Processos de chegada e atendimento.

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Pesquisa 
 Operacional II 
Professor: Roberto César 
Modelo de Filas 
2 
A Notação de Kendall 
Um modelo de fila pode ser descrito pela notação: 
A/B/c/K/m/Z em que: 
 
A = distribuição dos intervalos entre chegadas; 
B = distribuição do tempo de serviço; 
c = quantidade de atendentes; 
K = capacidade máxima do sistema 
(número máximo de clientes no sistema) 
m = tamanho da população que fornece clientes; 
Z = disciplina da fila 
A Notação de Kendall: 
A/B/c/K/m/Z 
 Os valores de A e B dependem do tipo de distribuição 
a que elas se referem: 
 
M = Exponencial Negativa (ou Marcoviana ou Poisson) 
Em = Erlang de estágio m 
Hm = Hiper-exponencial 
Determinística 
Geral 
 
A Notação de Kendall: 
A/B/c/K/m/Z 
 Exemplo: 
 
 M/E2/5/20//Randômico 
 
 Significa chegadas Marcoviana (ou Poisson), 
atendimento erlang de segundo grau, 5 atendentes, 
capacidade máxima de 20 clientes, população infinita e 
atendimento randômico. 
 
 A notação condensada A/B/c é muito utilizada e 
pressupõe tamanho de fila e população infinita e disciplina 
da fila é FIFO. 
5 
Modelos de Filas 
O Processo de Vida e Morte: 
A maioria dos modelos de fila elementares supõe que as 
chegadas (clientes chegando) e saídas (clientes saindo) 
do sistema de fila ocorrem de acordo com o processo de 
vida e morte. Onde: 
vida - é o termo que se refere a chegada de um novo cliente 
morte - é o termo que se refere a partida de um cliente já 
servido 
estado - é o número de clientes no sistema no tempo (instante) 
t(t>0). 
 
Este processo diz que vidas e mortes individuais ocorrem 
aleatoriamente, onde suas taxas médias de ocorrência 
dependem somente do estado atual do sistema. 
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Modelos de Filas 
O Processo de Vida e Morte: 
Mais precisamente, as suposições do processo de 
vida e morte são as seguintes: 
1. Dado N(t)=n, a distribuição de probabilidade atual do 
tempo restante até à vida (chegada) seguinte é 
exponencial com parâmetro n(n=0,1,2,...) 
2. Dado N(t)=n, a distribuição de probabilidade atual do 
tempo restante até à morte (conclusão do serviço) 
seguinte é exponencial com parâmetro n(n=0,1,2,...) 
 Somente uma vida ou morte pode ocorrer de cada vez 
Modelos de Filas 
O Modelo M/M/1: 
 Este modelo representa chegadas e atendimentos 
marcovianos com um único atendente. 
 Este estudo considera os casos de população 
infinita e finita. 
Representação do modelo de fila M/M/1 
Nome 
 
Descrição Fórmula 
NF 
 
Número médio de clientes 
na Fila 
NF = 
NS Número médio de clientes 
no sistema 
NS = 
TF Tempo médio de clientes na 
Fila 
TF = 
TS Tempo médio de clientes no 
sistema 
TS = 
Pn Probabilidade de existirem 
n Clientes no sistema 
Pn = 
 2 . 
(-) 
- 
- 
 (-) 
n

















1
  . 
  . 
 1 . 
Modelo M/M/1 
Taxa de Utilização: 
 
 É a relação entre o ritmo médio de chegada e o ritmo 
de atendimento: 
  = 
 
 Sistemas estáveis exigem  menor que  ou  < 1. 
 
 NF = = 
 
 
2 
(-) 
 
 
Modelo M/M/1 
2 
1-  
NF versus  
 
 
 
 
 
 
 
 
NF cresce exponencialmente quando 1 
0,5 0,6 0,8 
 
NF12 
10 
 
 
 2 
 1 
 0 
Modelo M/M/1 
11 
População finita: M/M/1/K 
 Um caso particular e bastante encontrado na 
vida prática. 
 Exemplo: Uma mineração com 1 escavadeira e 
a alguns caminhões. Considerando =8 e =10, 
temos a seguinte variação de NF 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se a população fosse infinita teríamos NF = 3,2 
4 
 
 
3 
 
 
2 
 
1 
 
0 
0 5 10 15 20 25 30 
Nome Descrição Fórmula 
NF
 
Número médio de 
clientes na Fila 
 
NS Número médio de 
clientes no sistema 
TF Tempo médio de 
clientes na Fila 
TS Tempo médio de 
clientes no sistema 
Pn Probabilidade de 
existirem n Clientes 
no sistema 
 
 
Modelo M/M/1/K 






 )1( 0PKNF








 )1( 0PKNS
2
0 )1()(



PxK
TF






 


2
0 )1()( PxKTS
 



K
j
j
nK
n
j
xnK
P
0 !
)(
)(
)(




O Modelo M/M/c 
 Apresenta uma única fila e diversos servidores com 
chegadas e atendimentos marcovianos. 
 Supõe-se aqui que a capacidade de atendimento de 
cada um dos servidores é a mesma (ou seja ). 
Casos de população infinita e finita 
População Infinita: 
 Geralmente são utilizados gráficos para se obter o 
número médio de clientes na fila (NF) em função do fator 
de utilização e tendo como parâmetro a quantidade de 
servidores M a taxa de utilização é: 
 
 
 
 
 
Após o uso dos gráficos, as outras variáveis podem ser 
obtidas pelas fórmulas de Little: 
TF=NF/ 
TS=NS/ 
 M/
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População finita: M/M/c/K 
 Um caso particular e bastante encontrado na vida prática. 
 Exemplo: Uma mineração com 4 escavadeiras e a alguns 
caminhões. 
 Considerando =26 e =8, temos a seguinte variação de 
NF 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se a população fosse infinita teríamos NF = 3 
4 
 
 
3 
 
 
2 
 
1 
 
0 
0 5 10 15 20 25 30 
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O Modelo Erlang 
O modelo M/Em/c, representa: 
• chegadas seguem Poisson 
• atendimento segue a Distribuição Erlang de grau m 
 
O dimensionamento de equipamentos leva em conta os 
seguintes indicadores: 
• Fornecer ao cliente o menor tempo em fila 
• Um sistema de menor custo e máxima capacidade 
de produção 
 
Para um dado TF desejado, o modelo M/Em/n necessita de 
uma menor quantidade de servidores que o modelo M/M/c. 
 
 
O Modelo Erlang 
O Modelo M/Em/1 
 
Distribuição Densidade Erlang 
• Para m=1, possui o mesmo formato que a Função 
Exponencial Negativa 
• À medida que m cresce, a distribuição tende para a 
normal 
• Se m tende para infinito. A distribuição tende para uma 
constante (TA), ou seja, quanto maior m mais constante 
se torna o tempo de atendimento. 
 
Distribuição Erlang 
TA 2TA 3TA 
Referência Bibliográfica 
 
Prado, Darci; Teoria das filas e simulação; INDG, 2009