapas de Karnaugh
Exemplo2:
f (A,B,C ) = A · B + A · C + B · C
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Mapas de Karnaugh
Exemplo3:
f (A,B,C ) = A · C + B · C + A · B
= A · C + B · C
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Mapas de Karnaugh
Exemplo4:
f (A,B,C ) = A · B · C + A · B · C + A · B · C + A · B · C
= A · C + A · C
= A
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Mapas de Karnaugh
Exemplo4:
f (A,B,C ) = A · B · C + A · B · C + A · B · C + A · B · C
= B · C + A · C
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Mapas de Karnaugh
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Mapas de Karnaugh
Pode-se combinar apenas 1’s que sejam adjacentes
Pode-se combinar 1’s apenas em grupos de poteˆncia de 2 (1,2,4,8
etc.)
Deve-se tentar formar os maiores grupos poss´ıveis
Na˜o gerar grupos ale´m do necessa´rio para cobrir todos os 1’s
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Mapas de Karnaugh
Regra para agrupamento de termos (exemplos):
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Mapas de Karnaugh
Regra para agrupamento de termos (exemplos):
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Mapas de Karnaugh
Mapas de 4 varia´veis:
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Mapas de Karnaugh
Mapas de 4 varia´veis: Exemplos
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Mapas de Karnaugh
Mapas de 4 varia´veis: Exemplos
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Mapas de Karnaugh
Mapas de 4 varia´veis: Exemplos
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Mapas de Karnaugh
Mapas de 5 varia´veis:
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Implicantes
Para um dado termo, cada aparic¸a˜o de uma varia´vel (em sua forma
natural ou complementar) e´ chamada de literal:
xyz – 3 literais
abcd – 4 literais
Qualquer ‘1’ ou grupo de ‘1’s que podem ser combinados em um
mapa de Karnaugh representa um termo implicante de uma func¸a˜o.
Um implicante e´ denominado implicante-primo se na˜o puder ser
combinado com outro implicante para que uma varia´vel seja
eliminada.
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Implicantes
Terminologia:
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Implicantes
Implicante primo:
Essencial: necessa´rio para formar uma soluc¸a˜o m´ınima
Na˜o-essencial: na˜o necessa´rio para formar uma soluc¸a˜o m´ınima
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Implicantes
Exemplo:
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Implicantes
Ce´lula 1 Distinta
Uma ce´lula 1 distinta uma combinac¸a˜o de entrada que e´ coberta por
apenas um implicante primo.
Implicante Primo Essencial
Um implicante primo essencial e´ um implicante primo que cobre uma (ou
mais) ce´lula(s) 1 distinta(s).
Como um implicante primo essencial e´ o u´nico implicante primo que cobre
alguma ce´lula 1 distinta, ele deve estar inclu´ıdo na soma m´ınima (sena˜o, a
soma estaria necessariamente incompleta).
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Implicantes
Ce´lula 1 Distinta
Uma ce´lula 1 distinta uma combinac¸a˜o de entrada que e´ coberta por
apenas um implicante primo.
Implicante Primo Essencial
Um implicante primo essencial e´ um implicante primo que cobre uma (ou
mais) ce´lula(s) 1 distinta(s).
Como um implicante primo essencial e´ o u´nico implicante primo que cobre
alguma ce´lula 1 distinta, ele deve estar inclu´ıdo na soma m´ınima (sena˜o, a
soma estaria necessariamente incompleta).
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Implicantes
Ce´lula 1 Distinta
Uma ce´lula 1 distinta uma combinac¸a˜o de entrada que e´ coberta por
apenas um implicante primo.
Implicante Primo Essencial
Um implicante primo essencial e´ um implicante primo que cobre uma (ou
mais) ce´lula(s) 1 distinta(s).
Como um implicante primo essencial e´ o u´nico implicante primo que cobre
alguma ce´lula 1 distinta, ele deve estar inclu´ıdo na soma m´ınima (sena˜o, a
soma estaria necessariamente incompleta).
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Passos para Obter a Func¸a˜o M´ınima
Logo, o primeiro passo na selec¸a˜o de implicantes primos e´ identificarmos
as ce´lulas 1 distintas e os implicantes primos essenciais correspondentes e
incluirmos esses termos na soma.
Em seguida, precisamos determinar como cobrir as ce´lulas 1 que na˜o
foram cobertas pelos implicantes primos essenciais (se houver).
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Passos para Obter a Func¸a˜o M´ınima
Exemplos
F
WX
YZ
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
00
01
11
10
00 01 11 10
F = W · Y + W · X + X · Z + Y · Z
Como todas as ce´lulas 1 distintas sa˜o
cobertas pelos implicantes primos
essenciais, essa e´ a soma m´ınima.
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Exemplos
F
WX
YZ
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
00
01
11
10
00 01 11 10
Uma func¸a˜o lo´gica onde nem todas
as ce´lulas 1 distintas sa˜o cobertas
por implicantes primos essenciais e´
mostrada ao lado.
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Exemplos
Removendo os implicantes primos essenciais:
F
WX
YZ
1
00
01
11
10
00 01 11 10
Chegamos a apenas uma ce´lula 1 e
os implicantes primos que cobrem
esta ce´lula (W · Z e X · Y · Z).
Neste caso, a escolha e´ simples:
usamos o termo W · Z pois ele tem
menos literais.
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Exemplos
Exemplos
F
WX
YZ
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1 1
1
11
1
00
01
11
10
00 01 11 10
Os implicantes primos que englobam
os mintermos 2 (W · Y · Z) e 9
(W · Y · Z) so implicantes primos
essenciais e, portanto, devem ser
inclu´ıdos na soma m´ınima.
Como decidir entre os demais
implicantes