Lista 1 Integrais duplas e triplas

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Questões de Integrais Duplas e Triplas
1. Resolva as integrais duplas:
(a)
Z 5
0
Z 10
2x
y4exy
2
dydx: Resp.: 2e
500�1002
3
:
(b)
Z 3
�3
Z 5
p
2
sen (x) cos (y2) dydx: Resp.: 0:
(c)
Z 2
0
Z 2
x
y4 sen (xy2) dydx: Resp. 8�sin 8
3
:
(d)
Z 1:010
�1:010
Z 4
2
h
y5ex
2+y2 + 1
i
dxdy: Resp.: 4040:
(e)
Z 1
0
Z 1
x2
p
ye
p
yxdydx: Resp.: e� 2:
(f)
Z 2
0
Z 2
y
3x4eyx
2
dxdy: Resp.: e8 � 9:
(g)
Z 14
�14
Z 1081
392
e�(x
2+9y2) sen (y191) dxdy: Resp.: 0:
(h)
Z p3
�p3
Z 5
2
y171 sen (x2) dxdy:Resp.: 0:
2. Resolva as integrais duplas utilizando coordenadas polares:
(a)
Z Z
D
cos (x2 + y2) dydx em que D é a parte do disco x2 + y2 � 1 que está no primeiro
quadrante e acima da reta y = x: Resp.: � sen 1
8
:
(b)
Z p2
0
Z p4�y2
y
1
1 + x2 + y2
dxdy: Resp.: �
8
ln 5:
3. Utilize a mudança de variáveis x =
p
u e y = v para calcular a integralZ Z
R
xex
2+ydxdy
em que R é a região do primeiro quadrante limitada pela parábola y = 1� x2 e pela retas x = 0
e y = 0: Resp.: 1
2
:
4. Utilize a mudança de variáveis x = u2 (com u � 0) e y = v para calcular a integralZ Z
R
sen(
p
x+ y)p
x
dxdy
em que R é a região do primeiro quadrante limitada pelo grá…co da função y =
p
x e pela retas
x = 1 e y = 0: Resp.: 2 sen 1� sen 2:
5. Utilize coordenadas esféricas para calcular a integralZZZ
E
1
x2 + y2 + z2
dV
em que E é o sólido limitado acima pelo cone z =
p
3 (x2 + y2) e abaixo pela esfera z2+y2+x2 =
z: Resp.: 3�
4
(atualizada em 09/04).
6. Utilize coordenadas esféricas para calcular a integralZZZ
E
x2
(x2 + y2 + z2)2
dV
em que E é o sólido limitado pelo cone z =
p
3 (x2 + y2) e pelo parabolóide z = x2 + y2: Resp.:
3�
8
(atualizada em 06/04)
7. Calcule a integral ZZZ
E
zdV
em que E é o sólido limitado abaixo pelo plano z = 2 e acima pelo parabolóide
z = 6� x2 � y2:
Resp.: 80�
3
:
8. Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies z = x2 + y2 e z = 1�
p
x2 + y2: Resp.:
�(13�5p5)
12
:
9. Calcule, utilizando coordenadas cilíndricas, o volume do sólido E, limitado abaixo pelo plano
z = k e acima pela esfera z =
p
1� x2 � y2: (k é uma constante positiva.) Resp.: �(2�3k+k3)
3
:
10. Considere o sólido E exterior ao cone z =
p
3(x2 + y2) e interior à esfera x2 + y2 + z2 = 2z:
Calcule, utilizando coordenadas esféricas, a massa total do sólido sabendo que a densidade de
massa em cada ponto do sólido é proporcional à distância desse ponto à origem. Resp.: 9k�
p
3
20
:
11. Calcule, utilizando coordenadas esféricas, o volume do sólido E, limitado abaixo pelo plano
z = k e acima pela esfera z =
p
1� x2 � y2: (k é uma constante positiva.) Resp.: �(2�3k+k3)
3
:
12. Calcule a massa do sólido limitado pelo cone z =
p
x2 + y2 e pelo plano z = 1; se a densidade
de massa é dada por f(x; y; z) = x2 + y2 + z2: Resp.: 3�
10
: