2. A Trigonometria do Triângulo Retângulo

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Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M. 
 
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2. A TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
Seja um triângulo retângulo ABC de hipotenusa a e ângulos agudos $ $B e C , 
opostos respectivamente aos catetos b e c (Figura 1).Sabemos do ensino fundamental 
as definições: 
O seno de $B é igual à razão entre o cateto oposto a $B e a hipotenusa, e é indicado 
por sen ( $B); 
O cosseno de $B é igual à razão entre o cateto adjacente a $B e a hipotenusa, e é 
indicado por cos ( $B). 
 A tangente de $B é igual à razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a $B , e é 
indicada por tg ( $B). 
 
Portanto: 
 
 Figura 1 
 
Estas equações definem o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo agudo qualquer, 
visto que: 
 Todo ângulo agudo é um dos ângulos de um triângulo retângulo. 
 Dois triângulos retângulos quaisquer, que tenham um mesmo ângulo agudo, são 
semelhantes. Isto é, se os triângulos ABC e A’B’C’ são tais que $B = $B’ então (Figura 2) 
são semelhantes. Neste caso temos, 
 b
a
b'
a'
 , c
a
c'
a'
 e b
c
b'
c'
= = = 
 
sen( $B) =
a
b
 
cos ( $B) =
a
c
 
tg ( $B) =
c
b
 
Ribeiro A., Prates E., Vergasta E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Mascarenhas M. 
 
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Logo, sen $B’ = sen $B , cos $B’ = cos $B e tg $B’ = tg $B. 
Portanto, o seno, o cosseno, e a tangente dependem apenas do ângulo agudo e não 
do triângulo considerado . 
 
 
 Figura 2 
 
Observemos que dado o triângulo retângulo ABC (figura 1), como b = a sen $B e 
c = a cos $B, então, 
 
 
 
As funções seno de $B, cosseno de $B e tangente de $B são chamadas de funções 
trigonométricas. 
 Observemos ainda que, sen $B= 
a
b = cos Cˆ = cos (90 0 - $B) , 
isto é : o cosseno de um ângulo é o seno do ângulo do seu complementar, o que justifica a 
denominação co-seno. 
Como exemplo temos : 
cos 30 0 = sen ( 90 0 - 30 0 ) = sen 60 0 
cos 45 0000 45sen)45 - (90sen == . 
 
 
 
tg $B= 
c
b
 =
Bˆcosa
Bˆsena
 =
Bˆcos
 Bˆsen 
 
 
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A Relação Fundamental 
 
 
Dado um triângulo retângulo ABC (Figura 1), temos : 
(cosB) (senB)
c
a
b
a
(b c )
a
2 2
2
2
2
2
2 2
2
$ $+ = + = + 
Pelo Teorema de Pitágoras, abc 22 =+ , chegamos então à seguinte relação, 
chamada de relação fundamental: 
 
 
 
 
 cos2 $B + sen2 $B = 1